Esame di ALGEBRA E LOGICA 27 Gennaio 2014

Esame di ALGEBRA E LOGICA 27 Gennaio 2014

COGNOME: NOME: MATR.:

AVVERTENZA: -1. TRATTARE GLI ARGOMENTI CON ORDINE ED IN MODO LOGICO.

-2) ALLEGARE I FOGLI DELLO SVOLGIMENTO.

-3. LA PROVA ORALE SI DOVRA’ SOSTENERE ALLA DATA PRO- GRAMMATA.

PROBLEMA 1. Siano f , g due funzioni biunivoche definite su R a valori in R.

-a) Si definisca la funzione composta f ◦ g.

-b) Si dimostri che la funzione composta f ◦ g e’ una funzione biunivoca.

-c) Si definisca la funzione inversa f ⁻¹ . -d) Si dimostri che (f ◦ g) ⁻¹ = g ⁻¹ ◦ f ⁻¹ .

PROBLEMA 2. Siano A, B, C tre sotto-insiemi dell’insieme M . -a) Si definisca il prodotto cartesiano A × B degli insiemi A e B.

-b) Si dimostri l’identita’

(A × B) × C = A × (B × C) (1)

-c) Si dia un’esempio di insiemi A e B tale che A × B 6= B × A.

PROBLEMA 3. -a) Utilizzando l’algoritmo di Euclide si trovi il massimo comune divisore dei numeri 375 e 1155, M CD( 375, 1155 )

-b) Si trovino due numeri interi α e β tali che

375.α + 1155.β = M CD( 375, 1155 ). (2) -c) Si trovino due numeri interi α

e β

tali che

375.α

− 1155.β

= M CD( 375, 1155 ). (3)

PROBLEMA 4. Siano

P = p ₀ + p ₁ X + p ₂ X ² + ... (4) e

Q = q 0 + q 1 X + q 2 X ² + ... (5) due polinomi arbitrari a coefficienti reali. I polinomi P e Q si definiscano in relazione ∼, i.e. P ∼ Q, se e solo se p 0 = λ.q 0 , dove λ e’ un numero reale fissato.

-a) Si dica, con dimostrazione, per quale/i valori di λ, ∼ e’ una relazione di equivalenza.

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-b) Si descriva l’insieme delle classi di equivalenza di ∼.

-c) Si dimostri che la relazione di equivalenza e’ compatibile con l’operazione si somma di polinomi.

-d) Si definisca la struttura di gruppo abeliano sull’insieme delle classi di equivalenza di ∼.

PROBLEMA 5. -a) Si dia la definizione di sotto-gruppo normale H del gruppo G.

-b) Si definisca il gruppo quoziente G/H.

-c) Si definisca la proiezione canonica π : G −→ G/H.

-d) Si dimostri che π e’ un’omomorfismo di gruppi.

PROBLEMA 6. Sia M un insieme. Si da’ che tre elementi dell’insieme M hanno la proprieta’ P .

Si dica, per ciascune delle proposizioni di cui sotto, se la proposizione e’ vera oppure se e’ falsa.

-a) L’insieme M potrebbe essere un’insieme vuoto.

-b) Preso un qualsiasi elemento x ∈ M , l’elemento x ha la proprieta’ P . -c) Se x ed y sono due elementi arbitrari dell’insieme M , allora x ed y hanno la proprieta’ P .

-d) Nell’insieme M non esistono piu’ di tre elementi x, tale che l’elemento x abbia la proprieta’ P .

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