PROGRAMMA SVOLTO DI ANALISI MATEMATICA II MODULO
ANNO ACCADEMICO 2019/2020
(vale per TUTTI gli studenti, anche quelli degli anni accademici precedenti)
CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA SYLLABUS
con riferimento al materiale sulla pagina web http://www.dmi.unipg.it/boccuto/corso- informatica.htm (v. anche http://www.dmi.unipg.it/boccuto/dispense.htm )
Lezione 24 febbraio 2020:
Come nasce una serie. Esempio di Achille e della tartaruga. Definizione di serie.
Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Proprieta' delle serie geometriche.
Lezione 25 febbraio 2020:
Serie armoniche generalizzate.
Delle seguenti proprieta' c' e' la dimostrazione, ma non sono dimostrazioni teoriche, sono "da ricavarsi come se fossero esercizi":
-Divergenza della serie armonica classica.
-Una serie a termini non negativi o converge o diverge.
-Se una serie converge, allora il limite del termine generale e' zero.
-Se il limite del termine generale e' diverso da zero, allora la serie diverge.
Esempi di serie geometriche.
Solo enunciato: Una serie non cambia il suo comportamento se si cambia solo un numero finito di termini.
Criterio del confronto asintotico: solo enunciato.
Lezione/esercitazione 26 febbraio 2020 Criterio del confronto asintotico: esercizi
Lezione 2 marzo 2020:
Criteri del confronto, del rapporto, della radice: solo enunciato, ed esercizi.
Esempio (con i logaritmi) in cui si vede che il criterio del confronto asintotico non si puo' applicare, e allora bisogna usare il criterio del confronto.
Lezione 3 marzo 2020:
Criterio di condensazione di Cauchy (solo enunciato) e applicazione di esso per provare il comportamento della serie armonica generalizzata e della serie il cui termine generale e' 1/(n ln (n)).
Criteri di Leibnitz (solo enunciato con "visualizzazione", "disegnino").
Una serie assolutamente convergente e' convergente (solo enunciato), ma non e' vero il viceversa (esempio). Tecnica dello studiare una serie di segno qualsiasi "in valore assoluto".
Lezione/esercitazione 4 marzo 2020:
Esercizi vari. Richiamo dei limiti notevoli (che possono essere calcolati sia con de l'Hopital sia con le formule di Taylor).
PROCEDIMENTO DI STUDIO DELLE SERIE
SCHEDA DIDATTICA SULLE SERIE (FONDAMENTALE)
Lezione/esercitazione 18 marzo 2020:
Esercizi. La dimostrazione della proposizione farla come dimostrazione di un esercizio (quindi, "ricavandosela") e non come dimostrazione teorica.
Lezione/esercitazione 25 marzo 2020:
Esercizi. La dimostrazione della proposizione farla come dimostrazione di un esercizio (quindi, "ricavandosela") e non come dimostrazione teorica.
ESERCIZI (MOLTO BENE)
Integrali doppi 1 tappa: integrali doppi con le coordinate cartesiane, formula di riduzione, parametrizzazione del dominio, esercizi (molto bene)
Integrali doppi 2 tappa: integrali doppi con le coordinate polari, cambiamento di coordinate, formula di riduzione, parametrizzazione del dominio, esercizi (molto bene)
Lezione "virtuale" 30 marzo 2020 (un esercizio di quelli tipo "test" per allenarsi sugli integrali doppi, con spiegazioni piu' particolareggiate)
INTEGRALI GENERALIZZATI E APPLICAZIONI ALLA PROBABILITA' E STATISTICA: Integrali generalizzati e impropri: esempi per esercitarsi -
Collegamento profondo fra le serie e gli integrali generalizzati (vedi per esempio la serie armonica) - Collegamento profondo fra gli integrali doppi e gli integrali
generalizzati - The probability integral con dimostrazione "come se fosse un esercizio" - Funzione Gamma - Generalizzazione del fattoriale - Collegamento profondo fra la funzione Gamma e "the probability integral"- Distribuzione normale con il collegamento con "the probability integral" - Esempio del tiro al bersaglio - Collegamento fra gli istogrammi delle frequenze relative e la densita' di probabilita' - Distribuzione normale - Densita', valor medio e varianza associata alla densita' - Esempi
IMPORTANTISSIMO: SCHEMA CALCOLO DEL PROBABILITY INTEGRAL:
Ripasso-riassunto degli argomenti del file "INTEGRALI GENERALIZZATI E APPLICAZIONI ALLA PROBABILITA' E STATISTICA".
LA POESIA DELLE SERIE DI TAYLOR (1) (MOLTO BENE!)
L'origine della formula di Taylor a partire dal significato geometrico della derivata.
"Dimostrazione" della formula di Taylor (prima versione) "come se fosse un
esercizio". Esercizi sul calcolo di limiti con le serie di Taylor- Approssimazione del numero di Nepero e con la formula di Taylor con il resto di Lagrange
(IMPORTANTISSIMO). Sviluppo in serie delle funzioni elementari: esponenziale, seno, coseno, log(1+x), e convergenza delle serie relative.
LA POESIA DELLE SERIE DI TAYLOR (2) (MOLTO BENE!)
Sviluppo in serie dell' esponenziale, seno e coseno, con dimostrazione della proposizione collegata "come se fosse un esercizio", e convergenza delle serie relative. Collegamento profondo fra le serie in generale e le serie di Taylor. Per vedere se una funzione e' sviluppabile in serie di Taylor, si calcola
DIRETTAMENTE LA CONVERGENZA DELLA SERIE ASSOCIATA. Calcolo dei limiti notevoli con la formula di Taylor.
FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO DI LAGRANGE:
lezione/esercitazione "virtuale" 29 aprile 2020:
dimostrazione, da "ricavarsi" come se fosse un esercizio - N. b.: non bisogna sapere la dimostrazione del teorema di Cauchy, ma "dare per buono" soltanto l'enunciato, che serve solamente per la formula di Taylor con il resto di Lagrange.
ESERCIZI TEST DI RIEPILOGO SU TAYLOR: Calcolo di limiti con la formula di Taylor e confronto con de l'Hopital. Sviluppi in serie del seno iperbolico e del coseno iperbolico e convergenza delle serie relative.
MASSIMI E MINIMI, HESSIANO, AUTOVALORI
Massimi e minimi relativi e assoluti: definizioni ed esempi con le linee di livello - I due modi per fare il grafico delle funzioni di due variabili (superfici e linee di livello) - Funzioni di due variabili: derivate parziali prime e seconde - Gradiente - Punti stazionari - Condizione necessaria dell'annullamento del gradiente- Hessiano - Test dell' Hessiano - Autovalori - Test dell'Hessiano con gli autovalori - Esercizi (MOLTO BENE)
PER ALLENARSI:
ESERCIZI TEST DI RIEPILOGO PER ALLENARSI: 1 e 2 GRUPPO ESERCIZI SULLE SERIE: 1 TAPPA, 1 TAPPA BIS, 2 TAPPA
ESERCIZI TEST DI RIEPILOGO SU TAYLOR
PARTENDO DAGLI ESERCIZI SI RISALE A QUELLO CHE C'E' DIETRO, AI CRITERI E AI "TRUCCHETTI" DA APPLICARE, CHE RICHIEDONO
UN'APPROFONDITA PADRONANZA DEGLI ARGOMENTI Il docente, A. Boccuto
