COMPITI DI ANALISI MATEMATICA AA. 2011/12
Prova Intermedia 2012
1) Data l'equazione B B (B 5 œ !$ # , sapendo che essa ammette la soluzione B œ # 3 , calcolare le radici cubiche della soluzione reale di tale equazione.
2) Determinare l'insieme di convergenza della Serie di funzioni .
8œ!
∞ B8
" 8 B2 3) Verificare se la funzione 0 Bß C œ B B C risulta differenziabile in !ß ! .
4) Dato il sistema che risulta soddisfatto nel
0 Bß Cß Dß A œ B / A / œ ! 1 Bß Cß Dß A œ BCD CDA BDA œ "
CD DC
punto P! œ "ß "ß "ß " , verificare che con esso si può determinare una funzione implicita Bß C Ä Dß A , e di questa calcolare la matrice Jacobiana nel punto "ß ". 5) Data 0 Bß C œ B C ed i vettori •œ "ß " e –œ "ß " , detti rispettivamente e i@ A loro versori, sapendo che W@0 B ß C ! !œ 5 e che WA0 B ß C ! !œ 7, determinare i valori di 5 e affinchè risulti 7 B ß C! ! œ %ß # .
I Appello Sessione Invernale 2012
I M 1) L'equazione B # 3 B % #3 B %3 œ !$ # ha soluzioni complesse. Trovare$ tali soluzioni e calcolare le radici quadrate della soluzione che sta nel primo quadrante del piano .‚
I M 2) Dopo aver determinato insieme di convergenza e funzione limite della Successione di funzioni 0 B œ 8 B /8 # 8 B " , si determini l'insieme di convergenza di 0 B8 .
8œ!
# ∞
I M 3) Risolvere il problema di Cauchy .
log
B C œ #C C " B C " œ "
#
w
I M 4) Risolvere il sistema di equazioni differenziali lineari .
B œ B #C "
C œ "B $C /
#
w
w >
II M 1) Risolvere il problema Max/min .
s.v.:
0 Bß C œ B C " B %C Ÿ "
# $
# #
II M 2) Data 0 Bß C œ C BC $ #, sia il versore di A "ß " . Determinare e rappresentare graficamente tutti i punti B ß C! ! per i quali risulta WA0 B ß C ! !œ !.
II M 3) Verificare se la funzione 0 Bß C œ B B C # risulta differenziabile in !ß ! .
II M 4) Data l'equazione 0 Bß C œ B C / # $ BC œ ! che risulta soddisfatta nel punto P! œ "ß " , verificare che con essa si può definire una funzione implicita C œ C B , e di questa determinare l'espressione del Polinomio di Taylor di II grado in B œ ".
II Appello Sessione Invernale 2012 I M 1) Calcolare " 3$.
I M 2) Studiare la Successione di funzioni 0 B œ 88 log8B) , trovandone l'insieme di con- vergenza, la funzione limite e opportuni intervalli in cui la Successione risulta convergere u- niformemente. Si determini infine l'intervallo di convergenza della Serie .
8œ!
∞
0 B8
I M 3) Risolvere il sistema di equazioni differenziali lineari: B œ B #C " . C œ $B #C
w w
I M 4) Risolvere il problema di Cauchy: .
C #C C œ / C ! œ "
C ! œ !
ww w B
w
II M 1) Date 1 À‘Ä‘#ß > Ä B ß B " # e 0 À‘# Ä‘$ß B ß B " #Ä C ß C ß C " # $, usando la regola di derivazione di funzione composta, esprimere ` C ß C ß C mediante prodotto delle
` >
" # $
opportune matrici Jacobiane, ed applicare poi la formula trovata al caso 1 À > Ä sen>ßcos> e .0 À B ß B " #Ä B B ß B B ß B B " # " # " #
II M 2) Dato il sistema log log soddisfatto nel punto
0 Bß Cß D œ B C C D BC D œ ! 1 Bß Cß D œ B C C D œ "
$ #
$ # $ #
Pœ !ß "ß " , esso determina una funzione implicita B Ä C B ß D B ; di questa calcolare l'equazione della retta tangente nel punto B œ !.
II M 3) Data 0 Bß Cß D œ B BD CD # # calcolare @0 "ß !ß " e # 0 "ß !ß " , dove è il@
W W@ß@
versore di "ß "ß ".
II M 4) Risolvere il problema .
Max/min s.v.:
0 Bß Cß D œ B C $B #C
#B C $ ! C Ÿ "
C B $
# #
