Sistemi Dinamici e Meccanica Classica A/A 2009—2010.
Esame Parziale del 26/11/2009
1 Sistemi Dinamici
Una particella di massa unitaria si muove sull’asse x soggetta ad una forza di energia potenziale
U (x) =
e−2 x − 2 x2− 1, per x ≤ 0
−14 x4+ x3− 2 x per x > 0.
1. Scrivere la equazione di Newton, ed il sistema dinamico ad essa equi- valente, verificando che quest’ultimo `e di classe C1(R2)
2. Tracciare qualitativamente le curve di fase del sistema, individuando i punti di equilibrio e la separatrice. Si calcolino le tangenti della separatrice nel punto di equilibrio instabile.
3. Scrivere l’integrale che d`a il periodo del moto avente dato iniziale x(0) = 0, y(0) = 0. Si diano (eventualmente almeno graficamente) limiti inferiori e superiori per tale periodo.
4. Per i 12 crediti
Si consideri ora il sistema “deformato”
˙x = y − x2+ x
˙
y = −U0(x)
e si dimostri che il punto (x = 1, y = 0) `e di equilibrio stabile anche per questo sistema con il metodo di Lyapunov.
Suggerimento: si usi l’energia del sistema libero.
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2 Meccanica Lagrangiana
Una particella di massa M `e vincolata a muoversi sulla superficie sferica x2+ y2 + z2 = R2. Oltre che alla forza peso −M gk, `e soggetto all’azione di una forza costante F = −En, dove n `e il vettore (1, 1, 0). Il vincolo `e liscio.
Parte A:
1. Scrivere la lagrangiana del sistema, e le equazioni di Eulero–Lagrange 2. Calcolare la reazione vincolare quando la particella passa nel punto di
coordinate (0, R
√2 2 , R
√2
2 ) con velocit`a parallela al piano xy.
Parte B:
Si consideri il caso E = 0, e, utilizzando la costante del moto aggiuntiva, si riduca il problema ad uno ad un solo grado di libert`a.
Si studi qualitativamente il sistena dinamico monodimensionale cos`ı ottenuto.
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