COMPITI DI ANALISI MATEMATICA AA. 2012/13

COMPITI DI ANALISI MATEMATICA AA. 2012/13

Prova Intermedia 2013

I M 1) Calcolare 3 . Si consiglia di usare la forma trigonometrica dei nu-

"  3  "  3

) '

%

   

meri complessi.

I M 2) Studiare la Serie di potenze    .

8œ"

∞ 8

8  / 8

8₂ B  "

I M 3) Date le funzioni 1 À‘^$p‘^#ß 1 Bß Cß D œ ?ß @ œ B  + Dß C  , D ß +ß , −      ‘, e 0 À‘^#p ß 0 ?ß @ œ A‘   , sapendo che e sono ovunque differenziabili si verifichi, median-0 1 te derivazione di funzione composta, che `A `A `A, calcolando .

`D œ + † `B  , † `C fA Bß Cß D  I M 4) Il sistema    , che risulta soddisfatto nel punto

 

0 Bß Cß D œ BC  CD  #BD œ ! 1 Bß Cß D œ /  #/  / œ !

# #

BC CD BD

Pœ "ß "ß " , determina una funzione implicita B Ä C B ß D B    ; di questa calcolare l'equa- zione della retta tangente nel punto B œ ".

I M 5) Data 0 Bß C œ BC  C  ^#, determinare tutte le direzioni per le quali risulta@ W^#_@ß@0 B ß C ! ! œ ! qualunque sia il punto B ß C! !.

I Appello Sessione Invernale 2013

I M 1) Determinare le radici , , e dell'equazione D_" D_# D_$ D_% D  #D  #D  )D  ) œ !^{% $ #} e calcolare poi ^$ D † D † D † D_{" # $ %}.

I M 2) Data la funzione 0 Bß C œ , si verifichi che essa non è BC

B  C Bß C Á !ß !

! Bß C œ !ß !

 





   

   

# #

differenziabile in  !ß ! e si determinino poi le direzioni per le quali esiste la derivata dire-@ zionale .W_@0 !ß ! 

I M 3) Sapendo che il sistema    è soddisfatto in un

 

0 Bß Cß D œ D  #BC œ !

1 Bß Cß D œ B  C  %B C  D œ !^{# # #}

unico punto P œ "ß Cß D , determinare tale punto e stabilire quale funzione implicita possa essere così definita; di questa calcolare poi le derivate prime.

I M 4) Studiare la Successione di funzioni 0 B œ /  8 , determinandone insieme

"  8

8  8 B^#

di convergenza e funzione limite. Studiare poi la sua eventuale convergenza uniforme. Deter- minare infine l'insieme di convergenza della Serie di funzioni   .

8œ"

∞

0 B8

II M 1) Data la funzione 0 Bß C œ BC "  B  C   ^#  analizzare la natura dei suoi punti sta- zionari.

II M 2) Risolvere il problema .

Max/min s.v.:





 



0 Bß C œ B  C B  C Ÿ "

C   #B

# #

# #

II M 3) Risolvere il problema di Cauchy log .

   

C œ  "  B † "  C C ! œ !

w #

II M 4) Risolvere il sistema di equazioni differenziali lineari: B œ C  " . C œ B

w w

II Appello Sessione Invernale 2013

I M 1) Determinare le radici , , e dell'equazione D D D_{" # $} D_% D  D  D  *D  "! œ !^{% $ #} e cal- colare poi ^% D  D  D  D_{" # $ %}.

I M 2) Studiare la Serie di potenze    .

8œ"

∞

8 8

#8  "

8₂ † # † B  #

I M 3) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B C  C D  BCD œ !  ^{$ $ $} ed il punto P! œ "ß !ß "  che la soddisfa, determinare l'equazione del piano tangente alla superficie della funzione implicita definibile con tale equazione.

I M 4) Data 0 Bß C œ B  $BC  ^$ , e dato versore di @  "ß " , determinare i punti B ß C! ! nei quali risulta W_@0 B ß C _{! !}œ ! e W^#_@ß@0 B ß C _{! !}œ !.

II M 1) Risolvere il problema di Cauchy .

  C  C œ B C " œ  "B

w #

II M 2) Risolvere il sistema di equazioni differenziali lineari:    .

 

B > œ B  C  >

C > œ B  $C  >

w

w #

II M 3) Risolvere il problema .

Max/min s.v.:





 

  

0 Bß C œ B  BC  C B  "  C Ÿ "

B  #C Ÿ !

#

II M 4) Determinare il massimo per il volume di un parallelepipedo avente una faccia con area uguale a e la somma degli spigoli uguale a .$ &

Appello Sessione Straordinaria I 2013 I M 1) Calcolare "  3^#! "  3 ^"#.

I M 2) Studiare la convergenza uniforme della Successione di funzioni 0 B œ 8 /₈  ^"8B. I M 3) Si verifichi che con l'equazione 0 Bß C œ B  B C  / œ !  ^{% # C} si può sempre definire una funzione implicita C œ C B , in un qualunque punto P che la soddisfa. Se P! ! œ "ß ! , si calcolino C "^w  e C "^ww .

I M 4) Data la funzione 0 Bß C œ B/  C/  ^{C B}, verificare se esistono direzioni per le quali@ risulti sia W_@0 !ß ! œ !  che W_@ß@^# 0 !ß ! œ !  .

II M 1) Verificare se la funzione 0 Bß C œ B † C  B    risulta differenziabile nel punto  !ß ! .

II M 2) Risolvere il problema .

Max/min s.v.:





 



0 Bß C œ B  C B  %C Ÿ % B  )C Ÿ %

# #

#

II M 3) Risolvere il problema di Cauchy sen cos .

  C † B œ C † B C œ "

w

# 1

II M 4) Risolvere il problema di Cauchy .



  

 

C  #C  &C œ #  B C ! œ !

C ! œ !

ww w

w

I Appello Sessione Estiva 2013

I M 1) Dopo aver trovato le soluzioni , , dell'equazione D D D" # $ D  $D  %D  ) œ !$ # , si cal- coli .^$ D † D † D_{" # $}

I M 2) Studiare la Serie di potenze  .

8œ!

∞

8

8  " 8

# † B

I M 3) Si verifichi che con l'equazione 0 Bß C œ /  ^BC cosC  B œ ! , nel punto  "ß " , si può definire una funzione implicita C œ C B , e quindi si calcolino C "^w  e C "^ww .

I M 4) Data 0 Bß C œ B  BC  $C  ^# , determinare il punto T! nel quale W?0 T  ! œ # e W_@0 T _! œ  # , dove è il versore di # ?  "ß " e il versore di @ "ß  " Þ

II M 1) Risolvere il problema .

Max/min s.v.:





 

 

0 Bß C œ B  #C B  #

%  C Ÿ "

#

#

II M 2) Determinare i punti di massimo e di minimo per la funzione 0 Bß C œ $C  #B  nel quadrilatero avente per vertici i punti        !ß ! , "ß ! , "ß # e !ß " .

II M 3) Trovare la soluzione generale dell'equazione C  C œ^ww sen#B. II M 4) Risolvere il problema di Cauchy sen cos .

  C † B œ C † B

C œ $

w

# 1