Sistemi Dinamici e Meccanica Classica A/A 2010—2011.
Esame del 28/02/2011
1 Sistemi Dinamici
Si consideri il sistema dinamico:
( ˙x = y
˙
y =−dU (x)
dx , con U (x) = −4√
2 + x2+ x2. (1)
• Tracciare qualitativamente le curve di fase del sistema.
• Calcolare le frequenze di oscillazione attorno ai punti di equilibrio stabile e le tangenti alla separatrice nel punto di equilibrio instabile.
• Scrivere l’integrale definito che d`a il periodo del moto con energia E = −5.
Per i 12 crediti: Si consideri il sistema dinamico:
˙x =−x − y − (x + y)3
˙
y = x− y + a(2x2y + 3x3+ xy2) (2) 1. Nel caso a = −1 si dimostri che il sistema (2) ha tre punti di equilibrio e se ne studi
la stabilit`a con il primo metodo di Lyapunov.
2. Nel caso a = 1 si dimostri che il sistema ha solo l’origine come punto di equilibrio e si verifichi tale punto `e stabile mostrando che L(x, y) := x2+ y2 `e una buona funzione di Lyapunov.
2 Meccanica Lagrangiana
0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000
1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111
D
P Q
g
Un sistema `e costituito da un disco omogeneo D di raggio R e massa 2M, che ruota senza strisciare sull’asse orizzontale, e da un punto materiale P di massa M che `e libero di scorrere lungo la circonferenza di D. Il centro di D `e attratto dal punto Q = (0, R) da una forza elastica di costante elastica k (ovvero il centro `e collegato a Q tramite una opportuna molla di lunghezza a riposo nulla, come in figura).
1. Scrivere la Lagrangiana del sistema e le equazioni di Eulero-Lagrange.
1
2. Trovare le configurazioni di equilibrio del sistema, e discuterne la stabilit`a.
3. Posto k = 4 g M
R , calcolare le frequenze proprie ed i modi normali di oscillazione attorno al punto di equilibrio stabile.
4. Si supponga κ = 0 (cio`e, si tolga la molla): si individui la costante del moto addizionale1 e si riduca il problema ad uno ad un grado di libert`a.
3 Meccanica Hamiltoniana
Risolvere almeno uno dei problemi tra H1 ed H2.
Esercizio H1 Si consideri l’Hamiltoniana H(q, p) := 1
2 p2+ q2
+ q4− p4+ q3p
(3) e la funzione generatrice
S = qP + aqP3+ bq3P + cq4 dove 1 `e un parametro piccolo.
1. Determinare la trasformazione canonica infinitesima generata da S.
2. Determinare a, b, c in modo tale che l’Hamiltoniana, nelle nuove coordinate, abbia la forma
H(Q, P ) = 1
2(P2+ Q2) + O(2).
Esercizio H2 Si dimostri che la trasformazione Q1 = eq1 − eq2,
Q2 = eq1 + eq2, P1 = 1
2e−q1(p1− q2)−1
2e−q2(p2− q1), P2 = 1
2e−q1(p1− q2) + 1
2e−q2(p2− q1)
`
e canonica e se ne determini una funzione generatrice di II specie. Esistono funzioni gener- atrici di altre specie?
Per i 12 crediti: A) Sia
H := 1 2
p21+ q2p22 q22+ 1
+ q2.
Si dimostri che l’equazione di Hamilton Jacobi associata ad H ammette un integrale com- pleto separato.
B) Sia ora eH = H + q21
q22+ 1. Si trovi una funzione G (indipendente da eH) tale che {G, eH} = 0.
1Oltre all’energia del sistema...
2
