Piccole perturbazioni di un’orbita circolare ? ? ?

5.102. PICCOLE PERTURBAZIONI DI UN’ORBITA CIRCOLARE? ? ?

PROBLEMA 5.102

Piccole perturbazioni di un’orbita circolare ? ? ?

Un pianeta si muove in un campo di forze centrali descritto da un potenziale della forma

U(r) =−^k re^−r/r0

dove k e r₀sono costanti positive. Determinate il periodo dell’orbita circolare di raggio r0, e studiare le orbite non circolari vicine ad essa.

Soluzione

Per un’orbita circolare deve essere

−^mrω2 =−^∂U

∂r =−

k r² + ^k

rr₀

 e^−r/r0 da cui

T=2π s

mer₀³ 2k L’energia del sistema si può scrivere nella forma

E= ¹

2m˙r²+ ^L

2

2mr² − ^k re^−r/r0 Per l’orbita circolare sappiamo che ed inoltre

E=E0 =0

Intoduciamo una piccola perturbazione del sistema, ponendo L² = L²₀+∆_L²

E = ∆E

Introducendo una nuova coordinata proporzionale alla deviazione radiale dalla traiet- toria circolare,

r=r₀+δ possiamo scrivere l’energia del sistema nella forma

∆E = ¹

2m ˙δ²+ ^L

20+∆_L²

2m(r₀+δ)² − ^ke−1 r₀+δe^−δ/r0 Sviluppando al secondo ordine in δ otteniamo

∆E= ¹

2m ˙δ²+ ^L

20

2mr²₀



1+ ^∆L2 L²₀

 1

(1+δ/r₀)² − ^k er0

1 1+δ/r0

e^−δ/r0 ' ¹

2m ˙δ²+ ^L

20

2mr²₀



1+ ^∆L2 L²₀

  1−^2δ

r₀ +3δ² r²₀



− ^k er₀

 1− ^δ

r₀+ ^δ

2

r²₀

  1− ^δ

r₀+ ¹ 2

δ² r²₀



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dove sono state utilizzate le approssimazioni, valide per x^1, (1+x)^α ' ¹+αx+¹

2α(α−¹)x² e^x ' ¹+x+¹

2x² Sviluppando i prodotti otteniamo

∆E = ^L

20

2mr₀²− _er^k

0

+ ^∆L2 2mr²₀ − ^L

20

mr²₀ δ r₀ + ^2k

er₀ δ r₀ + ¹

2m ˙δ²− ^∆L2 mr²₀

δ r₀ + ^3L

20

2mr₀² δ² r²₀ −_2er^5k

0

δ² r²₀

I primi due termini sommano ad E₀ = 0. Nella seconda riga, i termini lineari in δ si cancellano dato che l’orbita circolare è nel minimo del potenziale efficace corrispondente a L= L0. Alla fine rimane

∆E− ^∆L2

2mr²₀ = ¹ 2m ˙δ²+

 3L²₀

2mr²₀ − ^5k 2er₀

δ² r²₀ − ^∆L2

mr²₀ δ r₀

= ¹

2m ˙δ²+ ¹ 2

k er₀

δ² r²₀ − ^∆L2

mr²₀ δ r₀

La nuova energia corrisponde ad un oscillatore armonico: infatti derivando rispetto al tempo otteniamo l’equazione del moto

m ¨δ+ ^k

er³₀δ= ^∆L2 mr³₀

Notare che se ∆_L² = 0 l’oscillazione radiale avviene attorno all’orbita circolare prece- dente. In caso contrario attorno a una nuova orbita circolare di raggio

δ= ^e∆L2 mk

In ogni caso la frequenza delle oscillazioni radiali sarà data da f = ¹

2π

s k

emr³₀ Per studiare la traiettoria scriviamo l’energia nella forma

∆E− ^∆L2

2mr²₀ = ¹ 2m

dδ dθ ˙θ

₂ + ¹

2 k er0

δ² r₀² − ^∆L2

mr²₀ δ r0

= ¹ 2m

dδ dθ

L²₀ 2mr₀²

2

+¹ 2

k er₀

δ² r²₀ − ^∆L2

mr²₀ δ r₀

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5.102. PICCOLE PERTURBAZIONI DI UN’ORBITA CIRCOLARE? ? ?

Notare che al secondo ordine nella deviazione è stato sufficiente sostituire ˙θ con il suo valore imperturbato della traiettoria circolare originaria. Di conseguenza l’orbita si può chiudere solo se la frequenza delle oscillazioni radiali appena determinata è in rapporto razionale con l’inverso del periodo di rotazione, determinato precedentemente. Ma nel caso considerato questo non è vero, dato che

1 T = ¹

2π s 2k

mer³₀ = f√ 2

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