ESERCIZI MATEMATICA DISCRETA I (04/12/08) Soluzioni
1) Se N è l’insieme dei numeri naturali, basta costruire una funzione biunivoca f : N A. Una tale funzione può essere quella definita da f(x)=2x+9. Verifichiamo che è iniettiva: se per assurdo esistessero a,b in N, tali che ab, f(a)f(b), si avrebbe 2a+9=2b+9, da cui 2a=2b, a=b (contraddizione).
2) Ognuno dei numeri da contare dipende dal valore di 4 variabili:
x=valore della prima cifra, y=valore della seconda cifra, z=valore della seconda cifra, t=valore della quarta cifra.
La x ha 9 valori distinti; fissato un valore di x, la y ha 9 valori distinti; fissato un valore di x e un valore di y, la z ha 1 solo valore (quello di y); fissato un valore di x, un valore di y e un valore di z, la t ha 8 valori (perché la t non può avere il valore fissato per la x).
Per il principio delle scelte multiple i numeri sono in tutto 9918=648 3) Per n=1 il predicato è vero: 12+1=2 è pari.
Supponiamolo vero per n=k e dimostriamolo vero per n=k+1.
La tesi è dunque che (k+1)2+(k+1) è pari.
Ma (k+1)2+(k+1)=k2+2k+1+k+1=(k2+k)+2k+2.
Per l’ipotesi induttiva il numero k2+k è pari. Ma allora anche (k2+k)+2k+2 è pari, essendo somma di numeri pari. Dunque si ha la tesi.
4) Si effettuano 4 divisioni successive:
176 = 991+77 99 = 771+22 77 = 223+11 22 = 112+0
e si ottiene mcd(176,99)=11.
Si calcolano poi le successioni s0,s1,s2,s3,s4; t0,t1,t2,t3,t4 ottenendo i valori : s0=1, s1=0, s2=1, s3=-1, s4=4; t0=0, t1=1, t2=-1, t3=2, t4=-7
da cui x=s4=4, y=t4=-7
5) Se a è divisore del prodotto bc, esiste un numero naturale t tale che at=bc.
Se 1=mcd(a,b), esistono 2 interi relativi x,y tali che 1=ax+by, e moltiplicando ambo i membri per c:
c = cax+cby = cax+aty = a(cx+ty) e si ottiene che a é divisore di c.
