COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2019/20

COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2019/20 Prova Intermedia Anno 2019-Compito 1

1) Esaminare i punti di discontinuità della funzione arcsen .

0 B œ 

B B  $B  #

B  B  #

  ^B$ ₂^#

2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ

# $ B

# BÄ∞

"B 0

 

   

1 cos sen

log ; 3 arctg .

 B  B B  B  #

"  B B  &  B

3) Data la funzione 0 B œlog B  "  B  # $  B , determinare il suo campo di esi-

&  B

      

stenza e dire se esso è un insieme aperto, chiuso o altro.

4) Sapendo che 0 B œ "  # e che 1 B œ # , si determinino le espressioni delle funzioni

  B   ^"$B

composte 0^"1 B  e 0 1 ^" B .

5) Date tre generiche proposizioni , e , si determini se risulta una tautologia la proposizione  ‚ T À  ‚/  / ÊÊÞ

Prova Intermedia Novembre 2019-Compito 1

1) Esaminare i punti di discontinuità della funzione arctg . 0 B œ #B  B  $B  #

B B  B  #

  ²₂

2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ

$ B B

BÄ∞

"B 0

 

 

1 arctg

sen ; cos .

 #B  # $B  B  $

B #B  #  B

3) Data la funzione 4 1 log 2 , determinare il suo campo di esi-

0 B œ B   B  3B 

       B

stenza e dire se esso è un insieme aperto, chiuso o altro.

4) Sapendo che 0 B œ #  " e che 1 B œlog $B  " , si determinino le espressioni delle

  B   # 

funzioni composte 0^"1 B  e 0 1 ^" B .

5) Date tre generiche proposizioni , e , si determini se risulta una tautologia la proposizione  ‚ T À  9  / Ê‚Ê‚Þ

Prova Intermedia Novembre 2019-Compito 1‚

1) Esaminare i punti di discontinuità della funzione sen . 0 B œ &B  B  B  #

B B  $B  #

  ₂²

2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ

B # B

# BÄ∞ #

B"

0

#  #B $B  $  &

B #B  B  B

# cos

arcsen ;  cos  .

3) Data la funzione log 1 , determinare il suo campo di esi-

0 B œ 3B   B  " %  B

    B   

stenza e dire se esso è un insieme aperto, chiuso o altro.

4) Sapendo che 0 B œ $ e che 1 B œ "  $, si determinino le espressioni delle funzioni

  ^"#B   B

composte 0^"1 B  e 0 1 ^" B .

5) Date tre generiche proposizioni , e , si determini se risulta una tautologia la proposizione  ‚ T À  /  / Ê‚Ê‚Þ

Prova Intermedia Novembre 2019-Compito 1ƒ

1) Esaminare i punti di discontinuità della funzione log .

0 B œ "  #B  B  $B  #

B B  B  #

    ²

2

2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ

' %

BÄ∞

#

B #

B"

0

   

 

"  B  "  B #B  B  "

B #B  $  %B

tg ; cos .

3) Data la funzione log 1 , determinare il suo campo di esi-

0 B œ B  # $  B  B 

&  B

      

stenza e dire se esso è un insieme aperto, chiuso o altro.

4) Sapendo che 0 B œlog B  " e che 1 B œ #  ", si determinino le espressioni delle

  _$ #    B

funzioni composte 0^"1 B  e 0 1 ^" B .

5) Date tre generiche proposizioni , e , si determini se risulta una tautologia la proposizione  ‚ T À  ‚9  / ‚ÊÊÞ

Prova Intermedia Anno 2019-Compito 2

1) Calcolare lim log ed enunciare poi, per esso, l'opportuna definizione

BÄ∞"  B  " B  "

#

metrica di limite.

2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

# #

% BÄ∞

"#B

log tg

log  .

   

"  B $B  "

"  B à $B  $

3) Data la funzione log , se ne determini il campo d'esistenza nonchè la

log log

0 B œ B  #

B  B  #

  _#

specie dei suoi punti di discontinuità.

4) Se 0 B œ /  ^"B e 1 B œ  logB  #, si determinino le espressioni delle funzioni composte 0^"1 B  e 0 1 ^" B .

5) Date le quattro proposizioni , , e si costruisca la tavola di verità della proposizione:  ‚ ƒ

‚ ƒ9   / ÊÊ ƒ9  sapendo che la proposizione è sempre vera.ƒ Prova Intermedia Novembre 2019-Compito 2

1) Calcolare lim log ed enunciare poi, per esso, l'opportuna definizione

BÄ∞"   #B  B  "

#

metrica di limite.

2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! # BÄ∞

"B

cos sen cos tg

    .

 

B  B $B  "

B à #B  $

3) Data la funzione log , se ne determini il campo d'esistenza nonchè la

log log

0 B œ B  "

B  B  #

  _#

specie dei suoi punti di discontinuità.

4) Se 0 B œ  logB  " e 1 B œ /  ^"B, si determinino le espressioni delle funzioni composte 0^"1 B  e 0 1 ^" B .

5) Date le quattro proposizioni , , e si costruisca la tavola di verità della proposizione:  ‚ ƒ

‚ ƒ9   / ÊÊ ƒ9  sapendo che la proposizione è sempre vera.‚ Prova Intermedia Novembre 2019-Compito 2‚

1) Calcolare lim log ed enunciare poi, per esso, l'opportuna definizione

BÄ∞"  B  ' B  "

$

metrica di limite.

2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

B B

# BÄ∞

"B

$  # #B  "

B  B à #B  $

sen arcsen

  .

3) Data la funzione log , se ne determini il campo d'esistenza nonchè la

log log

0 B œ B  #

B  B  #

  _#

specie dei suoi punti di discontinuità.

4) Se 0 B œ /  ^#B e 1 B œ  logB  $, si determinino le espressioni delle funzioni composte 0^"1 B  e 0 1 ^" B .

5) Date le quattro proposizioni , , e si costruisca la tavola di verità della proposizione:  ‚ ƒ

 ƒ9   / Ê‚Ê‚ ƒ9  sapendo che la proposizione è sempre vera. Prova Intermedia Novembre 2019-Compito 2ƒ

1) Calcolare lim log ed enunciare poi, per esso, l'opportuna definizione

BÄ∞"  $B  " B  "

$

metrica di limite.

2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

"! "!

BÄ∞

    $B

 

"  #B  "  B #B  "

$B à $B  " .

3) Data la funzione log , se ne determini il campo d'esistenza nonchè la

log log

0 B œ B  "

B  B  #

  _#

specie dei suoi punti di discontinuità.

4) Se 0 B œ  logB  $ e 1 B œ /  ^B", si determinino le espressioni delle funzioni composte 0^"1 B  e 0 1 ^" B .

5) Date le quattro proposizioni , , e si costruisca la tavola di verità della proposizione:  ‚ ƒ

 9   / Ê‚Ê ƒ9  sapendo che la proposizione è sempre vera. I Appello Sessione Invernale 2020 - Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B   log"  B . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

#

BÄ∞

"

sen

cos$B ; # .

"  #B "  $B  "

B

3) Determinare il valore del parametro in modo che risulti .

5 log#  " œ $

"  #B

BÄ!lim

5B

 

4) Date le funzioni 0 B œ # e 1 B œ B  # , determinare le espressioni delle funzioni

#B  "

  ^B$  

composte 0^"1^" B  e 1^"0^" B .

5) Determinare l'espressione della funzione 0 B  sapendo che 0 B œ B  /^w  ^$B e che 0 ! œ "  . 6) Dati i vettori —œ BCß #  $C  e ˜œ B  %ß BC , si determini se esistono coppie Bß C per le quali il prodotto scalare dei due vettori — ˜† œ 0 Bß C  risulta massimo oppure minimo.

7) Date le funzioni 0 B œ /  ^#B %/^B e 1 B œ 'B  "  , si determini se esistono punti neiB!

quali le rette tangenti ai grafici delle due funzioni risultano parallele.

8) Data la matrice œ ed il vettore —œ , si determini se esistono va-

" # " 5

 " # " "

# #  " 5

   

   

   

   

   

   

lori del parametro per i quali il vettore 5 ˜_! œ —† risulta parallelo al vettore ˜_" œ "ß "ß "  e se esistono poi valori del parametro per i quali il vettore 5 ˜_! risulta invece perpendicolare al vettore ˜_".

9) Data la funzione 0 B œ B  5B  $  ^{$ #} , si determini il valore del parametro in modo tale5 che alla funzione sia applicabile il Teorema di Rolle nell'intervallo  "à #, determinando poi il punto che soddisfa la tesi del Teorema.B_!

10) Date le due proposizioni e , siano poi   _" ÀÊ /  e _# ÀÍ 898  9 . De- terminare un opportuno connettivo logico affinchè  _" _# risulti una tautologia.

I Appello Sessione Invernale 2020 - Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B   logB  " . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

#

BÄ∞

sen B#

cos#B ; $ .

"  $B "  #B  "

3) Determinare il valore del parametro in modo che risulti log .

5 "  B œ #

$  "

BÄ!lim 5B

 

4) Date le funzioni 0 B œ #B  " e 1 B œ $ , determinare le espressioni delle funzioni B  #

    ^B#

composte 0^"1^" B  e 1^"0^" B .

5) Determinare l'espressione della funzione 0 B  sapendo che 0 B œ /^w  ^#B B e che 0 ! œ #  . 6) Dati i vettori —œ $B  #ß BC  e ˜œ BCß C  % , si determini se esistono coppie Bß C per le quali il prodotto scalare dei due vettori — ˜† œ 0 Bß C  risulta massimo oppure minimo.

7) Date le funzioni 0 B œ /  ^#B #/^B e 1 B œ %B  "  , si determini se esistono punti neiB!

quali le rette tangenti ai grafici delle due funzioni risultano parallele.

8) Data la matrice œ ed il vettore —œ , si determini se esistono va-

" " # 5

"  " # 5

 " # # "

   

   

   

   

   

   

lori del parametro per i quali il vettore 5 ˜_! œ —† risulta parallelo al vettore ˜_" œ "ß "ß "  e se esistono poi valori del parametro per i quali il vettore 5 ˜_! risulta invece perpendicolare al vettore ˜_".

9) Data la funzione 0 B œ B  5B  "  ^{$ #} , si determini il valore del parametro in modo tale5 che alla funzione sia applicabile il Teorema di Rolle nell'intervallo  #à ", determinando poi il punto che soddisfa la tesi del Teorema.B_!

10) Date le due proposizioni e , siano poi   _" À9 898Ê e _# ÀÍ / . De- terminare un opportuno connettivo logico affinchè  _" _# risulti una tautologia.

II Appello Sessione Invernale 2020 - Compito  1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  " /    ^#B . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! B BÄ∞ B B

"  B /  BB

$B † /  " 

cos

sen ; 2 3 .

 

3) Disegnare un possibile esempio di grafico per una funzione che soddisfi le seguenti tre defini- zioni di limite:

a) a b& $ & À B  $ & Ê 0 B  à  &

b) a b& $ & À !  B  "   $ & Ê 0 B  à  &

c) a  ! b& $ & À B  $ & Ê 0 B  "  Þ    &

4) Date le funzioni 0 B œ $  ^"B e 1^" B , sapendo che 0 1 ^" B œ #B  " determinare l'e- spressione della funzione 1 B .

5) Calcolare  sen cos .

! 1

B  #B .B

6) Analizzare la natura dei punti stazionari della funzione 0 Bß C œ B  C  *B  $C Þ  ^{$ $}

7) Data la funzione 0 B œ B  #B  $  ^# , si determini il punto B ß C! ! nel quale si intersecano le rette tangenti al grafico della funzione tracciate rispettivamente nei punti B œ  " e B œ #. 8) Date le matrici œ " 5 e œ 5 " ed il vettore —œ " , si determini il

# "  " #  "

     

valore del parametro per il quale il vettore 5 ˜œ   —† † ha modulo uguale a "). 9) Calcolare la funzione derivata della funzione log

0 B œ $  "  #B Þ

$B  "

  ^#B  

%

10) Si costruisca la tavola di verità della proposizione ÀÊ / ‚Í9 898 sapen- do che la proposizione è sempre vera mentre la proposizione è sempre falsa. ‚

II Appello Sessione Invernale 2020 - Compito  1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ #  B /    ^B" . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! BÄ∞

B B

B

sen log

cos ; 2 .

#B † "  B $  /

"  B  B

 

3) Disegnare un possibile esempio di grafico per una funzione che soddisfi le seguenti tre defini- zioni di limite:

a) a  ! b& $ & À B  $ & Ê 0 B  "  à    &

b) a b& $ & À !  B  "   $ & Ê 0 B  à  &

c) a b& $ &  À B $ &  Ê 0 B  Þ  &

4) Date le funzioni 0 B œ #  ^"B e 1^" B , sapendo che 0 1 ^" B œ $B  " determinare l'e- spressione della funzione 1 B .

5) Calcolare  sen cos .

! 1

#B  B .B

6) Analizzare la natura dei punti stazionari della funzione 0 Bß C œ B  C  "#B  'C Þ  ^{$ $} 7) Data la funzione 0 B œ B  $B  #  ^# , si determini il punto B ß C! ! nel quale si intersecano le rette tangenti al grafico della funzione tracciate rispettivamente nei punti B œ  # e B œ ". 8) Date le matrici œ 5  " e œ " # ed il vettore —œ " , si determini il va-

" # 5 " "

     

lore del parametro per il quale il vettore 5 ˜œ   —† † ha modulo uguale a ").

9) Calcolare la funzione derivata della funzione log

0 B œ #  "  B Þ

%B  #

  ^$B  

$

10) Si costruisca la tavola di verità della proposizione ÀÍ ‚/ 898 9 Ê‚ sapen- do che la proposizione è sempre vera mentre la proposizione è sempre falsa.‚ 

Appello Sessione Straordinaria I 2020 1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B   log .B

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: sen ; log log .

lim cos lim

BÄ!

# #

BÄ∞

B B  B  B

"  B $B  $

3) Determinare il valore del parametro in modo che risulti 5 #  " œ ". lim #B

BÄ!

5B

4) Determinare l'espressione della funzione 0 B  sapendo che 0 B œ #/^w  ^#B e che 0 ! œ !  .

5) Date le matrici œ e œ , ed il vettore —œ

" ! #  " # !

" ! " ! ! "

! " ! "  " !

     

     

     

     

     

     

    

    

    

    

   

      



"

"

"

, si cal- coli il modulo del vettore ˜œ  —† † .

6) Dopo aver verificato l'applicabilità del Teorema di Lagrange (o del Valor Medio) alla funzione 0 B œ B  $B  "  ^# nell'intervallo  !ß ", si determini l'ascissa del punto B! che soddisfa al Teorema.

7) Dati i vettori —œ Cß Bß  #  e ˜œ B  Cß "  Bß C , si determini la coppia Bß C per la quale il prodotto scalare dei due vettori 0 Bß C œ  — ˜† risulta massimo.

8) Determinare se la proposizione ÀÊ 898ÍÊ risulta una tautologia.

9) Determinare un possibile grafico per una funzione 0 B  sapendo che:

lim lim

BÄ∞0 B œ  ∞  ; BÄ∞0 B œ "  ;

lim lim lim

BÄ"0 B œ  ∞  ; BÄ" 0 B œ  "  ; BÄ" 0 B œ !  .

 

10) Data la funzione 0 B œ "   cos#B , determinare i primi due termini significativi del suo polinomio di MacLaurin.

I Appello Sessione Estiva 2020 - Compito  1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /  ^{" B}  /^B.

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: log ; .

lim log lim

BÄ! BÄ∞

 

 

"  #B $  #  B

"  $B $  $

B B

B B

3) Determinare il valore del parametro in modo che risulti sen .

5 5 cosB œ $

"  #B

BÄ!lim

#

4) Date le funzioni 0 B œ "  &B 1 B œ $  ,   ^B e 2 B œ  log#B, costruire le espressioni delle funzioni composte 0 1 2 B    e 2 1 0 B    e di tali funzioni composte determinare poi le e- spressioni delle loro inverse.

5) Dati —œ "  / ß œ / / e ˜œ , determinare il valore di che ri-B

" " /

 ^B  ^{#B B}  /#B^B  solve l'equazione —  ˜† † œ !.

6) Calcolare  .

"

#$  B

"  B .B

7) Data la funzione 0 Bß C œ B  B  C  BC  ^{# # #}, si determini la natura dei suoi punti stazionari.

8) Determinare tutti i vettori —œ Bß "ß C  che risultino perpendicolari a —" œ "ß "ß "  e con modulo pari a #Þ

9) Determinare se la proposizione ÀÊÊ ÍÊ risulta una tautologia.

10) Data la funzione 0 B œ /  ^$Bsen#B , se ne calcoli il differenziale nel punto B œ ! per un incremento dB œ !ß ".

I Appello Sessione Estiva 2020 - Compito  1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /  /  ^{B " B} . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti: lim ; lim .

BÄ!

$

# BÄ∞

/  " $  #  B

/  " #  $

B B B

B B B

3) Determinare il valore del parametro in modo che risulti log .

5 log "  5B œ #

"  #B

BÄ!lim

 

 

4) Date le funzioni 0 B œ  log#B 1 B œ #B  ",   e 2 B œ /  , costruire le espressioni delle

B

funzioni composte 0 1 2 B    e 2 1 0 B    e di tali funzioni composte determinare poi le e- spressioni delle loro inverse.

5) Dati —œ "  / ß œ " " e ˜œ , determinare il valore di cheB

/ / /

 ^B  B #B /B 

#B

risolve l'equazione —  ˜† † œ !.

6) Calcolare  .

"

#B  "

B  # .B

7) Data la funzione 0 Bß C œ B  C  C  B C  ^{# # #} , si determini la natura dei suoi punti stazionari.

8) Determinare tutti i vettori —œ Bß Cß "  che risultino perpendicolari a —" œ "ß  "ß "  e con modulo pari a #Þ

9) Determinare se la proposizione ÀÊÊÍÊ risulta una tautologia.

10) Data la funzione 0 B œ /  ^2Bsen$B , se il differenziale nel punto B œ ! risulta pari a

!ß ", determinare il valore dell'incremento d .B

II Appello Sessione Estiva 2020 - Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ  logB  B  #^# . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti: sen ; .

lim lim

BÄ!

#

# BÄ∞

 

 

B  B B  $

B  B B  "

#B

3) Disegnare un possibile grafico di funzione che soddisfi alle seguenti due definizioni di limite:

a) a  ! b& $ & À B  $ & Ê 0 B  "  à    &

b) a b& $ &   À$ &  B Ê 0 B  Þ  &

4) Data la funzione 0 B œ B  " , sapendo che 0 1 B œlog#B, determinare l'espressione

  $B   

della funzione inversa di 1 B .

5) Date le matrici œ " 7 " e œ , si determini per quali valori di 5 5 !  "

" #

"  "

5 !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ed risulta 7 † œ $ " .

! #

   

6) Calcolare  .

"

# $B

/  "$ .B B

7) In un punto stazionario di una funzione di due variabili 0 Bß C  la matrice Hessiana è uguale a ‡ œ 5 " . Determinare, al variare del parametro , la natura di tale punto stazionario.5

" 5  #

 

8) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B /  ^C#D  Blog#C  B, se ne calcoli il gradiente nel punto T œ "ß "ß " Þ_!  

9) Date tre generiche proposizioni , e , determinare se risultano logicamente equivalenti le  ‚ due proposizioni " ÀÊ 898 Ê‚ e # ÀÊÊ 898‚Þ

10) Determinare dove risulta convessa la funzione 0 B œ /  ^{B #B#} . II Appello Sessione Estiva 2020 - Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ  logB  B  $^# .

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: log ; .

lim lim

BÄ!

#

# BÄ∞

  

 

"  B  B B  $

B  B B  #

$B

3) Disegnare un possibile grafico di funzione che soddisfi alle seguenti due definizioni di limite:

a) a b& $ & À B  $ & Ê 0 B  à  &

b) a  ! b& $ &   À $ &  B Ê 0 B  Þ   &

4) Data la funzione 0 B œ #B  ", sapendo che 0 1 B œlog$B, determinare l'espressione

  B   

della funzione inversa di 1 B .

5) Date le matrici œ 5 " " e œ , si determini per quali valori di ed5

! 7  "

" "

! "

" 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 † œ " "

 " # risulta     .

6) Calcolare  .

"

#

%

" #B

B  / .B

7) In un punto stazionario di una funzione di due variabili 0 Bß C  la matrice Hessiana è uguale a ‡ œ 5  " " . Determinare, al variare del parametro , la natura di tale punto stazionario.5

" 5

 

8) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B /  ^#CBlog$D  B  C, se ne calcoli il gradiente nel punto T œ "ß "ß " Þ_!  

9) Date tre generiche proposizioni , e , determinare se risultano logicamente equivalenti le  ‚ due proposizioni _" ÀÊÊ 898‚ e _# ÀÊ 898Ê‚Þ

10) Determinare dove risulta convessa la funzione 0 B œ /  ^{B $B#} . I Appello Sessione Autunnale 2020

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ  log"  /^B.

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: sen ; .

lim lim

BÄ" BÄ∞

 

 

B  " $B  $

"  B #B  "

"B

3) Disegnare un possibile grafico di funzione che soddisfi alle seguenti due definizioni di limite:

a) a b& $ &   À B  $ & Ê 0 B  à  &

b) a  ! b& $ & À "  B  " $ & Ê 0 B  Þ   &

4) Data la funzione 0 B œ #B  ", sapendo che 0 1 B œ #B  $, determinare l'espres-

  $B ^"  

sione della funzione 1 B .

5) Disegnare il grafico della funzione , determinandone gli log

0 B œ

$ À B Ÿ !

B  " À !  B  "

#  B À " Ÿ B

 





B

eventuali punti di discontinuità e la loro specie.

6) Calcolare  .

!

"

$B #

#/  $B .B

7) Siano date le matrici œ , œ e il vettore —œ ; de-

" !

!  "

 " "

5 "  "

 " 5 "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

terminare il valore del parametro in modo tale che il vettore 5   —† † risulti perpendicolare al vettore ˜ œ "ß  "ß " .

8) Data 0 Bß C œ B C  #BC  BC  ^{# #} se ne studi la natura dei suoi punti stazionariÞ

9) Sapendo che le proposizioni e sono logicamente equivalenti, mentre è una proposizio- ‚  ne qualsiasi, si determinino le tavole di verità della proposizione Ê 898‚ 9 898Ê‚Þ 10) Determinare il valore del parametro sapendo che la funzione 5 0 B œ B /  ^"5B ha, nel pun- to B œ #, un punto di massimo.

II Appello Sessione Autunnale 2020

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ $/  /  ^{B $B} #. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti: lim ; lim .

BÄ! BÄ!

% #

$ #

$  " B  $B  &B

"  # #B  %B  B

B B

3) Disegnare un possibile grafico di funzione che soddisfi alle seguenti tre definizioni di limite:

a) a  ! b& $ & À B $ &  Ê 0 B  "  à    &

b) a b& $ &   À B $ &  Ê 0 B  à  &

c) a b& $ &  À B $ &  Ê 0 B  Þ  &

4) Date le due funzioni 0 B e 1 B , se 0 B œ B  " e 1 B œ $ , determinare l'espres- B  "

    ^"  ^"  ^#B sione delle funzioni 0 1 B   e 1 0 B  .

5) Calcolare 

!

" B B

/

/  " .B Þ

6) Date le due funzioni 0 B œ 5 $  #  ^{B B} e 1 B œ $  #  ^{B B}, determinare per quale valore del parametro risulta 5 0 B µ 1 B    ( e asintoticamente equivalenti) e per quale valore invece0 1 risulta 0 B œ 9 1 B     ( trascurabile rispetto a ), sempre per 0 1 B Ä  ∞ Þ

7) Data la matrice œ , tra tutti i vettori —œ che soddisfano all'ugua-

" " " B

" ! " C

"  # " D

   

   

   

   

   

   

 

 

 

 

 

 

glianza  —† œ— si determinino i due che hanno modulo uguale a '.

8) Data 0 Bß C œ B  $B  C /  ^{$ "C} se ne studi la natura dei suoi punti stazionariÞ

9) Sapendo che le proposizioni e sono logicamente equivalenti, mentre e non lo sono   ‚ mai, si determinino le tavole di verità della proposizione / 898‚ Ê 898  9 Þ

10) Determinare l'espressione del Polinomio di Mc Laurin di terzo grado della funzione 0 B œ B /  ^"B.

Appello Sessione Straordinaria II 2020

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  B  " . B  "

  ^#

2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! BÄ∞

$  " "  B#

'B "  B

sen $B "B

;   .

3) Date le funzioni 0 B œ $B  "  e 1 B œ #  ^"B, determinare l'espressione dell'inversa della funzione 1 0 0 B   .

4) Date le funzioni 0 B œ  log e B 1 B œ B  "  determinare dove risulta 0 B œ 9 1 B     e dove 1 B œ 9 0 B    .

5) Calcolare  .

"

#

B  "  "# .B

B B

6) Data la funzione 0 B œ  logB  #B, dopo aver determinato il punto nel quale la retta tan-B!

gente al grafico della funzione risulta parallela alla retta di equazione C œ "  B, si determini l'equazione di tale retta tangente.

7) Data la funzione 0 B œ , determinare i valori di e per i7 5

# À B Ÿ !

7B  ; À !  B  "

B  #B  & À " Ÿ B

 





"B

#

quali la funzione risulta continua a B − ‘.

8) Data la matrice œ " # ed il vettore —œ B , determinare tutti i vettori per i quali—

" $ C

   

il vettore ˜œ   —† † risulta perpendicolare al vettore — œ " .

 "

!  

9) Data la funzione 0 Bß C œ B  $BC  C  C  ^{$ #} , determinare ed analizzare i suoi punti stazio- nari.

10) Date le generiche proposizioni e , si verifichi se risultano logicamente equivalenti le due  proposizioni T À_"  9Ê  e T À 898_#  Ê 898.