Esercizi svolti sui Sistemi Lineari Mattia Natali 23 marzo 2011

Esercizi svolti sui Sistemi Lineari

Mattia Natali 23 marzo 2011

Indice

1 Esercizio: Rete idrica 1

1.1 Richiesta . . . 1

1.2 Svolgimento . . . 1

1.2.1 Modello [A, B, C, D] . . . 1

1.2.2 Modello ARMA . . . 2

1.2.3 Funzione di trasferimento . . . 3

1.2.4 Equilibri del sistema . . . 3

1 Esercizio: Rete idrica

1.1 Richiesta

Si descriva la rete idrica in figura tramite un modello matematico che consideri anche le variabili interne e uno che consideri solo le variabili esterne, nel caso in cui:

• β=0

• β=1/4

Con β il coefficiente di entrata di acqua nel serbatoio x3. In particolare:

1. Si scriva il modello [A,b,c,d]

2. Si scriva il modello ARMA

3. Si determini la funzione di trasferimento (determinandone poli e zeri) 4. Si determinino gli equilibri con ingresso u costante

1.2 Svolgimento

1.2.1 Modello [A, B, C, D]

Dalla figura possiamo vedere che è possibile scrivere il seguente sistema:



















˙

x1= ¹₂u − kx1

˙

x2= ¹₂u − kx2

˙

x3= βkx2

˙

x4= kx1+ (1 − β) kx2− kx4

y = kx4

(1)

1

Sistemi lineari: esercizi svolti Automatica Mattia Natali

Figura 1: Disegno schematico della rete idrica

Questo sistema non fa altro che descrivere la quantità di acqua contenuta nei recipienti nel tempo, il puntino sopra le x sta ad indicare la derivata. Una volta completato il sistema possiamo creare le matrici A, B, C, D.

A









−k 0 0 0

0 −k 0 0

0 βk 0 0

k (1 − β) k 0 −k







 b









1/2 1/2

0 0









c^T 0 0 0 k d [0]

Per creare queste matrici basta immaginare che le righe della matrice A sono le prime 4 equazioni del nostro sistema e le colonne sono rispettivamente i coefficienti di x1, x2, x3, x4, la matrice b è formata dai termini noti delle prime 4 equazioni (in questo caso i coefficienti di u). Lo stesso discorso vale per c^T e d, che in pratica è l’ultima equazione del nostro sistema.

1.2.2 Modello ARMA

Per scrivere il modello ARMA utilizziamo sempre il nostro sistema 1. Dobbiamo scrivere un’equazione in cui compaia solamente i termini d’ingresso e uscita, senza quindi avere le nostre variabili di stato x₁, x₂, x₃, x₄.

Cominciamo quandi dall’ultima equazione del sistema 1: y = kx4. Deriviamo ambo i termini e abbiamo

˙

y = k ˙x₄, ma noi possiamo sostituire ˙x₄con la quarta equazione =⇒ ˙y = k



kx₁+ kx₂−

y

z}|{kx₄



. Continuia- mo a derivare e a sostituire le variabili di stato utilizzando tutte le equazioni a nostra disposizione finchè non raggiungiamo il nostro scopo:

¨

y = k²x˙1+ k²x˙2− ˙y

= k²



−kx₁+1 2u

 + k²



−kx₂+1 2u



− k ˙y

= . . .

¨

y = −2k ˙y − k²y + k²u

Ora che abbiamo la nostra equazione che dipende solo dall’ingresso e uscita introduciamo l’operatore s, che deriva dalla trasformata di Laplace (credo).

¨

y = −2k ˙y − k²y + k²u → s²y = −2ksy − k²y + k²u

2

Sistemi lineari: esercizi svolti Automatica Mattia Natali

che semplificando otteniamo s²+ 2ks + k²
y = k²u che è il nostro modello ARMA.

1.2.3 Funzione di trasferimento

Ora che abbiamo il modello ARMA è semplice determinare la funzione di trasferimento. Ricordiamo che si definisce funzione di trasferimento il modello ARMA D(s)y(t) = N (s)y(t) dove D(s) e N (s) sono coprimi, ossia non devono avere zeri in comune.

s²+ 2ks + k²
y = k²u

y = k²u

s²+ 2ks + k² y = k²u

(s + k)²

In questo caso non c’erano zeri in comune tra numeratore e denominatore. Ecco ottenuto la nostra funzione di trasferimento G(s) = _(s+k)^k2u2.

Ora dobbiamo determinare i poli e gli zeri della funzione di trasferimento. Ricordiamo che:

Zero sono definiti zeri della f.d.t. (funzione di trasferimento) quei valori di s che annullano il numeratore.

Polo sono definiti poli della f.d.t. quei valori di s che annullano il denominatore.

In questo caso non c’è nessuno zero:

k²u 6= 0∀s mentre abbiamo un polo:

(s + k)²= 0 =⇒ k = −s

Qui non è richiesto ma è utile anche scrivere il guadagno che non è altro che la f.d.t. con s = 0, ossia G(0) =k²u

k² = u

in questo caso possiamo vedere che non c’è nessuna perdita d’acqua perchè il coefficiente di u è 1. Se fosse stato minore di 1 significava che alla nostra uscita arrivava meno acqua di quella che entrava.

1.2.4 Equilibri del sistema

Per determinare gli equilibri del sistema 1, operativamente parlando, significa porre le derivate = 0. Ossia



















0 = ¹₂u − kx₁ 0 = ¹₂u − kx2

0 = βkx₂

0 = kx1+ (1 − β) kx2− kx4

y = kx₄

(2)

3