Le magnitudini:

A.E. 

Astronomia Essenziale

Le magnitudini:

Il termine deriva dal latino magnitudo,inis (grandezza) ed è il modo  con cui si misura la  quantità di luce che ci giunge da un astro.   Questa quantità dipende dalla luminosità  (energia emessa per unita di tempo) dell'astro e dalla sua distanza. Il sole ci appare  luminosissimo, mentre in realtà è una stella normale, soltanto perchè è estremamente  vicino a noi.  La stella più luminosa del cielo  (dopo il Sole) è Sirio, ma ci sono moltissime  stelle più luminose di Sirio che  non ci appaiono tali perchè sono piu' lontane.

La luminosità apparente  di un astro diminuisce secondo il quadrato della distanza ([1] e  Fig.1). 

L

4  d²=f

[1]

Fig. 1

f   è     detto   flusso,   perchè   è  un'energia per unità di tempo e  superficie  erg sec

cm

 .

In   Fig.   1   la   distanza   (d)   è  indicata   come  

(distanza   di  luminosità).

La magnitudine apparente non è  altro che un espressione in scala  logaritmica del flusso scambiato  di segno ([2]). 

m=−2.5 log f cost     [2] 

  Tanto   piu'   un   astro   ci   appare  luminoso tanto piu' piccolo sara'  il   valore   della   sua   magnitudine  apparente. 

Perchè gli astronomi utilizzano le magnitudini ? 

Ipparco di Nicea (190­ 120 a.C.) classificò tutte le stelle visibili ad occhio nudo utilizzando  una scala che attribuiva alle più luminose la classe 1 e alle meno luminose la sesta.  La  classificazione di Ipparco si basava sulla risposta dell'occhio umano alla luce che  segue  una scala   logaritmica . Nel 1856 Pogson formalizzò la classificazione di Ipparco con la  relazione [2]. 

Dalla [2] discende  che 

m

−m

=−2.5 log f

f

[3]     se abbiamo una sorgente luminosa di 

magnitudine nota  possiamo ricavare la magnitudine di una seconda sorgente misurando  i flussi delle 2.

Inoltre dalla [3] vediamo che un rapporto di 100 nei flussi corrisponde ad una differenza  di 5 magnitudini.Se inseriamo   la [1] nella [3] otteniamo:

m

−m

=−2.5 log L

4  d

L

4  d

       Pertanto se i due astri hanno la stessa distanza da    [4]        noi     

m

−m

=−2.5 log L

L

  [5]

Le magnitudini che sono legate al rapporto delle luminosità ([5]) e non a quello dei flussi  (come nella [2])   sono le magnitudini assolute   che si indicano con la lettera maiuscola  (come nella  [6])        

M

− M

=−2.5 log L

L

     [6]  

Dal confronto fra la [5] e la [6] comprendiamo che  quando due astri si trovano alla stessa  distanza da noi allora la differenza di magnitudine apparente è uguale alla differenza di  magnitudine assoluta.

Ma come definire la luminosità assoluta L  ?

 L è la luminosita' di una sorgente posta a 10 pc di distanza da noi. Per cui riprendendo la  [4]  e assumendo che la sorgente sia la stessa (stessa L) e cambi solo la distanza (in un 

m−M =−2.5 log L 4  d

L 4 10

      caso d nell'altro 10 pc), otteniamo la relazione ([7]) fra  [7]        magnitudine apparente , assoluta  e distanza .

       Dalla [7] si deriva facilmente l'espressione che viene        detta modulo di distanza (m­M) :

m− M=−5+ 5 log d

  [8]   da cui si vede che nota M e misurata m si può ricavare la  distanza di un oggetto celeste.

Nella [8] la distanza è espressa in pc. è facile mostrare che il modulo di distanza per  distanze espresse in Mpc vale    m− M=25+ 5 log d       [9]  .         

Parsec e Megaparsec :

Gli   astronomi   utilizzano   il   parsec   1 pc≃3×10

cm. e   il   Megaparsec 

1 Mpc=10

pc≃3×10

cm. come unità di misura delle distanze fra le stelle   e fra le  galassie. Esiste anche un'unità intermedia (il  kiloparsec, kpc) che è appropriata per le  dimensioni tipiche delle galassie (il diametro di una galassia “normale”, come la nostra  misura 30 kpc). 

La definizione di parsec discende da quella di parallasse trigonometrica.

La parallasse trigonometrica:

è l'angolo (p nella Fig. 2) sotto cui da una stella si vede il semiasse maggiore dell'orbita  della Terra attorno al Sole. Per misurarlo  si acqusiscono  due immagini della stella a 6 

      Fig. 2

mesi di distanza fra loro e si confronta la  posizione della stella sulle due immagini in  rapporto alle stelle “fisse” (stelle  molto più  lontane che ci appaiono ferme). L'angolo

 di  cui si è spostata la stella diviso per due è la  parallasse p. 

Dalla   Fig.   2   vediamo   che   1 AU

d =sin p e  nell' approssimazione dei piccoli angoli  

 pertanto  1 AU

d = p  [9] .

Dalla [9] risulta evidente che non potremo  esprimere   p   in   secondi   di   arco   ma   in  radianti.

Se la nostra misura di p è in secondi  dovremo dividerla per 206265

 ossia per il numero  di secondi che sono in un radiante.  

Dalla [9]   otteniamo   d=206265 AU

p [10]   da cui si evince che   una parallasse di 1” 

corrisponde ad una distanza pari a 206265 AU . 

La   AU   (Astronomical   Unit,   UA   in   italiano)     vale   149   597   870.7   km,     206265   AU  corrispondono quindi a  

, questa lunghezza è  il parsec . 

Il   parsec   è   quindi     la   distanza   alla   quale   il   semiasse   maggiore   dell'orbita   terrestre  sottende un angolo di 1”. 

Non ci sono stelle che abbiano parallasse maggiore o uguale a 1”. La piu' vicina a noi  (Proxima Centauri) ha p = 0.768” e di conseguenza una distanza pari a 1.3 pc.

I colori delle stelle :

Ad un osservatore attento del cielo non sfugge che esistono  stelle azzurre (per esempio la  già citata Sirio) e rosse  (per esempio Antares nello Scorpione o Betelgeuse in Orione).

Il colore delle stelle dipende dalla loro temperatura superficiale, le stelle più calde sono  azzurre le più fredde rosse (vedi Fig. 3).     L' 'emissione delle stelle è abbastanza   ben  assimilabile a quella di corpo nero e quindi misurare il colore di una stella equivale a 

1  Ci si può   chiedere come sia possibile misurare un angolo su un'immagine. Le immagini astronomiche  sono dotate di scala ossia di una corrispondenza fra angoli e misura lineare

sull'immagine. Per esempio   10' ' mm⁻¹   che signfica che ad un millimetro dell'immagine corrisponde  una separazione angolare di 10 secondi di grado.

2 

x =360×3600

2π =206264.81≃206265  

determinarne la temperatura superficiale.   

La Fig. 4 mostra molto approssimativamente e non in scala (sopra a ciascuna stella) la  curva corrispondente all''emissione di corpo nero. La regione ottica dello spettro 

       Fig. 3

       Fig. 4

elettromagnetico   e   rappresentata   dal  piccolo arcobaleno. Misurare la quantità di  luce emessa da una stella nel blu nel giallo  e nel rosso equivale a ricostruire la 

corrispondente   emissione   di   corpo   nero   e   di   conseguenza   derivarne   la   temperatura  superficiale.

Per cui anche se abbiamo finora parlato genericamente di magnitudine, in realtà   le  magnitudini (apparenti e assolute ed anche i flussi e le luminosità ) si riferiscono sempre  ad un determinato colore.  Questo significa che non avrei dovuto scrivere genericamente        m     ma  m

m

 ecc. 

Il pedice indica la banda fotometrica entro cui si effettua la misura.

Il sistema fotometrico più  noto ed utilizzato è  l' UBV di Johnson e  Morgan 

(1953, ApJ 117, 313) esteso in seguito anche all R e I (Johnson, 1966 , ARAA 4, 193).

Una discussione  dei sistemi fotometrici  esula dallo scopo di queste note e comunque  richiederebbe   diverse   pagine.   Per   rimanere   all'essenziale   :   i   sitemi   fotometrici   sono  definiti dalla descrizione del sistema usato (telescopio, filtri, rivelatore e anche luogo di  osservazione)     e   da   un   insieme   di   stelle   standard     che   servono   per   “agganciare”   le  magnitudini strumentali a quelle vere.

Errori sulla misura delle magnitudini:

Le fonti di errore sono innumerevoli noi abbiamo trattato solo quella legata alla misura in  senso stretto ossia alla capacita' di “sommare” il contributo di ciascun pixel dell'immagine  su cui “è caduta” la luce della  stella e sottrarre adeguatamente il contributo del cielo.

La Fig. 5 mostra la procedura che si segue per misurare le magnitudini quando il campo  non   è   troppo   denso   di   stelle   (come   nel   caso   di   Fig.   6   che   rappresenta   un   ammasso  globulare). La procedura illustrata in Fig. 5 prende il nome di magnitudine di apertura: si 

“sommano” i  contributi di tutti i punti contenuti all'interno del primo cerchio (Signal 

      Fig. 5

         Fig. 6

Circle), poi quelli all'interno del Reference Annulus. Da questi ultimi si deriva il valore  medio del fondo cielo che andrà sottratto ad ogni singolo punto del Signal Circle.     Il  motivo di questa sottrazione è   semplice: devo ottenere la misura del flusso che arriva  dalla stella e che è “contaminato” dalla presenza del segnale che proviene dal fondo del  cielo.  Il Gap mi serve per escludere una zona in cui il segnale del cielo potrebbe essere  contaminato da quello della stella.  La dimensione del Signal Circle deve essere tale da  comprendere completamente quella della stella. 

Se il campo è troppo denso di stelle (Fig. 6) non è possibile fare magnitudine di apertura  (ci sarebbero sempre delle stelle nel Reference Annulus) e si deve “fittare” il profilo di  luminosità della stella con una curva (una specie di gaussiana)  o più curve (se le stelle  sono   molto   vicine   fra   loro   si   deve   fittare   una   curva   multipla   a   più   componenti)   e   a  ricavare il flusso facendo l'integrale dell'area sotto la curva. 

       Fig. 7

La Fig. 7 mostra mezzo profilo radiale di  una stella (i punti) e il fit di una specie

 di  mezza gaussiana ad esso.

 Sull'asse x è la distanza in pixel dal centro  della stella, sull'asse y l'intensità luminosa  corrispondente.

Dalla Fig. 7 si vede che se si volesse fare  magnitudine di apertura su questa stella si  dovrebbe   utilizzare   un   Signal   Circle   di  raggio pari a 7.

Per determinare il valore del cielo  di Fig. 6 si dovrà campionare l'immagine in diversi  punti  (privi  di  stelle)  o  fare  l'istogramma  della distribuzione delle intensità luminose  e prenderne la moda

3 

4 anche nella Fig. 6 c'è piu' cielo che stelle e quindi la moda rappresenta il valore “medio”del cielo.

Le relazioni di scala delle galassie:

Sono relazioni che legano quantità la cui misura dipende dalla distanza con quantità la  cui misura non dipende dalla distanza.   È evidente l'importanza di tali relazioni: una  volta che siano state stabilite con buona accuratezza permettono di ricavare direttamente  la distanza.

La prima relazione di scala fu trovata da Faber & Jackson nel 1976 (ApJ 204, 668) sotto  forma di una legge di potenza che legava la luminosità in banda B delle galassie ellittiche  alla loro dispersione di velocità interna .  L

∝

[11] .

La misura di  

dipende dalla distanza (cfr. [1]) quella di  

no.   Per ricavare la  relazione   Faber   e   Jackson   si   servirono   di   una   ventina   di   ellittiche   di   cui   avevano  determinato la luminosità con altri metodi. 

L'anno successivo Tully & Fisher (A&A 54, 661) trovarono una relazione simile fra la  Magnitudine assoluta fotografica (simile alla   M

) e la larghezza della riga a 21 cm  dell'idrogeno neutro delle galassie a spirali.  

Dieci anni dopo due gruppi di ricercatori (Dressler et al. 1987  ApJ 313, 42 ; Djorgovsky & 

Davis 1987, ApJ 313, 5)  trovarono indipendentemente una relazione di scala piu' generale  per le galassie ellittiche fra 3 quantita' :  

e  

. La relazione è detta piano  fondamentale (FP) poichè le ellittiche si distribuiscono lungo un piano in uno spazio  definito da  

, log R

e  

.  ( R

è il raggio efficace ossia la distanza dal centro entro  cui è contenuta meta' della luce totale emessa dalla galassia,  

è la brillanza

  entro  R

). Anche nel caso del FP la brillanza è riferita ad una banda specifica (B all'origine  ma in seguito il FP è stato studiato anche in altre bande.

La misura di

si ottiene attraverso l'allargamento delle righe di assorbimento presenti  nello spettro delle galassie ellittiche.

        Fig. 8

       Fig. 9

5 La brillanza è una misura logaritimica del flusso emesso per unita' di superficie

In Fig. 8 (in alto a sinistra) è rappresentato lo spettro tipico di una galassia ellittica. Le  righe (solo in assorbimento) derivano dalla combinazione degli spettri di tutte le stelle  che compongono la galassia. L'allargamento delle righe in assorbimento “riflette” i moti di  tutte le stelle. Misurare la larghezza delle righe permette di stimare la dispersione di  velocita' delle stelle. In Fig. 9 il profilo tipico della riga a 21 cm dell'idrogeno neutro. 

Questa riga è caratteristica delle galassie a spirale (le ellittiche non hanno gas freddo) e  deriva da una transizione iperfine dell'atomo di idrogeno. Il profilo a “bicorno”  dipende  dal fatto che una parte del gas è blu­shifted verso di noi l'altra è red­shifted. La meta'  della larghezza della riga a  “bicorno” ci indica la velocita' con cui il gas si muove nella  Spirale. 

Oltre   a fornire  un  metodo per determinare  le distanze,  le  relazioni  di  scala devono  trovare la loro ragione d'essere all'interno dei modelli di formazione delle galassie....ma  questa storia è ancora aperta...

--- Le galassie sono classificate secondo questo schema :

esistono inoltre i tipi intermedi es S0/a o SB0/a , Sbc o SBbc e inoltre esistono anche le Sd (non

presenti in figura). Sono dette Spirali early le Spirali fino alla classe Sb (e Sbb) Spirali late le spirali

oltre la Sbc (e SBbc).