Processi Stocastici 2011/12 – Esercizi sul moto Browniano - 1†
Esercizio 1. Siano X e S due variabili aleatorie reali indipendenti, tali che X ⇠ N (0, 1) mentre P(S = +1) = p, P(S = 1) = 1 p, dove p 2 (0, 1) è un parametro fissato.
Definiamo Z := SX.
(a) Si mostri che Z ⇠ N (0, 1) e Cov(X, Z) = 2p 1.
(b) (*) Si mostri che il vettore (X, Z) non è normale.
(c) Si mostri che le variabili X e Z non sono indipendenti.
(Si noti che per p = 12 le variabili X e Z sono scorrelate ma non indipendenti, pur essendo entrambe normali.)
Esercizio 2. Per ogni t 2 R si calcoli E(etX2), dove X ⇠ N (0, 2).
Esercizio 3. Sia {Bt}t 0 un moto browniano reale. Definiamo gli eventi A := {Bt}t2[0,1] è crescente ,
Cn := Bi/2n B(i 1)/2n 0 , per ogni 1 i 2n , n2 N . (a) Si calcoli P(Cn), per ogni n 2 N.
(b) Si mostri che vale l’inclusione A ✓ Cn, per ogni n 2 N.
(c) Si deduca che P(A) = 0. Quindi, q.c., il moto browniano non è crescente sull’intervallo [0, 1].
(d) (*) Si dimostri che, q.c., il moto browniano non è crescente in nessun sotto-intervallo di [0, 1].
Esercizio 4. Sia B = {Bt}t 0 un moto browniano reale. Si dimostrino le seguenti proprietà.
(a) Per ogni ↵ > 0 esiste 0 < C↵<1 tale che E(|Bt|↵) = C↵t↵/2, per ogni t 0. (b) Per ogni scelta di istanti 0 < t1 < . . . < tk < 1 e di intervalli aperti non vuoti
I1, . . . , Ik✓ R, si ha P(Bt1 2 I1, . . . , Btk 2 Ik) > 0.
(c) (*) Per ogni " > 0 esiste C > 0 tale che P(supt2[0,1]Bt> C) ".
Esercizio 5. Sia {Bt}t 0 un moto browniano reale tale che t 7! Bt(!) è continua per ogni (e non solo per q.o.) ! 2 ⌦.
(a) Si mostri cheR1
0 Btdt è una variabile aleatoria normale e se ne calcolino media e varianza.
[Sugg. Ricordarsi le somme di Riemann e il Teorema di Fubini]
(b) (*) Si mostri che inft2[0,1]Bt non è una variabile normale.
†Ultima modifica: 1 giugno 2012.
