Capitolo 2 Struttura del modello

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Struttura del modello

2.1 Caratteristiche generali del modello

Ci siamo proposti di sviluppare un modello che fosse in grado di fornire dei dati sul modo di deformarsi di una ruota dentata nel suo complesso. Questo ha imposto la necessità di semplificare il problema e di individuare le tipologie di deformazioni ritenute più problematiche e quindi i fattori in grado di influenzarle.

Da considerazioni qualitative in merito ai pezzi normalmente in produzione in azienda, è emerso che le maggiori criticità riguardano generalmente la geometria complessiva della ruota dentata (cilindricità delle superfici, quote diametrali, altri errori geometrici) piuttosto che il profilo della dentatura.

Questo ha permesso di supporre, in prima analisi, che fosse possibile trascurare l’effetto deformativo dello strato cementato. La cementazione infatti altera il tenore di carbonio del materiale per una profondità dell’ordine di 1 mm: lo stato di tensione risultante è di compressione su tutta la superficie [11] ma si suppone che il suo effetto sia trascurabile rispetto alle deformazioni della geometria complessiva della ruota.

Si è quindi deciso di non modellare l’esatta geometria della dentatura: la superficie dentata è stata sostituita con una cilindrica di diametro pari al diametro primitivo.

Questa seconda semplificazione è stata possibile anche grazie alla prima infatti, se si fosse dovuto tenere conto dello strato cementato, la modellazione della dentatura sarebbe stata necessaria. L’unica caratteristica rilevante per il presente studio che la dentatura conferisce al pezzo si è ritenuta essere l’aumento della superficie di scambio termico rispetto alla superficie cilindrica: si è tenuto conto di questa caratteristica aumentando il relativo coefficiente di scambio termico, come chiarito al paragrafo 2.2.

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`

E stato quindi possibile eﬀettuare un’analisi di tipo assialsimmetrico. Infatti si possono considerare assialsimmetrici:

la geometria, una volta semplificata la superficie dentata, come già descritto;

le condizioni al contorno, poiché si assumono uniformi la temperatura prima dell’immersione nel bagno di spegnimento e le condizioni di raffreddamento intorno alle superfici esterne della ruota, similmente a quanto osservato in studi precedenti[4];

carichi e vincoli, essi infatti sono nulli poich´e consideriamo la ruota libera e isolata.

Si è passati a stabilire la struttura logica del modello previsionale. Una prima considerazione è stata quella che il nostro modello, affinché assumes-se un’utilità nella pratica industriale, fosse parametrico rispetto ad alcune grandezze:

quelle geometriche, cio`e fosse in grado di simulare pezzi di forma e dimensioni diverse semplicemente variando un numero limitato di dati in ingresso;

alcune proprietà del materiale, quali composizione dell’acciaio, conduci-bilità e capacità termiche;

alcune caratteristiche del trattamento termico, quali temperatura e tempo di austenitizzazione, coeﬃciente di scambio termico del bagno di spegnimento.

Un’ulteriore semplificazione introdotta nel nostro modello consiste nel considerare solo la variazione di volume generata dalle trasformazioni di fase che avvengono durante il trattamento termico. Si tratta di un’ipotesi piuttosto forte poiché sono molteplici i fattori che intervengono a modificare la struttu-ra dell’acciaio; considestruttu-rarli tutti avrebbe reso necessaria una modellazione estremamente complessa, al di fuori degli scopi del presente studio, e avrebbe necessitato di una conoscenza molto accurata delle caratteristiche dell’acciaio, spesso non disponibile nella pratica industriale. L’idea quindi è stata quella di considerare solo il fattore ritenuto preponderante nella speranza di riuscire a riprodurre, almeno qualitativamente, l’andamento delle deformazioni.

La modellazione dei processi di trasformazione di fase all’interno del materiale avrebbe di nuovo reso necessario l’utilizzo di modelli di multi-fisica estremamente complessi pertanto si è deciso di schematizzare il problema in un modo più semplice:

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1. si effettua un’analisi di transitorio termico per stabilire le velocità di raffreddamento nei vari punti del pezzo;

2. in base alle velocità di raffreddamento registrate e alla composizione del materiale si stabilisce, punto per punto, il mix di fasi di cui è composto il pezzo utilizzando il sistema di Creusot-Loire [13] e vi si associa, tenendo conto del tenore di carbonio del materiale base, una variazione di volume;

3. si eﬀettua un’analisi strutturale che riceve in ingresso i dati relativi alle variazioni di volume punto per punto e restituisce le deformazioni che si generano nel pezzo.

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E importate notare che tale approccio permette di tenere separate l’una dall’altra le tre fasi del modello, riducendone quindi la complessit`a e le risorse di calcolo necessarie rispetto ad un modello di multi-ﬁsica.

Nei paragraﬁ successivi sono descritte nel dettaglio le tre fasi del modello sviluppato.

2.2 Modello FEM per il transitorio termico

Per l’analisi di transitorio termico si `e prodotto uno script, riportato in appendice B.1, nel linguaggio ANSYS® Parametric Design Language (APDL).

Tale script, una volta inseriti i parametri relativi al particolare problema che si intende simulare, deve essere eseguito mediante il software ANSYS®

Mechanical.

Con i primi comandi dello script, dopo aver resettato database e spazio di lavoro, si apre l’ambiente di Preprocessor.

Nelle righe immediatamente successive sono stati inseriti i tutti i parametri del modello di transitorio termico al fine di rendere più semplice la modifica degli stessi anche da un utente non necessariamente esperto nell’utilizzo del linguaggio APDL.

Un primo gruppo di variabili riguarda la geometria del modello. Data l’ipotesi di assialsimmetria si dovrà modellare solo una semisezione della ruota dentata; in questa prima versione del modello variando i parametri si può ottenere un qualunque pezzo a due diametri con foro assiale passante. Per assegnare il valore desiderato alle variabili è sufficiente aprire il file contenente lo script con qualunque editor di testo e modificarne i valori. Le variabili geometriche sono:

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D1 diametro esterno maggiore; D2 diametro esterno minore;

S1 lunghezza assiale del tratto di diametro D1; S2 lunghezza assiale complessiva del pezzo.

Nella figura 2.1 è mostrato uno schema che chiarisce il significato dei parametri descritti sopra.

Figura 2.1: Signiﬁcato dei parametri geometrici dell’analisi di transitorio termico.

Un secondo gruppo di variabili definisce quei parametri necessari alla simulazione di transitorio termico e sui quali l’utente può aver necessità di intervenire:

Ta temperatura di austenitizzazione; TIM tempo di transitorio simulato;

HTC coeﬃciente di scambio termico del bagno di tempra; ALP angolo di pressione della dentatura α in gradi;

ESZ dimensione degli elementi che andranno a costituire la mesh del modello. Il parametro TIM è stato inserito poiché, come sarà chiarito nel paragrafo 2.3, la fase successiva del modello necessita come dati in ingresso dei tempi in cui ciascun nodo del modello raggiunge le temperature di 800 e 500◦C.

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Il raffreddamento del pezzo avviene a velocità diverse in base alle sue dimensioni, alle caratteristiche del materiale di cui è costituito ed al coefficiente di scambio termico del bagno di tempra, pertanto non è stato ritenuto conveniente fissare un tempo della simulazione. Se fosse stata fatta questa scelta e l’utente avesse trovato la necessità di simulare pezzi di dimensioni molto diverse da quello utilizzato per mettere a punto il modello, il tempo impostato avrebbe potuto risultare troppo breve, non permettendo di simulare il raggiungimento dei 500◦C per tutti i nodi, oppure troppo lungo, impiegando inutilmente risorse di calcolo o perdendo di risoluzione nei risultati. Si dovrà quindi impostare il parametro TIM in modo che la temperatura massima nel pezzo al termine della simulazione sia di poco inferiore ai 500◦C.

Il coefficiente di scambio termico del bagno di tempra HTC rimane costante per tutta la simulazione. Nella realtà tale coefficiente varia al variare dei meccanismi di asportazione del calore che si susseguono durante il raffredda-mento [3], ma tenere conto di tale variazione avrebbe comportato modifiche sostanziali alla struttura del modello.

Si deve anche ricordare che nella fase successiva sono necessari solo i dati relativi al raffreddamento tra 800 e 500◦C e quindi sarà sufficiente che il modello sia accurato in questo intervallo. Inoltre normalmente nella pratica industriale si utilizza un numero limitato di bagni di tempra pertanto il parametro HTC potrà essere valutato con delle campagne si prove sperimentali mirate.

Il parametro ALP è stato inserito in questo secondo gruppo poiché, pur essendo un parametro geometrico, non interviene nella modellazione della sezione della ruota dentata, ma serve per il calcolo del parametro CMT come descritto più in basso.

Per quanto riguarda il parametro ESZ, minore è il suo valore maggiore sarà l’accuratezza del modello a scapito della rapidità del calcolo.

Il gruppo di istruzioni successive, nelle quali non è richiesto l’intervento dell’utente, serve per definire il parametro CMT. Esso si è reso necessario a causa della semplificazione geometrica del modello, come descritto al para-grafo 2.1, per la quale non si è modellata nel dettaglio la superficie dentata sostituendola con una cilindrica. Il CMT è un coefficiente che va a moltiplicare il parametro HTC in corrispondenza delle superfici dove nel pezzo reale si trovano le dentature.

Il valore numerico da assegnare a CMT è pari a quello del rapporto tra la superficie dentata reale e quello della superficie cilindrica che la sostituisce nel modello. Una buona approssimazione di tale valore è il rapporto tra la lunghezza di un passo del profilo della dentiera di riferimento [5] e la lunghezza

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del passo stesso, ovvero, facendo riferimento allo schema in ﬁgura 2.2:

CMT≈ 2(a + b)

p . (2.1)

Figura 2.2: Proﬁlo quotato della dentiera di riferimento.

La lunghezza dei segmentia e b `e calcolabile come:

a = p

2 − 2.5m tan(α) b = 2.5m

cos(α). (2.2) Ricordando chep = πm, si pu`o scrivere:

CMT = 1 +4.5 π · 1− sin(α) cos(α) (2.3)

da essa si pu`o notare che:

 CMT ≥ 1 nell’intervallo 0° < α < 90°;

 per α = 90°, condizione per la quale il proﬁlo della dentiera degenera in una retta, CMT = 1;

 CMT dipende solo dall’angolo di pressione α risultando invece indipen-dente dal modulo m.

Per l’angolo di pressione comunemente utilizzato α = 20°, CMT ≈ 2.

Nello script si è deciso di introdurre direttamente la 2.3 in modo che l’ope-ratore non debba effettuare il calcolo ma soltanto inserire il valore dell’angolo di pressione. A tal fine si è prima definito il valore di π, facendolo calcolare

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Lunghezza mm Temperatura K Tempo s Modulo elastico MPa Densità _mmMg₃ Coefficiente di scambio termico _mmmW₂_K Conducibilità termica _{m K}W Capacità termica specifica _{Mg K}mJ

Tabella 2.1: Sistema di unit`a di misura coerenti consigliato per il modello

direttamente dal software come π = arccos(−1), si `e quindi deﬁnito CMT, con l’angolo di pressione espresso in gradi in modo da facilitare ulteriormente l’inserimento dei parametri.

La sezione successiva dello script, ultima a richiedere l’eventuale intervento dell’utente, contiene i dati relativi alle propriet`a del materiale:

modulo di elasticit`a; modulo di taglio; densit`a;

conducibilit`a termica; capacit`a termica.

Si deve porre particolare attenzione alle unità di misura utilizzate per i dati inseriti nello script che devono seguire un sistema coerente. Si consiglia di utilizzare il sistema riportato in tabella 2.1, per praticità tutte le unità consigliate tranne le lunghezze, sono riportate nello script nei commenti a fianco dei parametri.

Le righe di codice immediatamente successive descrivono la geometria del modello. Come chiarito al paragrafo 2.1 si è proceduto ad una modellazione di tipo assialsimmetrico pertanto si è potuto definire, mediante entità bidi-mensionali, solamente una semi-sezione del pezzo da modellare. Nel far ciò si `e dovuto tenere conto delle convenzioni del software ANSYS® per le quali l’asse di simmetria e la direzione radiale devono coincidere rispettivamente con l’asse “y” e l’asse “x” del sistema di riferimento cartesiano globale. Per modellare un cilindro a due diametri con foro assiale è stato sufficiente definire due rettangoli affiancati uniti con una somma booleana.

Il comando successivo definisce il tipo di elemento utilizzato per la mesh. Si `e scelto il PLANE55 ovvero “2-D Thermal Solid”. Esso è un elemento a 4 nodi e ha come unico grado di libertà la temperatura in corrispondenza di ciascun nodo che, in questa fase dell’analisi, è la sola grandezza di interesse.

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Nel deﬁnire il tipo di elemento si deve attivare l’opportuna keyoption per impostare il comportamento assialsimmetrico degli elementi [12].

Le righe seguenti definiscono le caratteristiche della mesh e la realizzano. La dimensione degli elementi viene impostata richiamando il parametro ESZ definito in precedenza. Si richiede una mesh di tipo “mapped” ove possibile, altrimenti il software produrr`a una mesh di tipo “free”; si richiede inoltre che gli elementi siano quadrilateri. Dopo aver generato la mesh, si salva il numero di nodi in un nuovo parametro denominato M; esso verrà utilizzato nella fase successiva di esportazione dei risultati e di elaborazione degli stessi come descritto al paragrafo 2.3.

Con i comandi successivi si salva su un file denominato geometria.db la mesh e i parametri definiti fino ad ora; il file verrà poi richiamato nell’analisi strutturale descritta al paragrafo 2.4.

Le figure e i grafici utilizzati nel seguito per descrivere il modello sono stati ricavati da una simulazione di una ruota prodotta all’interno dell’azienda. I parametri utilizzati e le caratteristiche del materiale sono riassunti nelle tabelle 2.2 e 2.3, per le unità di misura si è utilizzato il sistema di riferimento descritto in tabella 2.1. La figura 2.3 mostra la mesh ottenuta con i comandi descritti sino ad ora.

DI D1 D2 S1 S2 Ta TIM HTC ALP ESZ

0 112.7 57 140 160 1123 100 1 33 4

Tabella 2.2: Valori numerici assegnati ai parametri nella prima fase della simulazione.

Descrizione Label Valore

Modulo di elasticità EX 206× 103 Modulo di taglio GXY 79, 2 × 103 Densità DENS 7, 8 × 109 Conducibilità termica KXX 44.5 Capacità termica C 460× 106

Tabella 2.3: Valori numerici assegnati alle propriet`a del materiale.

Il gruppo di istruzioni successivo definisce il coefficiente di scambio termico tra il pezzo e l’olio. Come descritto in precedenza esso rimane costante durante tutta la simulazione ma si deve tenere conto delle superfici dentate semplificate alle quali va applicato il coefficiente di maggiorazione CMT. Si procede quindi

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Figura 2.3: Mesh ottenuta con il codice per l’analisi termica della ruota a due diametri.

in due tempi: prima si definisce un coefficiente di scambio termico convettivo pari ad HTC, avendo selezionato tutte le linee del modello escluse quelle in corrispondenza delle quali si hanno le dentature, poi si selezionano solo queste ultime e si definisce un coefficiente di scambio termico convettivo pari ad HTC· CMT. si selezionano le linee mediante la posizione del loro punto centrale, secondo la logica parametrica seguita sino ad ora.

Si entra quindi nell’ambiente “solutore” /SOLU e si definisce il tipo di analisi come “di transitorio”, poi, dopo aver selezionato tutte le entità, si impone la temperatura iniziale del modello. Essa, come chiarito al paragrafo 2.1, è considerata uniforme e pari alla temperatura di austenitizzazione Ta. Si definisce quindi un unico load step richiamando il parametro TIM definito in precedenza. Il tipo di caricamento è impostato come “a gradino”, mentre si lascia al software la possibilit`a di adattare l’ampiezza dei substep entro limiti definiti con un apposito comando: il primo substep ha ampiezza pari a 0.05 s , mentre l’ampiezza rispettivamente minima e massima dei substep successivi è pari a 0.01 s e 1 s. Come ultima istruzione prima di procedere alla soluzione, si richiede al software di tenere in memoria tutti i dati relativi

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ad ogni substep.

Dopo aver richiesto al software di risolvere il modello, si entra nell’ambiente /POST26, ovvero il postprocessor tempo-dipendente di ANSYS®. L’obiettivo principale dei questa parte dello script è quello di esportare su di un file di testo la temperatura raggiunta in corrispondenza di ogni nodo al termine di ciascun subestep; per prima cosa si salva nel parametro S, appositamente definito, il numero del substep corrente, ovvero l’ultimo. Infatti, dato che si `e lasciato al software la possibilit`a di adattare l’ampiezza dei substep, il loro numero può variare al variare dei parametri in ingresso; la conoscenza di tale numero risulterà fondamentale sia per esportare i dati in maniera corretta, sia nella successiva elaborazione dei dati descritta al paragrafo 2.3.

Si deﬁnisce quindi una matrice denominata OUT che ha dimensioni S×(M+2). Nelle prime due righe della prima colonna si scrivono i valori numerici dei parametri M e S. Ciascuna colonna, dalla terza in poi, raccoglie le temperature

Tij registrate ciascun substep i per il nodo j-esimo; per ottenere questo

risultato si deﬁnisce un ciclo *DO nel quale i dati di temperatura relativi a ciascun nodo vengono salvati su una variabile intermedia la quale viene poi esportata nella colonna corrispondente della matrice OUT. Nella seconda colonna della matrice vengono invece salvati i valori numerici del tempo t_i raggiunto al termine di ciascun substep. La forma della matrice OUT `e riassunta nello schema sottostante:

OUT = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ M t1 T11 . . . T1 M S t2 T21 . . . T2 M 0 t3 T31 . . . T3 M . . . . 0 t_S T_{S 1} . . . T_{S M} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦. (2.4) La matrice cos`ı generata viene esportata su un file di testo, denominato out.txt, sotto forma di vettore numerico composto da un’unica colonna e un numero di righe pari al prodotto S· (M + 2). Un estratto del file out.txt prodotto nella simulazione è riportato in appendice B.2.

Al fine di controllare visivamente che i risultati forniti in questa prima fase siano plausibili le righe di codice successive definiscono tre variabili che vengono poi rappresentate su un grafico a schermo; il grafico generato nella simulazione descritta qui è riportato in figura 2.4. Tali variabili corrispondono alla temperatura registrata ai vari istanti di tempo per tre nodi che si trovano in posizioni notevoli: il primo, la cui variabile associata è la TEMP_DI, si trova in corrispondenza della superficie del foro interno, a quota S2/2 in direzione

y; il secondo, a cui `e associata la variabile TEMP_D1, si trova sulla superﬁcie

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TEMP_INT) si trova in posizione x = D1/2−DI/2₂ y = S1₂ , in prossimità della zona del pezzo che si raffredda più lentamente quando nel pezzo è presente un foro assiale.

Figura 2.4: Graﬁco temperatura - tempo di tre nodi in posizioni notevoli.

Analizzando la ﬁgura 2.4 si osserva che l’andamento delle temperature nel tempo ricavato dalla simulazione `e plausibile, infatti:

le tre temperature coincidono correttamente all’istante iniziale, trovan-dosi il pezzo a temperatura uniforme;

la variabile TEMP_DI è quella che mostra un raffreddamento più lento e che rimane di valore più alto al termine della simulazione, infatti, non essendo presente il foro assiale, il nodo corrispondente si trova sull’asse del pezzo.

la variabile TEMP_INT, corrispondente ad un nodo all’interno del pezzo ma più vicino alla superficie, mostra un raffreddamento più veloce e temperature più basse rispetto alla precedente;

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la variabile TEMP_D1 mostra la velocità di raffreddamento più elevata trovandosi sulla superficie esterna del pezzo con il coefficiente di scambio termico maggiorato dalla presenza della dentatura.

Per ottenere una pausa nell’esecuzione del programma è stata inserita un’istruzione *ASK nella quale si chiede all’utente di definire una variabile fittizia denominata ATTENDI; tale variabile non verrà utilizzata successiva-mente, pertanto nella finestra di dialogo generata dal software si può inserire qualunque valore o lasciare il campo vuoto; tale stratagemma ha la sola fun-zione di tenere il grafico a video fino a che l’operatore non voglia proseguire nell’esecuzione del programma, dopo di che sarà sufficiente cliccare su “ok”. Infine si entra nell’ambiente /POST1, il postprocessor standard, e si chiede di visualizzare la mappa delle temperature al termine della simulazione; l’immagine ottenuta nella simulazione di esempio è mostrata in figura 2.5. Tale rappresentazione ha una duplice funzione: da un lato la distribuzione

Figura 2.5: Mappa delle temperature nodali calcolate al termine della simulazione di transitorio termico.

delle temperature fornisce un’ulteriore indicazione riguardo la plausibilit`a dei risultati, dall’altro viene indicata la temperatura massima registrata al

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termine della simulazione (il parametro SMX in figura 2.5). Tale temperatura fornisce un’indicazione sul fatto che il valore scelto per il parametro TIM sia o meno corretto. Come verrà chiarito nel paragrafo seguente, la seconda fase del modello necessita dei dati sul raffreddamento finché ogni nodo non raggiunga la temperatura di 773 K: se la temperatura massima al termine della simulazione risulta superiore a 773 K il valore di TIM scelto è troppo basso; se invece la temperatura massima fosse di troppo inferiore, il valore di TIM scelto è troppo alto, pertanto si ha un uso scorretto delle risorse di calcolo. In quest’ultimo caso si può scegliere semplicemente di ridurre il valore di TIM, ottenendo la soluzione in un tempo minore, oppure a parità di tempo necessario per ottenere la soluzione, si può ridurre TIM e infittire la mesh e/o diminuire l’ampiezza dei substep di calcolo.

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E bene infine precisare che i grafici mostrati nelle figure 2.4 e 2.5 non forniscono una prova univoca della correttezza dei risultati ottenuti con la simulazione di transitorio termico. Possono però essere di supporto all’opera-tore che utilizzi il modello, nell’individuare eventuali errori commessi nella modifica dei parametri che potrebbero portare a risultati non compatibili con la fisica del problema.

2.3 Elaborazione dei dati ottenuti dalla

simu-lazione di transitorio termico

Come anticipato nel paragrafo 2.1 la seconda fase del modello consiste nel-l’assegnare un’espansione volumetrica a ciascun nodo in base alla frazione di martensite prevista. Essa si calcola, a partire dalla velocit`a di raﬀreddamento, utilizzando il sistema di Creusot-Loire, un modello numerico di previsione delle curve CCT degli acciai.

2.3.1 Il sistema Creusot-Loire

Il sistema Creusot-Loire `e stato sviluppato all’interno dell’omonima industria negli anni ’70 e consiste in un set di equazioni empiriche in grado di predire l’inﬂuenza della concentrazione degli elementi di lega sulla durezza e sui carichi di snervamento e rottura. La procedura consiste in:

1. una previsione della struttura attraverso la comparazione delle velocità di raffreddamento imposte sul pezzo di interesse con le velocità di raffreddamento equivalenti stabilite con un’analisi statistica di un grande numero di diagrammi CCT;

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2. la messa a punto di un set di equazioni empiriche che permettono di predire le propriet`a della struttura di base: martensite, bainite e ferrite-perlite;

3. il calcolo delle propriet`a dell’acciaio utilizzando la regola della somma pesata sulle frazioni volumetriche.

Il sistema d`a la possibilit`a di calcolare una serie di caratteristiche dell’acciaio quali la durezza nella zona termicamete alterata, le curve CCT e la corrispon-dente durezza, le curve Jominy, ecc. Nel nostro caso abbiamo sfruttato il sistema per calcolare l’espansione volumetrica connessa alla trasformazione martensitica a partire dalle curve CCT.

La prima fase del sistema prevede la determinazione delle velocità di raffreddamento cui sono sottoposte le varie zone del pezzo considerato. Nel nostro caso esse vengono calcolate a partire dai dati ricavati dalla simulazione di transitorio termico descritta al paragrafo 2.2. Nel sistema Creusot-Loire si prende in considerazione la velocità di raffreddamento in corrispondenza del raggiungimento dei 700◦C, calcolando la media della velocità tra 800 e 500◦C. [9]

Una volta ricavate le velocità di raffreddamento del nostro pezzo il sistema prevede il confronto di queste con le velocità critiche di raffreddamento del particolare acciaio di cui è costituito. Se si prende in considerazione il diagramma di raffreddamento continuo si osservano tre classiche strutture: martensite, bainite e ferrite-perlite. Si individuano quindi tre principali velocità critiche di raffreddamento:

VM velocit`a critica di tempra martensitica in ◦C/h;

VB velocit`a critica di tempra bainitica;

VF velocit`a critica di ricottura per ottenere una struttura ferrtico - perlitica.

Altre velocità di raffreddamento interessanti sono: V_M50, la velocità di foma-zione di una struttura 50% martensitica e 50% bainitica e V_B50 la velocità di formazione di una struttura 50% bainitica e 50% ferritico-perlitica. Allo stesso modo si possono definire altre velocità critiche per separare le varie strutture quali V_M90, V_B90 eV_{F 90}.

Il sistema Creusot-Loire prevede l’utilizzo di formule empiriche per cal-colare queste velocità critiche, sviluppate mediante un’analisi statistica dei diagrammi di raffreddamento continuo pubblicati. In tali formule le velocità sono espresse in ◦C/h[13]:

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logV_M =9.81 − (4.62 · C+ (2.5a) +1.05 · Mn + 0.5 · Cr + 0.66 · Mo + 0.54 · Ni + 0.00183 · P_A) logV_M90 =8.76 − (4.04 · C+ (2.5b) +0.96 · Mn + 0.58 · Cr + 0.97 · Mo + 0.49 · Ni + 0.001 · P_A) logV_M50 =8.50 − (4.13 · C+ (2.5c) +0.86 · Mn + 0.41 · Cr + 0.94 · Mo + 0.57 · Ni + 0.0012 · P_A) logV_B =10.17 − (3.8 · C+ (2.5d) +1.07 · Mn + 0.57 · Cr + 1.58 · Mo + 0.7 · Ni + 0.0032 · P_A) logV_B90 =10.55 − (3.65 · C+ (2.5e) +1.08 · Mn + 0.61 · Cr + 1.49 · Mo + 0.77 · Ni + 0.0032 · P_A) logV_B50 =8.74 − (2.23 · C+ (2.5f) +0.86 · Mn + 0.59 · Cr + 1.60 · Mo + 0.56 · Ni + 0.0032 · P_A) logV_{F P} =6.36 − (0.43 · C+ (2.5g) +0.49·Mn + 0.26 · Cr + 0.38 · Mo + 2 ·√Mo + 0.78 · Ni + 0.0019 · P_A) logV_{F 90} =7.51 − (1.38 · C+ (2.5h) +0.35 · Mn + 0.11 · Cr + 2.31 · Mo + 0.93 · Ni + 0.0033 · P_A). C, Mn, Cr, Ni, Mo rappresentano le concentrazioni in massa degli ele-menti di lega, che, affinché il modello sia utilizzabile, devono essere presenti nell’acciaio entro i limiti indicati in tabella 2.4 [13]. P_A è il parametro di

Concentrazioni in massa %

C Mn Si Cr Ni Mo V min 0.2 0 0 0 0 0 0 max 0.5 2.0 1.0 3.0 4.0 1.0 0.2

%Mn + %Ni + %Cr + %Mo< 5%

Tabella 2.4: Limiti di concentrazione in massa degli elementi ammessi dal sistema Creusot-Loire.

austenitizzazione il cui valore, espresso in ◦C/h, `e dato da:

PA= 1 T − nR ΔH log10 t to −1 , (2.6) dove:

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T temperatura di austenitizzazione in K; t tempo di mantenimento alla temperatura T ; to unit`a di tempo;

R costante dei gas, 8.314 J/(mol K); n logaritmo naturale di 10;

ΔH energia di attivazione, che nel caso della crescita del grano per gli acciai basso legati ha un valore ci circa 460.55 kJ/mol.

Nelle formule 2.5 non si tiene conto della presenza di impurità come S, P, Sn e As che sono comunque presenti in quantità molto basse e si considera non intervengano nel modificare sensibilmente la struttura metallurgica degli acciai. Non sono stati considerati gli acciai al boro a causa dell’influenza unica che ha questo elemento sugli acciai [9] [8] [13].

Le formule 2.5 sono state utilizzate, come descritto più in basso, per determinare il mix di fasi di cui è composto l’acciaio al termine del trattamento termico, una volta noti la composizione, i parametri di austenitizzazione e, punto per punto, le velocità di raffreddamento. Dal mix di fasi e dal loro volume specifico si calcola la variazione di volume, come descritto nel paragrafo seguente.

2.3.2 Calcolo della variazione di volume in seguito al

trattamento termico

Le varie fasi di cui può essere costituito un acciaio hanno differenti volumi specifici, riportati in tabella 2.5 [1] Nelle trasformazioni di fase indotte dai

Fase Volume speciﬁco

Ferrite 11.789 Cementite 12.769 Ferrite + Carburi 11.789 + 0.163 · C Perlite (0.78 · C) 11.916 Austenite 11.401 + 0.329 · C Martensite 11.789 + 0.370 · C

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trattamenti termici si ha quindi una variazione relativa di volume, quantiﬁcata dall’espressione: ΔV Vi = Vf − Vi Vi , (2.7) dove:

ΔV `e la variazione volumetrica riferita al volume iniziale;

Vf `e il volume ﬁnale;

Vi il volume iniziale.

La variazione di volume è proporzionale alla differenza di volume delle fasi che si trasformano, considerata isotropa in prima approssimazione, cioè tale da provocare una variazione relativa delle misure lineari, identica in tutte le direzioni.

La tempra è il trattamento che determina le deformazioni maggiori e più difficilmente prevedibili. L’entità delle deformazioni dipende dalla struttura ottenuta dopo tempra, cioè dalle fasi effettivamente presenti.

Per gli acciai di nostro interesse, se la trasformazione fosse completamente martensitica fino al cuore, si avrebbe un aumento di volume calcolabile con l’equazione 2.7; sostituendo i valori dei volumi specifici delle singole fasi iniziali (ferrite + carburi) e finali (martensite) riportati in tabella 2.5 si ottiene [1]:

ΔV Vi = 11.789 + 0.370 · C − (11.789 + 0.163 · C) 11.789 + 0.163 · C , (2.8) facendo i calcoli: ΔV Vi = 0.207 · C 11.789 + 0.163 · C. (2.9) Pertanto, essendo la variazione di volume sempre positiva la trasformazione martensitica comporterà sempre un’espansione. Se la velocità di raffreddamen-to non è sufficientemente elevata per ottenere la completa trasformazione in martensite parte dell’austenite si trasformerà in un mix variamente aggregato di ferrite e carburi dello stesso volume specifico delle fasi di partenza; in questa situazione l’equazione 2.9 deve essere modificata nella:

ΔV

Vi =

δ · 0.207 · C

11.789 + 0.163 · C, (2.10) dove il coefficiente δ rappresenta la frazione di martensite ottenuta durante il raffreddamento: seδ = 1 l’austenite si trasforma completamente in martensite e si ottiene di nuovo l’equazione 2.9, se δ = 0 l’austenite si è trasformata completamente in ferrite + carburi e l’aumento di volume risulta nullo.

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Il valore da assegnare a δ dipende quindi dalla velocità di raffreddamento dell’acciaio e dalle caratteristiche che determinano l’andamento delle curve CCT. Nel nostro modello abbiamo deciso di distinguere quattro casi, in base alla velocità di raffreddamento V_r calcolata durante la simulazione di transitorio termico e alle velocità critiche calcolate con il sistema Creusot-Loire, descritto al paragrafo 2.3.1:

1. se logV_r ≥ log V_M l’aumento di volume `e calcolabile con la 2.9;

2. se logV_M > log V_r ≥ log V_M50 la variazione di volume deve essere calcolata con la 2.10 con δ pari a:

δ = logVr+ logVM − 2 log VM50

2· (log V_M − log V_M50) ; (2.11) 3. se logV_M50 > log V_r ≥ log V_B la variazione di volume deve essere

calcolata ancora con la 2.10 con δ questa volta pari a:

δ = logVr− log VB

2· (log V_M50− log V_B); (2.12) 4. se logV_r < log V_B l’aumento di volume `e nullo.

Le 2.11 e 2.12 sono state ottenute seguendo la procedura descritta in appendice A.1

2.3.3 Descrizione dello script di elaborazione dei dati

Per la compilazione dello script di elaborazione dei dati, riportato per intero in appendice B.3, `e stata utilizzata la piattaforma Enthought Canopy che utilizza il linguaggio di programmazione Python.

Come nella fase precedente del modello, la prima parte dello script contiene i parametri necessari per l’esecuzione dei calcoli:

C, Mn, Cr, Ni, Mo rappresentano le concentrazioni percentuali in massa degli elementi di lega presenti nell’acciaio di cui `e costituito il pezzo analizzato, i commenti accanto a questi parametri ricordano i limiti di concentrazione riportati in tabella 2.4;

Ta `e la temperatura di austenitizzazione in K; ta `e il tempo di austenitizzazione in h;

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Gli ultimi tre parametri corrispondono rispettivamente ai T , t e ΔH del-la formudel-la 2.6. Su questi parametri deve intervenire l’utente in base al-le caratteristiche dell’acciaio e del ciclo termico; il DH pu`o essere lasciato invariato.

La ruota dentata utilizzata per la nostra simulazione viene prodotta in acciaio SAE 4320 e viene richiesta una profondità di penetrazione della cementazione pari a 1.4 mm. La composizione dell’acciaio è stata ricavata dalle specifiche tecniche fornite dai produttori, mentre per raggiungere la profondità di penetrazione desiderata gli impianti presenti in azienda impiegano un tempo di circa 7 h. Nella tabella 2.6 sono raccolti i valori numerici dei parametri necessari in questa seconda fase di modellazione.

C Mn Cr Ni Mo Ta ta

0.2 0.55 0.5 1.8 0.25 1123 7

Tabella 2.6: Valori numerici assegnati ai parametri nella seconda fase della simulazione.

Nella sezione successiva dello script vengono caricati i pacchetti math e numpy necessari per i calcoli e per la gestione dei vettori utilizzati successi-vamente nello script. Il pacchetto os permette, attraverso i comandi inseriti dopo il suo caricamento, di selezionare la cartella in cui si trova salvato il file contenente lo script come cartella di lavoro. In questo modo si automatizza il processo di acquisizione e scrittura dei dati: sarà sufficiente eseguire lo script da un file contenuto nella stessa cartella di lavoro utilizzata da ANSYS®.

La stringa successiva deﬁnisce il parametro Pa utilizzando la formula 2.6. Viene quindi caricato il ﬁle out.txt generato nella simulazione di tran-sitorio termico e salvato nel vettore temp dal quale verranno ricavati tutti i dati necessari all’elaborazione. Nelle prime due righe del vettore si trovano il numero di nodi del modello di transitorio termico e il numero di dati registrati per ogni nodo, che, coerentemente con la fase precedente, vengono salvati rispettivamente nei parametri M e S.

A questo punto si definisce la funzione find_nearest che servirà per il calcolo della velocità di raffreddamento. Come descritto nel paragrafo 2.3.1 il calcolo delle curve CCT si basa sulla velocità media di raffreddamento tra 800 e 500◦C; il vettore temp contiene le temperature registrate per ciascun nodo a vari istanti di tempo, ma sarà altamente improbabile che per tutti i nodi del modello vi siano due istanti di tempo nei quali si raggiungono esattamente le temperature desiderate. La funzione find_nearest calcola il valore assoluto della differenza tra il valore contenuto in ciascuna posizione

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del vettore e quello di target e restituisce l’indice del valore che minimizza tale calcolo.

Si passano a definire le velocità di raffreddamento critiche secondo il sistema Creusot-Loire. Poiché a noi interessa solamente la percentuale di martensite ottenuta dopo il trattamento termico, si sono inserite solamente le equazioni dalla 2.5a alla 2.5d. Per verifica si chiede al programma di visualizzare a schermo i valori dei parametri appena definiti, ovvero i logaritmi delle velocità critiche.

Nella fase successiva dello script è stato definito un ciclo for che per-mette di effettuare i calcoli necessari per ciascun nodo del modello FEM. In preparazione a questa fase si definiscono tre vettori:

 nodo che contiene numeri interi da 1 ad M + 1 ovvero i valori che deve assumere l’indice k nel ciclo for;

temp_fitt che raccoglier`a i valori di espansione volumetrica associati a ciascun nodo;

log_Vr nel quale verranno salvate le velocit`a di raﬀreddamento logarit-miche calcolate per ciascun nodo.

Il ciclo for opera secondo lo schema seguente:

1. si utilizza la funzione find_nearest deﬁnita in precedenza per indi-viduare le posizioni all’interno del vettore temp nelle quali si trovano registrati i valori di temperatura di nostro interesse: questa operazione viene eﬀettuata solo sulla parte del vettore temp che contiene i dati di temperatura relativi al nodo analizzato in quell’istante;

2. si calcola la velocit`a di raﬀreddamento media Vr note le posizioni sul vettore temp dei valori di tempo e temperatura ricavate al punto precedente, si calcola quindi il logaritmo e si registra tale valore nel vettore log_Vr;

3. attraverso una funzione if si stabilisce tra quali delle velocit`a criti-che deﬁnite in precedenza si trovi il log_Vr e, seguendo la procedura descritta al paragrafo 2.3.2, si calcola il valore dell’espansione volume-trica associata a ciascun nodo: tale valore viene registrato nel vettore temp_fitt.

Ovviamente tali operazioni vengono eseguite per tutti i nodi del modello FEM. Il nome del vettore che raccoglie i dati di output è giustificato dal fatto che l’espansione volumetrica calcolata in questa fase verrà inserita

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nella simulazione strutturale, ultima fase del modello, attraverso un valore di temperatura ed un coefficiente di espansione termica fittizi, come verrà chiarito nel paragrafo successivo.

Infine il vettore temp_fitt viene salvato in un omonimo file di testo di cui un estratto è mostrato in appendice B.4.

2.4 Modello FEM strutturale per la

valuta-zione delle deformazioni

La terza ed ultima fase del modello consiste in una simulazione strutturale che, tenendo conto delle variazioni di volume calcolate nella seconda fase, restituisce la geometria deformata del modello. Come per l’analisi di transitorio termico, `

e stato prodotto uno script, mostrato nell’appendice B.5 nel linguaggio APDL da eseguire con il software ANSYS® Mechanical.

Con i primi comandi dello script si resetta database e l’ambiente di lavoro, si assegna un nome ai ﬁle prodotti in output e si inizializza l’ambiente

Preprocessor.

Si carica quindi il file geometria.db, salvato durante la simulazione di transitorio termico, che contiene la mesh del modello FEM e tutti i parametri definiti in quella fase. Si definiscono quindi i parametri necessari per simulare l’espansione volumetrica dovuta alle trasformazioni di fase. Come anticipato al paragrafo precedente, si è deciso di procedere assegnando ai vari nodi una temperatura fittizia definendo opportuni coefficiente di espansione termica ALPX e temperatura di riferimento REFT anch’essi fittizi. Ponendo ALPX = 1/3 e REFT = 0 si è potuto di utilizzare come temperature fittizie direttamente i valori dell’espansione volumetrica calcolati in precedenza senza ulteriori operazioni, come chiarito in appendice A.2.

Si `e quindi cambiato il tipo di elemento che compone la mesh poich´e l’elemento PLANE55, utilizzato nella simulazione di transitorio termico, non permette un’analisi di tipo strutturale. Si `e scelto l’elemento PLANE182 ovvero

“2-D 4-Node Structural Solid” a 4 nodi con gradi di libert`a gli spostamenti lungo gli assi “x” ed “y”. Esso `e inoltre in grado di simulare l’espansione termica e, attivando l’opportuna keyoption, permette di eﬀettuare un’analisi di tipo assialsimmetrico [12].

Si selezionano tutti i nodi, si chiude l’ambiente preprocessor e si apre il “solutore”.

Il comando successivo deﬁnisce i vincoli: si impone nulla la componente “y” dello spostamento del nodo che si trova ad y = 0 in corrispondenza del

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diametro esterno maggiore D1, simulando la condizione in cui il pezzo si trovi semplicemente appoggiato su un piano.

Viene quindi definito il vettore temp_fitt che ha dimensione pari ad M, ovvero il numero di nodi presenti nel modello; all’interno di esso vengono inseriti i dati contenuti nell’omonimo file di testo, prodotto nella fase di elaborazione dei dati: è necessario che tale file sia contenuto nella cartella di lavoro di ANSYS®, anche per questo motivo è consigliabile salvare ed eseguire tutti e tre gli script che compongono il modello nella stessa cartella.

`

E stato quindi definito un ciclo *DO, il cui funzionamento è simile a quello del ciclo for utilizzato nella fase precedente, che legge i valori di temperatura dal vettore temp_fitt e li assegna in ordine al nodo corrispondente. Questa operazione è possibile grazie al fatto che in tutti i passaggi, a partire dalla raccolta dei dati dopo la simulazione del transitorio termico, i dati sono stati mantenuti in ordine secondo il numero del nodo corrispondente.

Si selezionano tutte le entit`a del modello e si procede alla soluzione; si apre quindi l’ambiente Postprocessor tempo indipendente.

Per poter avere una prima verifica visiva che il modello abbia funzionato correttamente viene visualizzata la geometria deformata del pezzo sovrap-posta alla mesh non deformata, con gli ssovrap-postamenti amplificati attraverso un opportuno fattore di scala scelto dal programma e mappato l’andamento della temperatura fittizia. Questo, come nel caso precedente, permette di verificare che non siano stati commessi errori grossolani nella risoluzione del modello. Se ad esempio l’andamento delle temperatura fittizia risultasse incongruente con l’andamento della temperatura reale visualizzata al termine della simulazione di transitorio termico probabilmente non è stato rispettato l’ordine dei nodi nei vari passaggio di scrittura, elaborazione e acquisizione dei dati. L’immagine ottenuta nella nostra simulazione è mostrata in figura.2.6

Come per il modello di transitorio termico si `e utilizzato il comando *ASK per creare una pausa nell’esecuzione dello script.

Si definisce quindi un percorso, che corrisponde alla generatrice del cilindro di diametro D1, attraverso i punti iniziale e finale; si chiede di calcolare la componente “x” spostamento UX dei nodi lungo tale percorso e se ne visualizza il grafico. Il grafico ottenuto nella nostra simulazione è mostrato in figura 2.7.

Inﬁne si seleziona il nodo che si trova ad y = 0 in corrispondenza del diametro del foro interno DI, ovvero in corrispondenza dell’asse se il foro non `

e presente, e si chiede di visualizzarne lo spostamento.

I risultati della simulazione che si è scelto di visualizzare corrispondono a quelli di nostro interesse per il confronto con i dati sperimentali, ovviamente tale scelta può essere diversa e dipende dalle necessità dell’utilizzatore del modello.

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Figura 2.6: Temperatura ﬁttizia mappata sulla geometria deformata e sovrapposta alla mesh non deformata.

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Figura 2.7: Spostamento in direzione “x” calcolato lungo la generatrice del cilindro maggiore.