COMPITI DI ANALISI MATEMATICA AA. 2016/17
Prova Intermedia 2016
I M 1) Dati tre numeri complessi D ß D e , rispettivamente con modulo uguale a , e D % " "
$ # $
" # $
ed argomento rispettivamente uguale a % , " e # , si calcoli D
$1 '1 $1 $ D † D"
# $
.
I M 2) Data la funzione 0 Bß C œ , determinare per quali va- B
B C À Bß C Á !ß !
! À Bß C œ !ß !
5
# #
lori del parametro 5 ! la funzione, nel punto !ß ! , risulta continua, per quali ammette de- rivate parziali e per quali risulta poi differenziabile.
I M 3) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ BCD BC BD CD œ ! che risulta soddisfatta nel punto T œ "ß "ß " , dopo aver verificato che con essa si può definire una funzione implicita
Bß C Ä D , si calcolino fD "ß " , dD "ß " e d#D "ß " .
I M 4) Si determini l'equazione della retta tangente nel punto C œ ! alla curva grafico della funzione J À C Ä B C ß D C definita implicitamente dal sistema:
0 Bß Cß D œ / / œ !
1 Bß Cß D œ BCD " B C D œ !
$
T œ "ß !ß "
B C D BCD
# # #
!
# # #
log , soddisfatto nel punto .
I M 5) Dati la funzione 0 Bß C œ B C † / B C"# # # ed i due versori œ@ cosαßsenα e A œ cosαßsenα, si determinino i valori di per i quali risulta soddisfatta la condizioneα W@0 "ß " œ W#@ßA0 "ß " .
I Appello Sessione Invernale 2017 I M 1) Determinare le tre soluzioni dell'equazione B 3 œ " 3.
" 3
$
I M 2) Verificare per quali valori di 5 ! la funzione 0 Bß C œ B † 5 "! C $ risulta diffe- renziabile in !ß ! .
I M 3) Dato il sistema
0 Bß Cß D œ BCD B C BD CD œ 1 Bß Cß D œ /
# # !
#/ / œ !
BC CD DB , si verifichi che con esso si può definire in un intorno del punto "ß "ß " una funzione implicita B Ä C B ß D B e di tale funzione si calcoli poi l'equazione della retta tangente in B œ ".
I M 4) Data 0 Bß C œ BC / BC ed i due versori œ@ cosαßsenα e Aœsenαßcosα, de- terminare per quali valori di la α H#@ßA0 "ß " risulta massima.
II M 1) Risolvere il problema: .
Max min s v
Î 0 Bß C œ C B Þ Þ B C Ÿ "
B " Ÿ C
# #
#
II M 2) Risolvere il problema di Cauchy C BC œ B C ! œ "
w .
II M 3) Risolvere il sistema di equazioni differenziali: B œ C " . C œ B >
w w
II M 4) Data 0 Bß C œ BC e date la regione H œ" Bß C À B Ÿ !à ! Ÿ C Ÿ " B # e la re- gione H œ# Bß C À ! Ÿ Bà ! Ÿ Cà B C Ÿ " # # , calcolare 0 Bß C d dB C
H ∪ H" #
.
II Appello Sessione Invernale 2017
I M 1) Calcolare le radici quarte del numero complesso D œ 3 " &† 3 "$. I M 2) Determinare, al variare del parametro reale α !, se la funzione:
0 Bß C œ Bß C Á !ß ! !ß !
Bß C œ !ß !
B C
B C À
! À
α α $
# # è differenziabile nel punto .
I M 3) L'equazione 0 Bß C œ / C B# # /BC œ ! definisce, nel punto T œ "ß " , una fun- zione implicita B ÄC B . Si determini l'espressione del polinomio di Taylor di grado della# funzione C B nel punto Bœ ".
I M 4) Data 0 Bß C œ B C BC # #, T œ "ß "! , e i versori di @ A "ß " e "ß ", calco- lare H 0@ T! e H@ßA# 0 T! .
II M 1) Risolvere il problema: Max min .
s v Î 0 Bß C œ B C Þ Þ B C Ÿ %
$ $
# #
II M 2) Risolvere il problema di Cauchy log
C † C œ #BC C ! œ "
w #
.
II M 3) Risolvere il sistema di equazioni differenziali: B œ B #C . C œ B $C
w w
II M 4) Data la regione H œBß C À ! Ÿ Bà B C Ÿ #C # # , calcolare BC#d dB C
H
.
Appello Sessione Straordinaria I 2017
I M 1) Determinare la forma algebrica del numero complesso D œ /"'3 e disegnarlo poi nel piano complesso.
I M 2) Determinare se la funzione 0 Bß C œ Bß C Á !ß ! è differen- Bß C œ !ß !
BC † B C
B C À
! À
# #
ziabile nel punto !ß ! .
I M 3) L'equazione 0 Bß Cß D œ B/ CD C/BD D/BC œ ! definisce in T œ "ß "ß ! una funzione implicita D œ D Bß C . Determinare fD "ß " .
I M 4) Data la funzione 0 Bß C œ B C / B C , determinare l'espressione del suo polinomio di Mac Laurin di secondo grado.
II M 1) Risolvere il problema: Max min .
s v Î 0 Bß C œ B BC Þ Þ %B C Ÿ %
# #
# #
II M 2) Risolvere il problema di Cauchy
=
C %C $ C B C ! œ *
"' C ! œ "
%
ww w
w
.
II M 3) Risolvere il sistema di equazioni differenziali: B œ C . C œ B
w w
II M 4) Calcolare d d , dove .
H
B C# # B C H œ Bß C À B " Ÿ C Ÿ " B# #
II Appello Sessione Autunnale 2017
I M 1) Dato il numero complesso D œ 3 # A œ 3 D
3 D
, si calcolino le radici terze di , dove D è il coniugato di .D
I M 2) Determinare se la funzione 0 Bß C œ Bß C Á !ß ! è differenzia- Bß C œ !ß !
B C B C
$ $
# # À
! À
bile nel punto !ß ! .
I M 3) Dato il sistema
0 Bß Cß D œ #BC / / œ ! 1 Bß Cß D œ $CD /
BD DC
DB #/DC œ ! , si verifichi che con esso si può definire in un intorno del punto "ß "ß " una funzione implicita D Ä B D ß C D e di tale funzione si calcolino poi le derivate prime nel punto D œ ".
I M 4) Data 0 Bß C œ B C BC # #, sia poi @ œcosαßsenα un generico versore. Determi- nare se α H 0 "ß " œ !@ e calcolare poi H@ßA# 0 "ß " con Aœcos"ßsen"versore qualsia- si.
II M 1) Risolvere il problema: Max min .
s v Î 0 Bß C œ
Þ Þ !
BC B #B Ÿ C Ÿ#
II M 2) Risolvere l'equazione differenziale C œ C †w logB †logC.
II M 3) Il sistema di equazioni differenziali: B œ 5C ha, tra le soluzioni per , la
C œ B Cww B >
funzione B œ /#>. Determinare il valore di e risolvere il sistema.5
II M 4) Calcolare d d , .
H
B C# # B C H œ Bß C À B !ß C !ß C Ÿ B "ß C Ÿ $ B
Appello Sessione Straordinaria II 2017 I M 1) Calcolare le radici cubiche del numero D œ * * . 3 " " 3
I M 2) Verificare se la funzione risulta differenzia-
0 Bß C œ
B C
B C Bß C Á !ß !
! Bß C œ !ß !
' '
2 2 #
bile nel punto !ß ! .
I M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ BC / CBœ !, verificare che, con essa, è possibile definire, in un intorno del punto "ß " , una funzione implicita e calcolare la derivata prima e seconda di tale funzione nel punto opportuno.
I M 4) Siano e i versori di @ A "ß " e "ß ". Sapendo che 0 Bß C è differenziabile in —!, che W@0 —! œ # e che WA0 —! œ $, calcolare f0 —! .
II M 1) Data la funzione 0 Bß C œ B C BC B # # # , analizzare la natura dei suoi punti stazionari.
II M 2) Risolvere il problema: Max min .
s v Î 0 Bß C œ B C Þ Þ !
# #
Ÿ C Ÿ " B#
II M 3) Risolvere il problema di Cauchy .
sen
C C œ B
C ! œ "
C ! œ "
ww w
w
II M 4) Calcolare d d , .
H
B C B C H œ# Bß C À B " # Ÿ C Ÿ #B "
