COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2018/19
Prova Intermedia Anno 2018-Compito 1 1) Sia data una funzione che soddisfa ai seguenti limiti:
a) lim b) lim c) lim .
BÄ∞ BÄ∞
0 B œ ! BÄ!0 B œ ∞ 0 B œ ∞
Si enuncino le corrispondenti definizioni metriche di tali limiti e si disegni un possibile esempio di grafico per tale funzione.
2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ!
# #
B BÄ∞ #
"#B
log sen
cos .
" B & B
$ $B à
$ B
#
#
3) Se 0 1 B œ $B " si determini l'espressione della funzione J B œ 1 log#B nell'ipotesi che sia 0 B œ B " e si determini poi l'espressione dell'inversa della funzione J B .
B #
4) Data la retta di equazione C œ #B $ si determini il valore dell'area della figura contenuta nel primo quadrante e compresa tra gli assi coordinati, la retta data e la sua perpendicolare nel punto di ascissa B œ $ Þ
5) Date due generiche proposizioni e , si considerino le due proposizioni T À" Í e T À# 9 898 . Usando opportuno connettivo logico, si costruisca la proposizione T che esprime come condizione sufficiente per e si costruisca quindi la tavola di verità della ne-T" T# gazione della proposizione .T
Prova Intermedia Novembre 2018-Compito 1 1) Sia data una funzione che soddisfa ai seguenti limiti:
a) lim b) lim c) lim .
BÄ∞ BÄ! BÄ∞
0 B œ ∞ 0 B œ ∞ 0 B œ "
Si enuncino le corrispondenti definizioni metriche di tali limiti e si disegni un possibile esempio di grafico per tale funzione.
2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ!
#
# BÄ∞ #
# "$B
$ #
" B #B $ B
Bcos à # B
arctg .
3) Se 0 1 B œ #B " si determini l'espressione della funzione J B œ 1 # B nell'ipotesi che sia 0 B œ B $ e si determini poi l'espressione dell'inversa della funzione J B .
B #
4) Data la retta di equazione C œ $B " si determini il valore dell'area della figura contenuta nel primo quadrante e compresa tra gli assi coordinati, la retta data e la sua perpendicolare nel punto di ascissa B œ # Þ
5) Date due generiche proposizioni e , si considerino le due proposizioni T À" / e T À# Í 898 . Usando opportuno connettivo logico, si costruisca la proposizione che T esprime come condizione necessaria per e si costruisca quindi la tavola di verità della ne-T" T# gazione della proposizione .T
Prova Intermedia Novembre 2018-Compito 1‚ 1) Sia data una funzione che soddisfa ai seguenti limiti:
a) lim b) lim c) lim .
BÄ∞0 B œ ! BÄ"0 B œ ∞ BÄ∞0 B œ ∞
Si enuncino le corrispondenti definizioni metriche di tali limiti e si disegni un possibile esempio di grafico per tale funzione.
2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ!
# #
B BÄ∞ #
"%B
log arctg
cos .
" B % B
# #B à
$ B
#
#
3) Se 0 1 B œ #B $ si determini l'espressione della funzione J B œ 1 log$B nell'ipotesi che sia 0 B œ B $ e si determini poi l'espressione dell'inversa della funzione J B .
B "
4) Data la retta di equazione C œ B & si determini il valore dell'area della figura contenuta nel primo quadrante e compresa tra gli assi coordinati, la retta data e la sua perpendicolare nel punto di ascissa B œ % Þ
5) Date due generiche proposizioni e , si considerino le due proposizioni T À" 9 e T À# Ê 898 . Usando opportuno connettivo logico, si costruisca la proposizione che T esprime come condizione sufficiente per e si costruisca quindi la tavola di verità della ne-T" T# gazione della proposizione .T
Prova Intermedia Novembre 2018-Compito 1ƒ 1) Sia data una funzione che soddisfa ai seguenti limiti:
a) lim b) lim c) lim .
BÄ∞ BÄ" BÄ∞
0 B œ ∞ 0 B œ ! 0 B œ "
Si enuncino le corrispondenti definizioni metriche di tali limiti e si disegni un possibile esempio di grafico per tale funzione.
2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ!
#
# BÄ∞ #
# "&B
% #
" B $B % B
B à # B
cos
arcsen .
3) Se 0 1 B œ $B # si determini l'espressione della funzione J B œ 1 $ B nell'ipotesi che sia 0 B œ B " e si determini poi l'espressione dell'inversa della funzione J B .
B $
4) Data la retta di equazione C œ #B # si determini il valore dell'area della figura contenuta nel primo quadrante e compresa tra gli assi coordinati, la retta data e la sua perpendicolare nel punto di ascissa B œ # Þ
5) Date due generiche proposizioni e , si considerino le due proposizioni T À" Ê e T À 898# . Usando opportuno connettivo logico, si costruisca la proposizione / T che esprime come condizione necessaria per e si costruisca quindi la tavola di verità della ne-T" T# gazione della proposizione .T
Prova Intermedia Anno 2018-Compito 2 1) Disegnare un possibile grafico per una funzione che:
a) sulla sinistra tenda da sopra ad un asintoto orizzontale di equazione C œ "; b) abbia un punto di discontinuità di II specie in B œ ";
c) sulla destra abbia un asintoto obliquo di equazione C œ #B ". 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ!
# # #
# BÄ∞ #
" B B " B
$B à " #B
tg cos
.
B"
"#B
3) Sapendo che 0 B œ $ e 1 B œ " B determinare l'espressione della funzione B "
" B" " J B œ 1 0 B e della sua inversa.
4) Date due generiche proposizioni e , si considerino le tre proposizioni T À" Ê, T À 898# / e T À$ 9 . Si costruisca la proposizione che esprime T T" come condi- zione necessaria e sufficiente per T Ê T# $ e se ne costruisca quindi la tavola di verità.
5) Data la retta di equazione C œ #B si determini il valore dell'area della figura contenuta nel primo quadrante e compresa tra tale retta, la sua perpendicolare nel punto #ß % , la retta di equa- zione B œ $ e l'asse delle ascisse.
Prova Intermedia Novembre 2018-Compito 2 1) Disegnare un possibile grafico per una funzione che:
a) sulla sinistra tenda da sopra ad un asintoto obliquo di equazione C œ B "; b) abbia un punto di discontinuità di I specie in B œ !;
c) sulla destra abbia un asintoto orizzontale di equazione C œ #. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ!
B #
# BÄ∞ #
$ #B $ #B
B à " B
sen# cos
.
B#
"#B
3) Sapendo che 0 B œlog B " e 1 B œ B # determinare l'espressione della B "
" $ "
funzione J B œ 0 1 B e della sua inversa.
4) Date due generiche proposizioni e , si considerino le tre proposizioni T À" Í, T À# / e T À$ 9 898. Si costruisca la proposizione che esprime T T / T" # come condizione sufficiente per e se ne costruisca quindi la tavola di verità.T$
5) Data la retta di equazione C œ $B si determini il valore dell'area della figura contenuta nel primo quadrante e compresa tra tale retta, la sua perpendicolare nel punto #ß ' , la retta di equa- zione B œ $ e l'asse delle ascisse.
Prova Intermedia Novembre 2018-Compito 2‚ 1) Disegnare un possibile grafico per una funzione che:
a) sulla sinistra tenda da sotto ad un asintoto orizzontale di equazione C œ #; b) abbia un asintoto verticale in B œ !;
c) sulla destra abbia un asintoto obliquo di equazione C œ " #B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ!
#
BÄ∞
#
#
" " B $B " " $B
B à " #B
log sen
.
B "#
#B
3) Sapendo che 0 B œ $ B e 1 B œ # determinare l'espressione della funzione
# B
" " B"
J B œ 1 0 B e della sua inversa.
4) Date due generiche proposizioni e , si considerino le tre proposizioni T À" 9 , T À# Ê e T À 898$ / . Si costruisca la proposizione che esprime come condi-T T"
zione necessaria per T Ê T# $ e se ne costruisca quindi la tavola di verità.
5) Data la retta di equazione C œ #B si determini il valore dell'area della figura contenuta nel primo quadrante e compresa tra tale retta, la sua perpendicolare nel punto $ß ' , la retta di equa- zione B œ & e l'asse delle ascisse.
Prova Intermedia Novembre 2018-Compito 2ƒ 1) Disegnare un possibile grafico per una funzione che:
a) sulla sinistra tenda da sotto ad un asintoto obliquo di equazione C œ " B; b) abbia un punto di discontinuità di II specie in B œ !;
c) sulla destra abbia un asintoto orizzontale di equazione C œ #. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ! # BÄ∞ #
cos cos #
$B #B $ #B .
&B à " $B
B
"#B
3) Sapendo che 0 B œ # B e 1 B œ log B # determinare l'espressione della B "
" " #
funzione J B œ 0 1 B e della sua inversa.
4) Date due generiche proposizioni e , si considerino le tre proposizioni T À" Í, T À# Í 898 e T À$ 9 . Si costruisca la proposizione che esprime T T / T" # come condizione sufficiente per e se ne costruisca quindi la tavola di verità.T$
5) Data la retta di equazione C œ $B si determini il valore dell'area della figura contenuta nel primo quadrante e compresa tra tale retta, la sua perpendicolare nel punto $ß * , la retta di equa- zione B œ ' e l'asse delle ascisse.
I Appello Sessione Invernale 2019 - Compito
1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B #B $ † / # B . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ! BÄ∞
" $B " $B B#
#B "
"
#B
"B#
"B
; .
3) Determinare il valore di per il quale sen esiste finito e diverso da zero.
α lim
BÄ!
B B
Bα
4) Determinare il punto nel quale la retta tangente al grafico della funzione B! 0 B œ / $#B ri- sulta perpendicolare alla retta di equazione C œ " B #.
#
5) Determinare per quale valore di risulta 5 / / .B œ #.
!
5 $B $B"
6) Determinare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo relativo per la funzione 0 B œ / $B $/#B #/B.
7) Data 0 Bß C œ C B C $BC # $ , se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o mini- mo relativo.
8) Determinare f0 !ß !ß ! per 0 Bß Cß D œ B / CD BsenB #D B # C".
9) Data la matrice œ ed il vettore —œ #ß "ß " si determini per quale valo- 5 # "
# 5 #
" " 5
re del parametro risulta che il vettore 5 —† è parallelo al vettore ˜œ #ß "!ß % e poi per quale valore del parametro il vettore 5 —† risulta invece perpendicolare al vettore .˜
10) Scrivere la tavola di verità della proposizione: Ê ‚9 Í ‚/ Ê nell'ipotesi che la proposizione sia sempre vera.
I Appello Sessione Invernale 2019 - Compito
1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B #B $ † / # B . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ! BÄ∞
" #B " $B B#
" B
"
$B
"B#
"B
; .
3) Determinare il valore di per il quale log esiste finito e diverso da zero.
α lim
BÄ!
B " B B
α
4) Determinare il punto B! nel quale la retta tangente al grafico della funzione 0 B œ log$B " risulta perpendicolare alla retta di equazione C œ " #B.
5) Determinare per quale valore di risulta 5 / / .B œ $.
!
5 #B" #B
6) Determinare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo relativo per la funzione 0 B œ / $B $/#B /B.
7) Data 0 Bß C œ B C B $BC # $ , se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o mini- mo relativo.
8) Determinare f0 !ß !ß ! per 0 Bß Cß D œ B / CB CsenB #D C " D#.
9) Data la matrice œ ed il vettore —œ "ß #ß " si determini per quale valo- 5 " "
# 5 "
# " 5
re del parametro risulta che il vettore 5 —† è parallelo al vettore ˜œ 'ß "!ß % e poi per quale valore del parametro il vettore 5 —† risulta invece perpendicolare al vettore .˜
10) Scrivere la tavola di verità della proposizione: ‚9 ÊÍÊ ‚/ nell'ipotesi che la proposizione sia sempre falsa.
II Appello Sessione Invernale 2019 - Compito 1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ / 2B / #B . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ! $B BÄ∞ B
#B B
log" $B; B / # .
$ " $ $B
3) Determinare se e dove risulta che logB œ 9 / B .
4) Determinare dove risulta crescente la funzione 0 B œ B † / $ "B# . 5) Determinare dove risulta convessa la funzione log .
0 B œ logB "
B
6) Tra tutte le primitive della funzione 0 B œ B † / #B# determinare quella il cui grafico passa per il punto !ß # .
7) Data 0 Bß C œ B C $C # $ , se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.
8) Data la funzione 0 B œ B $B # # e date tre rette di coefficiente angolare rispettivamente
# % "!
$ $ß e $ , determinare quale di queste tre rette è tangente al grafico della 0 B in un punto B!
dell'intervallo #ß $ , giustificando adeguatamente la risposta e determinando .B!
9) Data la matrice œ # 5 , determinare il valore di per cui si ha 5 † œ & $ .
5 " $ #
10) Stabilire se la proposizione Ê / Ê‚Ê ‚9 risulta una tautologia.
II Appello Sessione Invernale 2019 - Compito
1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ / 2B $/ #B . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ!
%B #B B
BÄ∞ "B
# " #B / $
" #B B #
log ; .
3) Determinare se e dove risulta che / œ 9B logB.
4) Determinare dove risulta crescente la funzione 0 B œ B † / # "B$ . 5) Determinare dove risulta convessa la funzione log .
0 B œ " log B
B
6) Tra tutte le primitive della funzione 0 B œ B † / "#B# determinare quella il cui grafico passa per il punto !ß $ .
7) Data 0 Bß C œ B C $B $ # , se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.
8) Data la funzione 0 B œ B #B & # e date tre rette di coefficiente angolare rispettivamente
"ß( "$ 0 B B
$ e $ , determinare quale di queste tre rette è tangente al grafico della in un punto !
dell'intervallo $ß & , giustificando adeguatamente la risposta e determinando .B!
9) Data la matrice , determinare il valore di per cui si ha .
œ " 25 5 † œ # $
5 $ &
10) Stabilire se la proposizione ‚/ ÊÊ 9 Ê‚ risulta una tautologia.
Appello Sessione Straordinaria I 2019
1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ log" B# . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ!
B B
BÄ∞ "B
$ " B /
#B ; logB # .
3) Data la funzione 0 B œ determinare il valore dei parametri 5 B 5 À B "
# À " Ÿ B Ÿ "
7B # À " B
B
ed in modo che la funzione sia continua su tutto e se ne disegni poi il grafico.7 ‘
4) Sapendo che la retta di equazione C œ 5 B è tangente nel punto B œ " al grafico della fun- zione 0 B œ B $B & # , si determini il valore del parametro .5
5) Calcolare log .
"
/ B
B .B
6) Data la funzione 0 B œ / $B", si determini l'espressione della funzione 1 B sapendo che la funzione composta J B œ 0 1 B è tale che J B œ " B #.
7) Si approssimi la funzione 0 B œ / † B sen nel punto B B œ ! con un opportuno polinomio di primo grado.
8) Date le matrici œ " " 7 , œ e ‚œ $ # , determinare se esisto-
7 " 5 " !
# !
! "
" "
no valori dei parametri e per i quali risulti 7 5 † œ‚.
9) Data la proposizione T À/ 898 Ê si verifichi se T Ê 898 risulta una tautolo- gia.
10) Calcolare il gradiente della funzione 0 Bß Cß D œ BsenC B nel punto "ß !ß " .
D CD
I Appello Sessione Estiva 2019 1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ / B B# . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ!
B
B BÄ∞
$ " " # B
# " ; " logB .
log
B
3) Date le funzioni 0 B œ B #B " # e 1 B œ " B determinare l'espressione della fun- zione J B œ 0 1 B 1 0 B , determinare dove J B risulti invertibile, determinare infine le espressioni delle sue possibili funzioni inverse.
4) Sapendo che la retta di equazione C œ #B " è tangente al grafico della funzione 0 B œ B %B 5 # , si determinino sia il punto di tangenza che il valore del parametro .B! 5
5) Calcolare .
!
"
B " #/B# .B
6) Data la funzione 0 B œ B † / "B# , determinare i suoi punti di massimo e minimo, stabilendo anche se si tratti di estremi relativi o assoluti.
7) Determinare il Campo d'esistenza della funzione 0 B œ log log log B.
8) Dati i due vettori —œ "ß #ß % e ˜œ "ß "ß " , determinare il valore dei parametri e7 5 in modo che il vettore ™œ 7ß "ß 5 sia perpendicolare sia ad che ad .— ˜
9) Data la funzione 0 Bß C œ B C / BC si determini se essa ammette punti stazionari.
10) Data la proposizione : T À 898" / 9 si consideri poi la proposizione T Ê T" #. Quale proposizione tra e va sostituita a affinchè T# T Ê T" # risulti una tautologia ?
II Appello Sessione Estiva 2019
1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ logB B# . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ! # BÄ∞
" B
B " "cos B B
; log .
log BB
3) Disegnare un possibile grafico di una funzione 0 B tale che:
a) è continua a B −‘à
b) lim e lim
BÄ∞ BÄ∞
0 B œ ∞ 0 B œ ! à
c) 0 B Ÿ !w in "à " mentre 0 B !ww in !à $ .
4) Date le funzioni 0 B œ / $B# e 1 B , sapendo che 0 1 B œ $B &, si determinino le espressioni della funzione 1 B e della sua inversa.
5) Calcolare .
"
# B "
B " .B
6) Data la funzione 0 B œ B $B 'B " $ # si determinino i due punti e nei quali ilB" B#
coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione è uguale a e si scrivano poi$ le equazioni di queste due rette tangenti.
7) Determinare l'espressione del polinomio di Taylor di secondo grado per 0 B œ / $B$ nel punto B œ ".
8) Analizzare la natura del punto stazionario della funzione 0 Bß C œ B C #BC C # # .
9) Date le matrici œ " " ! e œ ! # " ed il vettore —œ 7ß "ß 5 ,
! " " " " !
si determini la relazione che deve intercorrere tra e affinchè i due vettori 7 5 ˜" œ —† e
˜# œ —† risultino perpendicolari.
10) Date tre generiche proposizioni , e , si considerino poi le altre due proposizioni: ‚ T À" Ê ‚9 e T À# Ê ‚/ Þ
Quando le proposizioni e risultano logicamente equivalenti ?T" T# I Appello Sessione Autunnale 2019
1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B #log#B, sapendo che essa pre- senta due punti di flesso, passando da convessa a concava e tornando poi ancora convessa.
2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ! BÄ∞
sen arcsen #
; log .
$B #B
B B BBsenB
3) Disegnare un possibile grafico di una funzione 0 B tale che:
a) ha un punto di discontinuità di I specie in B œ ! à
b) lim e lim
BÄ∞0 B œ ∞ BÄ∞0 B œ " à
c) 0 B !w in ∞à ! mentre 0 B !w in !à ∞.
4) Data la funzione 0 B , sapendo che risulta 0" B œ /B2, si determini l'espressione della funzione 0 0 B .
5) Calcolare log .
"
/ B
B .B
6) Data la funzione 0 B œ B $B &B " $ # si determini il punto nel quale la retta tangente al grafico della funzione è parallela alla retta passante per i due punti "ß # e #ß % e si scriva poi l'equazione di tale retta tangente.
7) Determinare gli intervalli nei quali risulta convessa la funzione 0 B œ / BB#. 8) Analizzare la natura dei punti stazionari della funzione 0 Bß C œ B $BC C $ #.
9) Date le matrici œ " 7 5 , œ e ‚œ $ $ , determinare il valo-
7 5 " ! "
" #
# "
" "
re dei parametri e affinchè risulti 7 5 † œ‚.
10) Date tre generiche proposizioni , e , stabilire i casi di verità e di falsità della proposi- ‚ zione T À" Ê‚ non / Ê supponendo per ipotesi che la proposizione T À# ‚Ê sia vera.
II Appello Sessione Autunnale 2019
1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ #B $B "#B " $ # . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ!
B B
BÄ∞
( & " #
'B ; " $B .
B
3) Determinare i punti di discontinuità della funzione 0 B œ B " specificandone an- B $B #
#
che la specie.
4) Date le funzioni 0 B œ $ B" e 1 B œ # B", determinare l'espressione dell'inversa della funzione J B œ 0 1 B .
5) Calcolare .
!
"
$B #B
/ / .B
6) Data la funzione 0 B œ log#B si determini il punto nel quale la retta tangente al grafico della funzione è perpendicolare alla retta di equazione C œ $B ".
7) Approssimare la funzione 0 B œ B / B" mediante un opportuno polinomio di II grado in un intorno del punto B œ ".
8) Determinare il gradiente della funzione 0 Bß Cß D œ B $ $C sen BD C D$ # in "ß "ß !. 9) Dati —œ B " ß œ / #/ e ˜œ " , determinare i valori di che risol-B
" B "
B B
vono l'equazione — ˜† † œ ".
10) Dati tre generici insiemi , e , verificare se è vero che ‚ ‚Ï Ï Ï § ∩.
" " rappresenta la differenza tra insiemi, " " l'intersezioneÏ ∩ Appello Sessione Straordinaria II 2019
1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ " B / B . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:
lim lim
BÄ! BÄ∞
"
sen sen sen log
; .
$B #B B " B
'B $B "
B
3) Date le funzioni 0 B œ # B" e 1 B , determinare l'espressione dell'inversa della funzione 1 B sapendo che 0 1 B œ B ".
4) Date le funzioni 0 B œ B $B # # e 1 B œ B %B % # determinare se e dove risulta 0 B µ 1 B , dove 0 B œ 9 1 B e dove 1 B œ 9 0 B .
5) Calcolare .
"
/ " "
#B $B .B
6) Data la funzione 0 B œ log#B #log si determini l'equazione della retta tangente al grafi-B co della funzione nel punto B œ ".
7) Disegnare un esempio di grafico per una funzione che soddisfi alle seguenti due definizioni di limite:
a) a b& $ & À ! B $ & Ê 0 B &; b) a ! b& $ & À B $ & Ê 0 B &.
8) Determinare tutti i vettori —œ Bß Cß D che risultano perpendicolari sia a ˜" œ !ß "ß " che a ˜# œ "ß "ß ! e di modulo pari a #(.
9) Data la funzione 0 Bß C œ "#B %BC #B C # #, se ne determini gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.
10) Date tre generiche proposizioni , e , si verifichi se risulta una tautologia la proposizio- ‚ ne: / 9‚ Ê / 9‚.
