ESERCIZI MATEMATICA DISCRETA I (30/10/09)
1) Siano dati i seguenti insiemi numerici: A={2,5,10,11,17}, B={1,-1,2,3,4,-4}, e la relazione da A a B descritta dal seguente sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB
R={(2,1),(5,2),(10,3),(17,4),(2,-1),(17,-4)}
Dare una rappresentazione grafica ed una rappresentazione matriciale della relazione R.
Costruire un predicato P(x,y) in 2 variabili che descriva in modo implicito la relazione R.
La relazione R è una funzione da A a B ?
2) Si fissi nel piano una retta r ed un punto s esterno alla retta r. Siano poi A l’insieme di tutti i punti del piano diversi da s, e B l’insieme di tutti i punti della retta r. Si definisca in modo implicito una relazione da A a B mediante il predicato:
P(x,y) = “y è il punto di intersezione della retta r e della retta passante per i punti x ed s”
Si ottiene così una funzione da A a B ? Se la risposta è negativa, cercare di modificare il dominio A in modo che f sia una funzione.
3) Se A è l’insieme dei numeri reali positivi, negativi o nulli, e se f: A A è la funzione definita da f(x)=(3-5x)/4, dimostrare che f è biunivoca e calcolare la funzione inversa f-1 .
4) Se N è l’insieme dei numeri naturali, è possibile costruire una funzione f: N N che sia iniettiva ma non surgettiva ?
Analogamente è possibile costruire una funzione g: N N che sia surgettiva ma non iniettiva ? (per ciascun dei 2 quesiti: se la risposta è positiva, costruire una funzione con le proprietà richieste;
se la risposta è negativa spiegare perché la funzione non esiste)
Se fossero poste le stesse domande sostituendo l’insieme N con l’insieme {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, le risposte ai quesiti sarebbero le stesse ?
5) E' possibile costruire 3 insiemi A,B,C e due funzioni f: A B , g: B C
entrambe non biunivoche, tali però che la loro composizione gf sia una funzione biunivoca ?
(in caso di risposta affermativa, costruire un esempio; in caso di risposta negativa spiegare perchè non esistono)
