ESERCIZI MATEMATICA DISCRETA I (16/10/08)
1) Siano dati i seguenti insiemi numerici: A={2,5,10,11,17}, B={1,-1,2,3,4,-4}, e la relazione da A a B descritta dal seguente sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB
R={(2,1),(5,2),(10,3),(17,4),(2,-1),(17,-4)}
Dare una rappresentazione grafica ed una rappresentazione matriciale della relazione R.
Costruire un predicato P(x,y) in 2 variabili che descriva la relazione R.
La relazione R è una funzione da A a B ?
2) Si fissi nel piano una retta r ed un punto P esterno alla retta. Siano poi A l’insieme di tutti i punti del piano diversi da P, e B l’insieme di tutti i punti della retta. Si definisca una relazione da A a B associando, ad ogni punto Q di A, il punto di B ottenuto intersecando con r la retta passante per P e Q. Si ottiene così una funzione da A a B ? Se la risposta è negativa, cercare di modificare il dominio A in modo che f sia una funzione.
3) Se A è l’insieme dei numeri reali positivi, negativi o nulli, e se f: A A è la funzione definita da f(x)=(3-5x)/4, dimostrare che f è biunivoca e calcolare la funzione inversa f-1 .
4) Se N è l’insieme dei numeri naturali, è possibile costruire una funzione f: N N che sia iniettiva ma non surgettiva ?
Analogamente è possibile costruire una funzione f: N N che sia surgettiva ma non iniettiva ? (per ciascun quesito: se la risposta è positiva, costruire una funzione con le proprietà richieste; se la risposta è negativa spiegare perché la funzione non esiste)
Se N fosse sostituito da un insieme finito qualunque, le risposte ai quesiti sarebbero le stesse ?
