Capitolo 2 Modello energetico

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Capitolo 2- Modello energetico

Capitolo 2

Modello energetico

2.1 Introduzione

Nel primo capitolo si era accennato all’importanza e all’utilità di avere a disposizione dei modelli fisico-matematici e di simulazione in grado di riprodurre con sufficiente accuratezza la dinamica delle ruote con pneumatico, specialmente nelle applicazioni aeronautiche dove si ha a che fare con carichi importanti per i quali la realizzazione di campagne di prove sperimentali è molto difficile e dispendiosa. Questa tesi si inserisce dunque in un contesto di attività di ricerca, sviluppate presso il Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale, che hanno appunto lo scopo di generare modelli che consentano di simulare le dinamiche a terra dei velivoli. In particolare in questo lavoro si cerca di definire un modello rappresentativo di prove di frenata su tamburo rotante, Drum Test, simulanti la fase di atterraggio.

La problematica incontrata, già nelle fasi iniziali di elaborazione e precedentemente riscontrata da altri ricercatori, è stata quella di reperire dati e misure sperimentali di confronto necessarie per poter validare le prestazioni dei modelli analitici e numerici delle ruote con pneumatico.

Questo capitolo descrive in prima fase i modelli fisico–matematici relativi alla ruota con pneumatico in tutte le possibili condizioni di impiego, quali quelle di moto frenato e non frenato su pista piana e su tamburo rotante, al fine di poter valutare meglio gli effetti indotti dalla presenza del tamburo sulla dinamica del sistema rispetto alla condizione di moto su pista. In seconda fase, si illustra il modello di simulazione relativo al Drum Test, chiamato modello QSTM_07 e sviluppato in [1], evidenziando le modalità con cui sono state

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Capitolo 2- Modello energetico superate le problematiche dovute alla mancanza delle look-up tables e dei dati sperimentali della forza frenante e di rotolamento, e la sua implementazione in ambiente Simulink. In ultimo vengono rappresentati dettagliatamente i risultati ottenuti attraverso il modello QSTM_07 confrontandoli con i dati sperimentali.

2.2 Puro rotolamento stazionario su pista

Il primo caso che viene preso in esame è il più semplice e si basa sulla definizione di puro rotolamento ossia ruota trascinata a velocità costante da una forza tale da equilibrare la resistenza al rotolamento, in assenza di coppie applicate al mozzo, figura 2.1.

N

0 roll

F

h x 0 roll roll0

F

V

0 roll

N

figura 2.1 Puro rotolamento stazionario su pista.

Essendo questa una condizione stazionaria valgono le seguenti equazioni:

    µ = = − N F 0 Nx h F 0 roll 0 roll 0 roll 0 roll (2.1)

Inoltre il raggio di puro rotolamento vale:

e V R

ω

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Capitolo 2- Modello energetico La potenza dissipata per mantenere in moto stazionario la ruota è pari a :

V F P 0 roll 0 = (2.3)

2.3 Puro rotolamento quasi stazionario su pista

La condizione di puro rotolamento quasi stazionario è caratterizzata dalla mancanza della forza di trascinamento che, applicata all’asse della ruota, garantiva la stazionarietà del moto. In questo caso la velocità della ruota si riduce progressivamente a causa della forza dissipativa

1 roll

F tanto più velocemente tanto più è piccola la massa. Nel caso in cui invece la massa della ruota sia abbastanza grande si assiste ad una diminuzione lenta della velocità (condizione di quasi stazionarietà) per cui i valori del raggio Re1,

1 roll x e 1 roll µ non cambiano significativamente rispetto a quelli di Re, xroll₀e µroll₀. Facendo riferimento alla

figura 2.2 si scrivono le equazioni del moto:

    − = µ = − = ω V m N F Nx h F I 1 roll 1 roll 1 roll 1 roll 1 roll & & (2.4)

in cui m ed I sono la massa e il momento d’inerzia rispetto all’asse della ruota.

N

roll

V

roll x h

N

F

_roll₁ 1 1

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Capitolo 2- Modello energetico Diversamente dal caso di puro rotolamento quasi stazionario la potenza dissipata risulta:

1 roll 1 roll I V V m P =− & − ω& ω (2.5)

2.4 Frenata quasi stazionaria su pista

Con riferimento allo schema di figura 2.3, non essendoci alcuna forza trainante applicata al mozzo, la ruota andrà incontro ad un progressivo rallentamento a causa della forza F che si viene a generare tra suolo e battistrada dovuta in parte all’applicazione del momento frenante e in parte ai soliti fenomeni dissipativi. Va precisato che l’analisi svolta è relativa ad una frenata quasi stazionaria in cui cioè s&_x =0, ossia l’intensità della frenata è costante nel tempo.

T

N

F

h x

V

N

figura 2.3 Frenata quasi stazionaria su pista.

Le equazioni del moto sono:

   − = µ = − − = ω V m N F T Nx Fh I & & (2.6)

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Capitolo 2- Modello energetico ω − ω ω − − = mVV I T P & & (2.7)

Ricordando che il coefficiente di scorrimento pratico era stato scritto come:

b e e e e x R R 1 V R 1 V R V s = −ω = −ω = − in cui ω = V R b e

si può riscrivere la (2.7) nel seguente modo (cfr. Appendice A):

(

+ξ

)

− ω =F1 V T P (2.8) in cui

( )

−ε = ξ 1 R 1 m I 2 b e (2.9) V e e dV dR R V = ε (2.10)

A questo punto si può introdurre l’idea fondamentale del modello energetico: si scompone la forza F in due contributi:

b roll F

F

F= + (2.11)

in cui F_roll è la quota di F dovuta ai fenomeni di isteresi, di aderenza e di attrito mediante i quali si ha la dissipazione dell’energia, e con F la quota di F dovuta esclusivamente alla _b

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Capitolo 2- Modello energetico applicazione del momento frenante. Quindi l’equazione (2.8 ) può esser riscritta come:

(

+

)(

+ξ

)

− ω

= F F 1 V T

P _roll _b (2.12)

in modo che, operando l’equilibrio dei contributi come indicato, si ottiene:

(

)

V P 1 1 F_roll ξ + = (2.13)

(

)

eb b R T 1 1 F ξ + = (2.14)

Attraverso questa separazione dei ruoli la prima delle equazioni (2.6) può essere riscritta al fine di calcolare il braccio x della risultante delle azioni verticali al suolo:

      − +       ξ + = h R 1 h N F h R 1 h N F x roll eb b eb (2.15)

la quale mette in luce, come già le (2.13) e (2.14), il fatto che l’introduzione della coppia frenante T determina solo una ridistribuzione delle pressioni al suolo. La x è ottenuta dunque come somma di due contributi:

b roll x

x

x= + (2.16)

che per il caso T = 0, per cui F_b =0 e s_x =0, si riduce al solo valore x_roll.

Nel caso in cui si applichi una forza F al mozzo, come illustrato in figura 2.4, si ricade nel caso di frenata stazionaria per la quale le equazioni (2.6) si riducono a :

(

)

   µ + µ = µ = = − − N N F 0 T Nx Fh b roll (2.17)

(7)

Capitolo 2- Modello energetico

F

N

V

x h

F

N

T

figura 2.4 Frenata stazionaria su pista.

(

+

)

− ω = F F V T P _roll _b (2.18) da cui: V P F_roll = (2.19) b e b R T F = (2.20)

Lo scostamento x si semplifica in:

(

R h

)

N F h N F x= roll − b _e_b − (2.21)

2.5 Frenata non stazionaria su tamburo rotante

Questo è il caso sul quale è fondato il modello QSTM_07. Le equazioni del moto si differenziano da quelle relative alla frenata su pista piana non solo per la presenza di un

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Capitolo 2- Modello energetico w D

R

D w

T

N

F

h x

V

N

F

figura 2.5 Frenata non stazionaria su tamburo rotante.

termine aggiuntivo, −Nx/R_D, dovuto alla curvatura della superficie del tamburo rotante con il quale si trova a contatto il battistrada della ruota, ma per il fatto che il sistema ora non è più costituito dalla sola ruota bensì dalla ruota e dal tamburo. Ne consegue che il momento Nx non solo va ad influenzare la dinamica della ruota in maniera diretta ma anche in maniera indiretta attraverso la dinamica del tamburo. Ovviamente nel caso in cui

∞ → D

R si ricade nel caso di frenata su pista piana. Bisogna notare che in questo caso non è stata fatta nessuna ipotesi circa la stazionarietà della frenata per cui s&_x ≠0 e i risultati sono alquanto diversi da quelli fin’ora ottenuti.

Le equazioni del moto, scritte ora sia per la ruota che per il tamburo, sono:

     − − = − − = ω D D w w w R x N F V m T Nx Fh I & & (2.22) in cui ₂ D D D R I m = e V=R_Dω_D.

L’equazione dell’energia è identica a quella relativa alla frenata stazionaria su pista piatta, ossia:

(

ω +

)

ω

− −

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Capitolo 2- Modello energetico così come tutte le relazioni cinematiche che definiscono R e _e R_e_b.

Una relazione utile per poter riscrivere la (2.23) in funzione della forza F è la seguente:

( )

x e b e w s R V 1 R V & & & = −ε − ω (2.24)

che permette di poter scrivere il termine

(

I_wω&_w +T_w

)

che compare nella (2.23) come segue:

( )

D

(

f

)

w b e 2 D w w w m V 1 u T R R 1 T I ω& + =ς −ε & + + (2.25) in cui: 2 D D w D w R m I I I = = ς (2.26) x e w w f s R V T I u =− & (2.27)

L’equazione (2.23) si può ora riscrivere tenendo conto della (2.25) come segue:

(

)

(

) ( )

−η         + + − η −       +         η + = 1 R R 1 u 1 R T 1 R h 1 R R 1 F V P D b e f b e w D b e D _(2.28)

dove il parametro η è definito come:

( )

−ε ς = η b e D R R 1 (2.29)

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Capitolo 2- Modello energetico Anche in questo caso separando la forza F nel contributo " roll ", componente dissipante, e nel contributo " b ", componente dovuta all’applicazione del momento frenante, si ottiene:

(

)

      +         η + η − = D b e D roll R h 1 R R 1 1 V P F (2.30)

(

)

      +         η +         + + = D b e D D b e f b e w b R h 1 R R 1 R R 1 u 1 R T F (2.31)

Sostituendo nelle equazioni del moto i risultati ottenuti si ricava l’espressione del braccio x:

(

)

        +         − + η −       η + = D b e b e b D roll R R 1 h R 1 h N F 1 h R 1 h N F x (2.32)

in cui ancora una volta il primo termine del secondo membro rappresenta lo scostamento roll

x mentre il secondo lo scostamento x . _b

2.6 Frenata non stazionaria su tamburo rotante con momento

applicato sul tamburo

In questo paragrafo viene considerato la condizione in cui venga applicato oltre ad un momento frenante Tw sulla ruota un momento TD sul tamburo, considerato positivo se frenante, figura 2.6. In questo caso si possono studiare sia la condizione di moto stazionario

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Capitolo 2- Modello energetico D

T

F

N

V

x h

F

N

T

w D

R

_D w

figura 2.6 Frenata non stazionaria su tamburo rotante con momento applicato sul

tamburo.

non frenato, cioè con ω&_w =0, ω&_D =0 ed s_x =0, che quella stazionaria frenata, con 0

w =

ω& , ω&_D =0, s_x ≠0 e s&_x =0.

Le equazioni del moto diventano:

     − − − = − − = ω D D D D w w w R T R x N F V m T Nx Fh I & & (2.33)

L’equazione dell’energia, mettendo in conto l’effetto del momento TD diviene:

(

w w w

)

w D D _V _I _T R T V m P _ − ω + ω      + − = & & (2.34)

Procedendo poi in maniera del tutto analoga al caso precedente si ottiene per la potenza l’espressione:

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(

)

(

) ( )

(

−η

)

        + η + η −         + + − η −       +         η + = 1 R R 1 R T 1 R R 1 u 1 R T 1 R h 1 R R 1 F V P eb D D D D b e f b e w D b e D _(2.35)

La forza F può essere ora decomposta considerando il fatto che in questo caso, oltre ai contributi di rollio e di frenata ne esiste un terzo dovuto alla presenza del momento sul tamburo. Quest’ultimo termine viene considerato, analogamente a quanto fatto per la Froll, come una componente dissipativa del moto per cui va a bilanciare con Froll la potenza dissipata mentre la Fb rimane legata esclusivamente alla coppia Tw. Sotto tali ipotesi:

(

)

      +         η +         + η −       +         η + η − = D b e D b e D D D D b e D roll R h 1 R R 1 R R 1 R T R h 1 R R 1 1 V P F (2.36)

(

)

      +         η +         + + = D b e D D b e f b e w b R h 1 R R 1 R R 1 u 1 R T F (2.37)

Infine per quanto riguarda l’espressione finale del braccio della risultante delle pressioni all’interfaccia battistrada-pneumatico, si ha:

(

)

(

−η

)

η +         +         − + η −       η + = 1 N T R R 1 h R 1 h N F 1 h R 1 h N F x D D b e b e b D roll _(2.38)

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2.6.1 Equilibrio in condizione stazionaria non frenata: calcolo della

coppia motrice.

Come annunciato nel paragrafo 2.6 si può calcolare la coppia da applicare al tamburo affinché, in assenza di momento frenante sulla ruota, il sistema ruota-tamburo si mantenga in equilibrio in condizioni stazionarie. Le equazioni del moto (2.33) diventano:

     = − − − = − 0 R T R x N F 0 Nx h F D e D D roll roll (2.39)

che risolte permettono di ricavare il valore da assegnare al momento T_D_e

roll D D e D F R h 1 R T _      + − = (2.40)

Infine l’espressione di x a regime è data da:

(

)

(

−η

)

η + η −       η + = 1 N T 1 h R 1 h N F x De D roll _(2.41)

per cui in definitiva, per ottenere una condizione stazionaria non frenata è sufficiente che al tamburo venga applicata una coppia tale da ridurre opportunamente il momento frenante legato alla risultante delle pressioni N.

2.6.2 Equilibrio in condizione stazionaria frenata: calcolo della coppia

motrice.

A differenza del caso precedente questo vede l’applicazione di un momento frenante sulla ruota e di un momento sul tamburo tale da porre il sistema in condizioni di regime, in cui

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Capitolo 2- Modello energetico cioè le accelerazioni angolari ω& , _w ω&D siano nulle pur essendo sx ≠0. Le equazioni (2.39)

vengono dunque corrette con il termine T_w₀:

     = − − − = − − 0 R T R x N F 0 T Nx h F D 0 D D 0 0 0 w 0 0 0 (2.42)

mentre per il braccio, essendo s_x ≠0, vale la seguente equazione:

(

)

(

)

N T 1 N F R R 1 h h R 1 N F 1 h h R 1 x D0 0 0 0 b D 0 b e 0 0 0 b e 0 roll 0 0 0 D 0 0 ₋_η η +         +         − + η −       η + = (2.43)

I valori da assegnare ai momenti applicati alla ruota e al tamburo, per mantenere il sistema in condizioni di moto stazionario frenato sono:

(

0

)

0

(

0 D 0

)

0 0 w Nxˆ 1 F R h T =− −η + η + (2.44)

(

0

)

D 0

(

0

)

0 0 D F 1 R xˆ N1 T =− −η − −η (2.45) in cui si è assunto:

(

)

N F R R 1 h h R 1 N F 1 h h R 1 xˆ b0 D 0 b e 0 0 0 b e 0 roll 0 0 0 D 0 0         +         − + η −       η + =

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2.7 Modelli di simulazione

2.7.1 Dati sperimentali relativi a prove di frenata su tamburo rotante

I dati disponibili presso il DIA derivano da prove di frenata su tamburo rotante, condotte presso un’industria europea produttrice di freni per uso aeronautico. I test sono stati effettuati utilizzando singole ruote di un carrello principale di un velivolo da trasporto civile e sono caratterizzati da bassi valori della coppia frenante e da carichi verticali costanti diversi in ciascun test.

Come già spiegato nel paragrafo 1.2 i test vengono condotti premendo la ruota sul tamburo in acciaio attraverso il carico verticale Fz, un motore elettrico mette poi in rotazione il tamburo che trascina, nella sua rotazione, la ruota. Una volta raggiunta la velocità voluta il tamburo viene messo in folle e alla ruota viene applicato un momento frenante T. Il sistema viene lasciato evolvere mentre alcune grandezze vengono registrate.

Nella figura 2.7 vengono riportati in dettaglio alcuni dei dati registrati durante i test, relativi alla coppia frenante, al carico verticale, alle velocità angolari della ruota e del tamburo. Da notare che il rumore osservabile è probabilmente dovuto a vibrazioni della macchina dinamometrica durante l’evoluzione della prova. I dati disponibili sono relativi a tre prove effettuate a tre diversi carichi verticali il cui valore medio è pari a circa il 78,9%, il 58,9% e il 24.7% del carico nominale (massimo carico a cui il pneumatico può essere sottoposto) pari a 204500 N, e dunque di 161424 N, 120324 N e 50455 N.

L’analisi dei dati disponibili, nelle fasi preliminari di elaborazione del modello, ha reso necessaria la risoluzione di diversi problemi legati principalmente alla loro esiguità ma soprattutto al fatto che sono stati registrati con obiettivi diversi dallo studio del comportamento del pneumatico, giustificando l’assenza di registrazioni relative alla forza longitudinale. Inoltre prove effettuate in condizioni non frenate ed in assenza di forze di trascinamento sull’asse della ruota avrebbero premesso di poter valutare meglio gli effetti dissipativi dovuti alla sola forza di rotolamento. Sarebbero inoltre state utili registrazioni delle velocità angolari della ruota e del tamburo negli istanti prima dell’applicazione del momento frenante T che avrebbero permesso di caratterizzare meglio la condizione di stazionarietà. Va inoltre precisato che le informazioni complete su come le prove siano

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Capitolo 2- Modello energetico state svolte non sono disponibili per cui, sulla base delle descrizioni di test simili disponibili in letteratura si suppone siano state eseguite come descritto precedentemente.

Nella tabella 2.1 vengono riassunte alcune delle grandezze caratteristiche della ruota e del tamburo. 0 5 10 15 20 25 30 -5 0 5x 10 4 [N *m ] Momento frenante T 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2x 10 4 [N ] Carico verticale N 0 5 10 15 20 25 30 -100 0 100 200 [r a d /s ] Omega Wheel 0 5 10 15 20 25 30 0 20 40 60 tempo [s] [r a d /s ] Omega Drum Test1 Test2 Test3

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momento d’inerzia del tamburo 25025 kg⋅m2

momento d’inerzia del gruppo pneumatico-ruota-freno 20.06 kg⋅m2

raggio del tamburo 1.432 m

raggio della ruota indeformato alla pressione di gonfiaggio 0.59625 m larghezza del pneumatico alla pressione di gonfiaggio 0.4369 m

pressione di gonfiaggio 13.8 bar

massima velocità V consentita al pneumatico 114 m/s

carico nominale 204500 N

Tabella 2.1 Dati inerziali e geometrici del tamburo e della ruota utilizzati nelle prove.

2.7.2 Legami funzionali tra i parametri del modello energetico

Le proprietà del pneumatico sono date dalle case produttrici nelle look-up tables, tabelle di consultazione in cui sono riportati tutta una serie di dati che hanno lo scopo di stabilire le dipendenze funzionali tra i parametri che caratterizzano il problema quali:

1. lo schiacciamento δ del pneumatico in funzione del carico verticale N e della pressione di gonfiaggio pi ;

2. il raggio R del pneumatico relativamente alla velocità;

3. la distanza h tra mozzo della ruota e suolo in funzione di V ed N;

4. il raggio di puro rotolamento stazionario R in funzione del raggio R e dello _e schiacciamento;

5. il coefficiente di puro rotolamento stazionario 0 roll

µ in funzione di V ed N.

In questo caso, non essendo in possesso delle look-up tables, le strutture delle funzioni utilizzate nel modello energetico sono state dedotte da [3], correggendo, in accordo con [4], lo schiacciamento δ, definito per un pneumatico testato su pista piana, in modo tale da mettere in conto l’influenza della curvatura del tamburo (cfr.Appendice B).

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1. Schiacciamento radiale del pneumatico.

Lo schiacciamento radiale del pneumatico, δ, è l’abbassamento del mozzo della ruota a causa dell’applicazione del carico verticale N. La relativa funzione, ottenuta da test condotti in condizioni statiche, può essere sintetizzata come:

      = δ r i z p p , N f (2.46)

Nel modello QSTM_07 non si utilizza in realtà la (2.46) così come scritta in [3], ma viene elaborata attraverso [4](cfr. Appendice B) per ottenere:

          = + + − = δ δ = δ nom a Nb a Nb 2 Na Na a 0 a N N N C 2 N C 4 C C R (2.47)

dove δa è adimensionale essendo CNa e CNb coefficienti funzione di pi/pr e Nnom.

Fissata la pressione di gonfiaggio, l’andamento di δ in funzione del carico verticale è riportato in figura 2.8. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 105 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 Carico verticale N [N] δ [ m ]

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2. Raggio del pneumatico

Il raggio R del pneumatico, quando non sottoposto a carichi esterni, varia in funzione della velocità della ruota V a causa dell’effetto della forza centrifuga che si sviluppa durante la rotazione. Il legame tra R e V è espresso nella forma implicita dalla:

      = max R 0 V V f R R (2.48)

in cui R0 è il raggio indeformato (V = 0, N = 0) e Vmax è la massima velocità consentita. Nel

modello QSTM_07 la funzione fR utilizzata è quella indicata nella (2.49):

2 max RV 0 V V C 1 R R       + = (2.49)

che esprime l’andamento parabolico di R in funzione di V essendo CRV costante, figura 2.9.

0 20 40 60 80 100 120 0.598 0.6 0.602 0.604 0.606 0.608 0.61 0.612 0.614 0.616 0.618 V [m/s] R [m ]

figura 2.9 Andamento del raggio del pneumatico R in funzione della velocità V.

3. Distanza tra mozzo della ruota e suolo

La distanza h del mozzo della ruota dal suolo viene ricavato dalla combinazione degli effetti del carico verticale e della velocità delle relazioni (2.47) e (2.49), infatti:

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δ −

=R

h (2.50)

La figura 2.10 mostra l’andamento relativo alla (2.50).

0 20 40 60 80 100 120 0.49 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 V [m/s] h [m ] Test1: 78.9% N_nom Test2: 58.8% N_nom Test3: 24.7% N_nom

figura 2.10 Andamento dell’altezza h del mozzo della ruota rispetto alla superficie del

drum in funzione della velocità e relativamente ai tre test.

4. Raggio di puro rotolamento

Attraverso test condotti in condizioni di puro rotolamento stazionario e per mezzo della definizione di raggio di puro rotolamento data nell’equazione (2.2) si è potuto osservare che Re non è solo funzione della velocità V bensì anche del carico verticale N (a parità di

tutti gli altri fattori) come esprime l’equazione in forma implicita (2.51):

      _δ = 0 e e R f R R (2.51)

Nel caso dei test su macchina dinamometrica simulati con il modello QSTM_07, la funzione (2.51) viene esplicitata come segue:

es 1 re 0 re e _R R C R C 1 R R = δ + δ + = (2.52)

(21)

Capitolo 2- Modello energetico dove i coefficienti C_re₀e C_re₁sono costanti. Il suo andamento è riportato nella figura 2.11.

0 20 40 60 80 100 120 0.565 0.57 0.575 0.58 0.585 0.59 0.595 0.6 0.605 V [m/s] R e [m ] Test1: 78.9% N_nom Test2: 58.8% N_nom Test3: 24.7% N_nom

figura 2.11 Andamento del raggio di puro rotolamento Re in funzione della velocità e

relativamente ai tre test.

5. Coefficiente di resistenza di puro rotolamento

Dal paragrafo 1.2 , in cui veniva analizzata la condizione di puro rotolamento stazionario, si era visto come tra suolo e battistrada nascessero delle azioni tangenziali che dovevano essere equilibrate da una forza esterna F, applicata al mozzo, per evitare che la ruota andasse incontro ad un progressivo rallentamento. Dunque la forza esterna F deve essere:

N F F 0 roll 0 roll =µ = (2.53)

Il coefficiente µ_roll₀ in condizioni di moto stazionarie è costante ma varia qualora varino la velocità e il carico normale:

(

V,N

)

0 roll 0 roll =µ µ (2.54)

(22)

Capitolo 2- Modello energetico n max 2 rv 2 max 1 rv 2 0 2 rd 0 1 rd 0 rd 0 roll V V C 1 V V C 1 R C R C C       +       +               _δ + δ + = µ (2.55)

dove C_rd₀, C_rd₁, C_rd₂, C_rv₁,C_rv₂, n sono tutte delle costanti. In figura 2.12 è riportata la variazione di

0 roll µ al variare di V ed N. 0 20 40 60 80 100 120 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9x 10 -3 V [m/s] µ roll 0 [--] Test1: 78.9% N nom Test2: 58.8% N nom Test3: 24.7% N nom

figura 2.12 Andamento del coefficiente di resistenza in condizioni di puro rotolamento 0

roll

µ in funzione della velocità e relativamente ai tre test.

2.8 Curve caratteristiche

Il modello energetico prevede la scomposizione della forza F in due contributi F_roll e F _b dovute la prima a fenomeni dissipativi che si generano a causa dell’isteresi della gomma, la seconda unicamente all’applicazione del momento frenante T. Purtroppo la mancanza di registrazioni relative alla forza longitudinale esercitata dal suolo sul battistrada complica la ricostruzione dei legami strutturali tra F , F e lo scorrimento longitudinale al variare

(23)

Capitolo 2- Modello energetico della velocità. Questo ha comportato l’adozione di una procedura identificativa "manuale"che ha permesso la formulazione delle strutture delle funzioni F_roll(s_x) e F_b(s_x). La dipendenza del coefficiente µ_roll, rapporto F_roll/N, dallo scorrimento pratico è stata individuata attraverso la procedura che può esser sintetizzata come segue:

suddivisione del tempo di registrazione dati in finestre temporali ∆t al fine di poter determinare, in tali campi di variazione, le derivate V&

( )

t_i e ω&

( )

t_i , come indicato da figura 2.13;

calcolo della potenza P dissipata all’istante ti tramite l’equazione (2.23);

calcolo della forza di resistenza al rotolamento F_roll

( )

t_i , come da equazione (2.30), e del coefficiente µ_roll

( )

t_i noto il carico verticale N;

calcolo del coefficiente di scorrimento pratico s_x negli istanti ti;

interpolazione quadratica dei dati relativi a s_x(t_i) e

( )

_i

0 roll i

roll t /µ t

µ con curva

unica per i tre test, figura 2.14. La struttura identificata risulta dunque:

(

2

)

x roll 0 roll roll =µ 1+K s µ (2.57)

in cui K_roll è una costante ottenuta attraverso la procedura suddetta. Da notare che nel caso in cui T=0 si ha s_x =0 per cui si ricade nel caso di puro rotolamento stazionario in cui

0 roll roll =µ

(24)

figura 2.14 Interpolazione quadratica dei dati relativi a s_x(t_i) e

( )

_i 0 roll i

roll t /µ t

µ con

curva unica per i tre test.

La dipendenza del coefficiente di attrito di frenata µ_b, rapporto F_b/N, dallo scorrimento pratico sx è stata invece definita come:

(

)

    + = + = µ _µ V C C K ) s ( sign s K s K 1 0 2 x 2 x 2 x x s b (2.58)

in cui i coefficienti K_µ_s_x,C e ₀ C₁ sono delle costanti determinate attraverso l’identificazione manuale.

In questo caso l’identificazione della struttura µ_b =f_b

(

s_x_,V,N

)

è stata sviluppata facendo delle considerazioni relative agli istanti immediatamente successivi all’applicazione del momento frenante e a quelli seguenti. Infatti, come si può osservare dalla figura 2.15, l’andamento del coefficiente µ_b nei primi istanti è lineare in s_x mentre successivamente assume un andamento approssimativamente quadratico tendendo ad un asintoto orizzontale per s_x →1.

Approssimativamente nei primi 0.1÷0.2 secondi µ_b ha una dipendenza lineare in s_x, ossia:

N s K

(25)

figura 2.15 Andamento del coefficiente d’attrito µ_b in funzione dello scorrimento s_x.

per cui l’identificazione di F , nei primi istanti, coincide con la determinazione del valore _b da assegnare al parametro

x s

K_µ . La procedura utilizzata fa uso delle seguenti ipotesi, valide unicamente durante i primi istanti successivi l’applicazione del momento frenante T: • piccoli valori del coefficiente µ_b;

• piccole variazioni nella velocità V, a causa della forte inerzia del tamburo, tali da poter considerare V& =0 e ε=0;

• piccola variazione del raggio di frenata rispetto al valore assunto in condizioni di puro rotolamento tale da poter assumere R_e_b =R_e.

Riscrivendo l’equazione (2.31) facendo uso delle ipotesi descritte si determina l’equazione dinamica dello scorrimento (cfr. Appendice B), valida approssimativamente per i primi 0.1÷0.2 secondi dall’applicazione del momento frenante:

T V I R s NK R V I R s w e x x s * e w e x + µ = & (2.60)

sistema del primo ordine con un polo nel semipiano negativo:

x s * e w e _R _NK V I R p=− _µ (2.61)

(26)

Capitolo 2- Modello energetico       +       +       _η + = D e D e D e * e R R 1 R h 1 R R 1 R R (2.62)

Considerando poi che nei primi istanti il momento frenante T e lo scorrimento sx possono

essere descritti come funzioni lineari del tempo, come illustrato in figura 2.16, si può arrivare alla determinazione della pendenza K_µ_s_x per i tre test:

) NR ( s T K _* e xt t x s = µ (2.63)

Dopo i primi istanti le ipotesi formulate in precedenza non possono essere più utilizzate per cui l’identificazione viene fatta determinando, sempre attraverso l’equazione (2.31), i valori F_b(t_i) per i tre test. Anche in questo caso, come in quello relativo all’identificazione di µ_roll, viene calcolato lo scorrimento pratico s_x(t_i) e i dati così ottenuti vengono riportati in un diagramma µ_b,s_x, figura 2.17. Osservando il diagramma si nota come i dati, al diminuire della velocità, si spostano verso s_x più grandi e µ_b più piccoli, mostrando però una variazione in s_x sensibilmente maggiore rispetto a quella in µ_b.

figura 2.16 Andamenti del momento frenante T e dello scorrimento pratico s_x nei primi istanti.

(27)

figura 2.17 Dipendenza del coefficiente d’attrito µ_b dallo scorrimento pratico s_x.

Come mostrato in figura 2.17 per ogni dato, calcolato per un determinata velocità V, viene fatta passare una parabola per cui la funzione µ_b =f_b

(

s_x_,V,N

)

è descritta da fasci di parabole che tendono a richiudersi al diminuire della velocità e aventi identica pendenza

) N (

K_µ_s_x per s_x →0. La variazione delle parabole con la velocità è stata assegnata al parametro K₂(N,V) identificato come una retta con coefficiente angolare identico per ogni carico verticale N e intercetta funzione di N, figura 2.18.

(28)

2.9 Modello QSTM_07 in ambiente Simulink

Il modello QSTM_07 è stato realizzato, a partire da un modello già preesistente chiamato QSTM_04, come strumento di analisi e verifica della validità generale del modello energetico. Attraverso la realizzazione di un programma di simulazione numerica, che ha lo scopo principale di risolvere per via numerica equazioni più o meno complesse, è possibile infatti confrontare i risultati da esso ottenuti con quelli sperimentali a disposizione. In questo modo, analizzando le differenze che inevitabilmente si riscontrano si possono ricavare informazioni utili per comprendere quali aspetti fisici siano stati correttamente interpretati e quali invece non siano stati contemplati nel modello.

In questo paragrafo viene illustrata la struttura del programma implementato in ambiente Simulink mentre nel paragrafo 2.10 vengono analizzati nel dettaglio i risultati ottenuti dalle simulazioni.

Il sistema ruota-tamburo viene scomposto in più parti traducendo ciascuna di esse in "blocchi" che vengono poi messi in relazione tra loro. Nella figura 2.19, rappresentante lo schema Simulink d’assieme del sistema, sono presenti tre blocchi denominati "Dynamometric Machine", "Wheel Dynamics" e " Tyre Mechanics " i quali descrivono la

N_0 N V Om ega_W T_D F x h TYRE MECHANICS Memory1 RD T_D F x N Om ega_D DYNAMOMETRIC MACHINE 0 Constant N Tw F x h Om ega_W WHEEL DYNAMICS T ORQUE DRUM BRAKING T ORQUE Memory 1

(29)

Capitolo 2- Modello energetico 1 [samp_t,samp_T ] measured data Step Sindelay Multiport Switch1 Finite step T _W_0 Constant T Braking T orque 1

figura 2.20 Modello QSTM_07 Simulink: ingresso Braking Torque (II livello).

dinamica della macchina dinamometrica, della ruota e la meccanica del pneumatico. Il sistema viene forzato attraverso tre ingressi, uno rappresentato dal momento frenante applicato alla ruota, l’altro dal momento applicato al tamburo e un terzo, evidenziato in colore diverso dai precedenti, costituito dal carico verticale N. Gli ingressi "Torque Drum" e " Braking Torque " possono essere settati su diverse tipologie di segnale come si vede nella figura 2.20 relativa al momento frenante.

Il set di equazioni sulla base delle quali si è effettuata l’implementazione mostrata in figura 2.19 è il seguente:

Equazioni del moto

     − − − = − − = ω D D D D w w w R T R x N F V m T Nx Fh I & & (2.33)

(30)

Capitolo 2- Modello energetico Forza di contatto b roll F F F= + (2.64) in cui:

(

)

( )

    + = + = _µ V C N C K N ) s ( sign s K s K F 1 0 2 x 2 x 2 x x s b (2.65)

(

1 K s

)

N F _roll 2_x 0 roll roll =µ + (2.66)

braccio della risultante

(

)

(

−η

)

η +         +         − + η −       η + = 1 N T R R 1 h R 1 h N F 1 h R 1 h N F x D D b e b e b D roll _(2.38)

Per comprendere meglio il funzionamento dell’intero modello è opportuno partire dal blocco Dynamometric Machine. Questo è il più semplice dei tre in quanto il tamburo è schematizzabile come un corpo rigido rotante attorno ad un asse fisso per cui la dinamica che lo caratterizza è quella di un integratore puro, apparentemente complicata dal fatto che su di esso agiscono le azioni, variabili in funzione delle condizioni operative, di F e x. In ingresso al blocco, come si può vedere nella figura 2.19, si hanno F, x, N, TD mentre

l’uscita è unica e pari alla velocità angolare del tamburo stesso, ωD, la quale moltiplicata

per il raggio RD fornisce la velocità periferica V al blocco Tyre Mechanics. In figura 2.21 è

riportato lo schema di secondo livello relativo al blocco Dynamometric Machine.

Il blocco Wheel Dynamics, riportato in figura 2.22, descrive invece la dinamica della ruota attraverso la prima delle equazioni (2.33), ricevendo come ingressi F, x, h, N, Tw e

generando come unica uscita la velocità angolare della ruota ωw.

(31)

C a p ito lo 2 - M o d el lo e n er g et fi g u ra 2 .2 1 M o d el lo Q S T M _ 0 7 S im u lin k : b lo cc o D y n am o m et ric M a ch in e (I I l iv el lo ). Drum Torque 1 Omega_D Vhx_d Sum1 Sum STOP Stop Simulation == Relational Operator u2 Math Function 1 s xo Integrator RD Omega_D_0 Initial Angular Velocity of the Drum

RD ID/2 1/ID Energy_D Drum energy Omega_D Drum angular velocity DT Drum Torque 0 Omega_Dd Acceleration 4 N 3 x 2 F 1 T_D

(32)

C a p ito lo 2 - M o d el lo e n er g et fi g u ra 2 .2 2 M o d el lo Q S T M _ 0 7 S im u lin k : b lo cc o W h ee l D y n am ic s ( II li v el lo ). Wheel angular acceleration

Gestione del bloccaggio del pneumatico Se t > 0 Xo = 0 1 Omega_W 0 switcher T T T yre T orque 0 T orque ST OP Stop Simulation == Relational Operator 0 Omega Mux NAND 1 s xo Integrator brake energy 1 s xo Integrator Omega_W_0 Initial angular velocity 0 Initial condition [1] 1/IW u[1]==0.0 u[1] >u[2] 0 Omega_W Omega_Wd Energy_B Brake energy (dissipated) |u| |u| 5 h 4 x 3 F 2 T w 1 N

(33)

Capitolo 2- Modello energetico 3 h 2 x 1 F Kmi sx Vs Vr Reb Re h T _D_out x xD xroll R xb F Froll Fb miroll miroll_0 mib Fb_0 mib_0 delta MATLAB Function T yre_07 Demux 4 T _D 3 Omega_W 2 V 1 N

figura 2.23 Modello QSTM_07 Simulink: blocco Tyre Mechanics (II livello).

Appendice C), che descrive la meccanica del pneumatico. Attraverso la function Tyre_07, figura 2.23, si calcolano i valori istantanei della risultante delle azioni all’interfaccia pneumatico-tamburo e dello spostamento di questa rispetto alla verticale congiungente i centri individuati dagli assi di rotazione del drum e della ruota. I valori così calcolati vengono poi passati ai blocchi Dynamometric Machine e Wheel Dynamics all’interno dei quali vengono opportunamente combinati in modo da ottenere le equazioni del moto (2.33). I risultati di tali combinazioni sono le accelerazioni V& e ω& che vengono poi inviati agli _w

(34)

Capitolo 2- Modello energetico integratori, i quali a loro volta forniscono in uscita le velocità V e ω_w. Le condizioni iniziali da cui partono le simulazioni, ω_w₀ e ω_D₀, coincidono con i valori iniziali delle velocità angolari misurate sperimentalmente.

2.10 Risultati delle simulazioni effettuate col modello QSTM_07

Simulink.

In questo paragrafo vengono trattati in dettaglio i risultati ottenuti con il modello QSTM_07 Simulink.

In prima analisi viene fatto il confronto tra le velocità angolari della ruota e del tamburo, ottenute con il modello QSTM_07 nel caso in cui gli ingressi al sistema siano costituiti sulla ruota dal momento frenante sperimentale e sul tamburo da un momento nullo, e i relativi dati sperimentali. Nelle figure 2.24, 2.25, 2.26 sono riportate, per i tre test, le curve simulate e sperimentali relative all’intero periodo di registrazione dei dati mentre nelle 2.27, 2.28, 2.29 vengono riportati degli zoom relativi al primo secondo di simulazione. Gli ingrandimenti evidenziano delle forti escursioni dei dati sperimentali relativi alla velocità angolare della ruota, in parte riconducibili alla dinamica torsionale del pneumatico ed in parte ai fenomeni vibratori della macchina reale. Evidentemente, nel corto periodo i risultati del modello si discostano dai dati sperimentali in modo crescente al diminuire del carico verticale applicato.

Il modello QSTM_07 permette inoltre di poter valutare il sistema in condizioni di moto stazionario non frenato, come analizzato nel paragrafo 2.6.1. Attraverso l’equazione (2.40) viene calcolato il momento da applicare al drum affinché, in assenza di momento frenante, il sistema si mantenga nelle condizioni iniziali. Le figure 2.30, 2.31, 2.32 mostrano gli andamenti delle velocità angolari della ruota e del tamburo e le loro accelerazioni a fronte degli ingressi indicati.

Inoltre sempre attraverso il modello possono essere calcolati i momenti da applicare alla ruota e al tamburo per mantenere il sistema in moto stazionario frenato, come esaminato nel paragrafo 2.6.2. Le figure 2.33, 2.34, 2.35 indicano i valori del momenti da applicare per garantire che le velocità angolari della ruota e del tamburo rimangano, durante tutto il

(35)

Capitolo 2- Modello energetico 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6x 10

4 _{Coppia frenante - Test 1}

[N *m ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 50 100 150

Velocità angolare della ruota

[r a d /s ] Simulink Sperimentale 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 20 40 60 tempo [s]

velocità angolare del tamburo

[r a d /s ] Simulink Sperimentale

figura 2.24 Confronto delle velocità angolari della ruota e del tamburo ottenute con il

(36)

Capitolo 2- Modello energetico 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4x 10

[N *m ] 0 2 4 6 8 10 12 0 50 100 150

[r a d /s ] Simulink Sperimentale 0 2 4 6 8 10 12 10 20 30 40 50 tempo [s]

(37)

Capitolo 2- Modello energetico 0 5 10 15 0 1 2 3x 10

[N *m ] 0 5 10 15 60 80 100 120

[r a d /s ] Simulink Sperimentale 0 5 10 15 20 30 40 50 tempo [s]

(38)

Capitolo 2- Modello energetico 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 95 100 105 110 115 [r a d /s ]

Velocità angolare della ruota - Test 1

Simulink Sperimentale 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 42 43 44 45 46 [r a d /s ]

Velocità angolare del tamburo - Test 1

tempo [s]

Simulink Sperimentale

figura 2.27 Ingrandimento relativo al primo secondo di simulazione, Test1.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 95 100 105 110 115 [r a d /s ]

Simulink Sperimentale 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 42 43 44 45 46 [r a d /s ]

tempo [s]

(39)

Capitolo 2- Modello energetico 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 60 80 100 120 [r a d /s ]

Simulink Sperimentale 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 45 45.5 46 46.5 47 [r a d /s ]

tempo [s]

figura 2.29 Ingrandimento relativo al primo secondo di simulazione, Test3.

0 0.5 1 1.5 2

-1 0 1

Coppia applicata alla ruota- Test 1

[d a N *m ] 0 0.5 1 1.5 2 -252 -250 -248

Coppia applicata al tamburo- Test 1

[d a N *m ] 0 0.5 1 1.5 2 112 114 116 [r a d /s ]

0 0.5 1 1.5 2 44 46 48 [r a d /s ]

Velocità angolare del tamburo

0 0.5 1 1.5 2 -1 0 1 tempo [s] [r a d /s 2 ]

Accelerazione angolare della ruota

0 0.5 1 1.5 2 -1 0 1 tempo [s] [r a d /s 2 ]

(40)

0 0.5 1 1.5 2

-1 0 1

[d a N *m ] 0 0.5 1 1.5 2 -184 -182 -180

[d a N *m ] 0 0.5 1 1.5 2 112 114 116 [r a d /s ]

0 0.5 1 1.5 2 44 46 48 [r a d /s ]

0 0.5 1 1.5 2 -1 0 1 tempo [s] [r a d /s 2 ]

Accelerazione angolare del tamburo

figura 2.31 Moto stazionario non frenato con coppia motrice applicata al drum, Test 2.

0 0.5 1 1.5 2

-1 0 1

[d a N *m ] 0 0.5 1 1.5 2 -76 -74 -72

[d a N *m ] 0 0.5 1 1.5 2 112 114 116 [r a d /s ]

0 0.5 1 1.5 2 44 46 48 [r a d /s ]

0 0.5 1 1.5 2 -1 0 1 tempo [s] [r a d /s 2 ]

(41)

0 0.5 1 1.5 2

726 728 730

[d a N *m ] 0 0.5 1 1.5 2 -2058 -2056 -2054

[d a N *m ] 0 0.5 1 1.5 2 112 114 116 [r a d /s ]

0 0.5 1 1.5 2 44 46 48 [r a d /s ]

0 0.5 1 1.5 2 -1 0 1 tempo [s] [r a d /s 2 ]

figura 2.33 Moto stazionario frenato con coppia motrice applicata al drum, Test 1.

0 0.5 1 1.5 2

460 462 464

[d a N *m ] 0 0.5 1 1.5 2 -1328 -1326 -1324

[d a N *m ] 0 0.5 1 1.5 2 112 114 116 [r a d /s ]

0 0.5 1 1.5 2 44 46 48 [r a d /s ]

0 0.5 1 1.5 2 -1 0 1 tempo [s] [r a d /s 2 ]

(42)

0 0.5 1 1.5 2

170 172 174

[d a N *m ] 0 0.5 1 1.5 2 -496 -494 -492

[d a N *m ] 0 0.5 1 1.5 2 112 114 116 [r a d /s ]

0 0.5 1 1.5 2 44 46 48 [r a d /s ]

0 0.5 1 1.5 2 -1 0 1 tempo [s] [r a d /s 2 ]