1
A st ro fi si ca N uc le a re e S ub nu cl e a re a. a. 2 0 0 6 /2 0 0 7 pr of . M . S pu ri o sp ur io @ b o. in fn .it
2
Ph ysi
cal co
nst an
t
3
A vv e rt e nz e …
Le seguenti trasparenze sono utilizzate durante la lezione. NONpossono quindi essere considerate autoconsistenti, ma necessitano delle spiegazioni, e dei passaggi presentate durantela lezione (sulla tradizionale lavagna). Sono inoltre utili per aiutare lo studente a prendere appunti, per avere sottomano gli argomenti e le relazioni piùimportanti e per selezionare nei libri consigliati le parti svolte. La frequenza al corso, ancorchènon obbligatoria, è fortemente consigliata. L’esame èorale. Una domanda verte su un argomento a scelta dello studente. Iscriversi all’esame (le date sui consueti siti web) èobbligatorio, inviando un mail a spurio@bo.infn.it4
In d ic e
0. Perché Astrofisica Nucleare e Subnucleare? 1. Richiami di Meccanica Quantistica: come si usa in Fisica delle Particelle 2. Leptoni, quarks ed Adroni 3. Le Interazioni Fondamentali: analisi preliminare 4. Probabilità di transizione in Teoria Perturbativa 5. Caratteristiche generali delle Interazioni Deboli (WI) 6. Principi di invarianzae conservazione 7. Le interazioni Forti ed il modello statico dei quarks 8. Collisioni e+ e- : test di QED 9. Alcune verifiche del Modello Standard e i Vettori Bosoni intermedi Appendici ed esercizi5
0 . P er ch é A st ro fi si ca N u cl ea re e S u b n u cl ea re ?
•Fenomeni atomici e molecolari: comprensione dello spettro luminoso del sole; •Fenomeni nucleari: comprensione del “funzionamento” del sole e delle stelle; •La Fisica nucleare e subnucleare e la Meccanica Quantisticaci permettono di comprendere la struttura di particolari corpi celesti (stelle a neutroni, pulsar…); •La Fisica dei Raggi Cosmici(protoni e nuclei di alta energia) è strettamente connessa ai meccanismi di accelerazione di oggetti astrofisici galattici o extragalattici; •Neutrino astronomia: identificazione delle sorgenti acceleratrici; •Il problema della “dark matter” è strettamente connessa con quella della nascita e dell’evoluzione di Galassie e di ammassi di Galassie; •La comprensione del comportamento del “microcosmo” ad energie elevatissime è di fondamentale importanza per la comprensione dei primi attimi di vita dell’Universo dopo il Big Bang; •Cos’è la “dark energy”? Quali le sue relazioni con la cosmologia? •…..6
Visione “pittorica” dell’evoluzione (temporale ed energetica) dell’Universo e la sua relazione con i costituenti ultimi della Materia.
7
•La “fisica delle interazioni fondamentali” studia quali sono i costituenti ultimi della materia e le interazioni tra questi •La materia è composta da particelle, che interagiscono tramite campi di forze; •Le forze sono mediate da particolari particelle, chiamate bosonidi gauge. Principi osservativi di base: •I costituenti ultimi della materia sonoleptonie quark, particelle di spin½ •Leptoni e quark interagiscono per mezzo di bosonivettoriali (spin=1) •Quark e leptoni sono suddivisi in 3 generazioni (o famiglie) •Leptoni e quark sono soggetti alle forze elettromagnetiche e deboli, unificate nella “teoria elettrodebole” •I quarks sono soggetti alle interazioni forti (cromodinamicaquantistica, ~1970)
(1960-70, Glashow, Weinberg, Salam)
8
1 . R ic h ia m i d i M ec ca n ic a Q u a n ti st ic a : co m e si u sa i n F is ic a d el le P a rt ic el le
9
Interazioni in MQ: Classicamente, l’interazione a distanzae’ descritta in termini di un potenziale (o campo) dovuto ad una sorgente, che agisce su un’altra. In MQ,è vista in termini dello scambio di un “quanto” (particella bosonica) associato con il particolare tipo di interazione. Poiché il “quanto” trasporta energia ∆E ed impulso, le leggi di conservazione sono soddisfatte solo se il processo avviene in un tempo definito dal Principio di Indeterminazione: Il quanto in tal caso è detto “virtuale”.
h ≤ ∆⋅ ∆ t E
Operatori in MQ. Le grandezzeclassiche come energia ed impulso, sono rappresentate da operatori: La classica relazione energia-impulso E=p2 /2m diviene l’equazione non relativistica di Schrodinger per la particella libera:(1.1) (1.2) (1.3)
La teoria che descrive le interazioni tra particelle è la meccanica quantistica (MQ): le particelle sono descritte da funzioni d’onda
10
•La soluzione dell’equazione di Schrodingerdescrive un’onda libera: •Se utilizziamo la relazione relativistica otteniamo l’equazione di Klein-Gordon che ha sempre l’onda libera (1.4) come soluzione. •L’eq.di K-G contiene derivate del secondo ordine; descrive correttamente particelle prive di spin. Particelle con spindevono venire descritte dall’equazione di Dirac(1928).
(1.4) (1.5) (1.6)
O n d a l ib er a
11
Descrizione dei campi di forza(scambio di particelle bosoniche) La
φφφφ
nell’equazione (1.6) può essere interpretata: •in termini di funzione d’ondache descrive una o un sistema di particelle (da cui si ottiene la densità di probabilità); •come un potenziale in ciascun punto dello spazio-tempo, in analogia col caso elettromagnetico. (Il caso EM si ottiene ponendo m=0 nella (1.6): φ può essere identificato sia come il potenziale elettrico che come il potenziale vettore A) Gli stati ad energia negativa: •L’equazione di Diracper particelle con spin semintero prevede soluzioni ad energia negativa; •Diracipotizzò che gli stati ad energia negativa fossero completamente riempiti: una mancanza di un elettrone in questo mare costituisce una “lacuna”. Una lacuna si comporta esattamente come un elettrone con carica positiva (la sua antiparticella).12
L a s co pe rt a de ll ’a nt ie le tt ro ne
•1933: C.DAndersson(Berkeley) usando camere a nebbiascoprì particelle con carica positivae con un rapporto e/m circa 1/2000 rispetto al protone. •Nella foto: uno delle 15 tracce dovute ad un positrone. La curvatura nel campo magnetico determina il segno della carica e la quantità di moto. •Il “rallentamento” dovuto alla presenza di una lastra di piombo, permette di determinare la variazione di quantità di moto, ossia la sua massa. Uno dei primi “rivelatori di particelle”: esso è nel contempo semplice, ma contiene alcune delle caratteristiche dei complessi rivelatori odierni.13
C o m e si m is ur a no l e g ra n de zz e fi si che (m a ss a , ca ri ca , im pul so , ene rg ia … Q u es ti a rg o m en ti s o n o t ra tt a ti n el le l ez io n i d el d r. M a x im il ia n o S io li
14
A lc u n e co se c h e si p o ss o n o i mp a ra re d a ll a fu n zi o n e d ’o n d a e d u n p o te n zi a le s ta ti co
•Soluzione della (1. 7) è:(1.7) (1.8)dove
•Consideriamo l’equazione che descrive il potenziale in ciascun punto dello spazio-tempo per una particella senza spin(eq. 1.6). •Nel caso di un potenziale statico(ossia, non dipendente da t) ed a simmetria sferica(ossia, dipendente solo dalla distanza |r|), indicandoφ=U: Definizione di ∇in simmetria sferica
15
(1.9)
•E’semplice verificare che nel caso di m=0 (ossia, R=∝), la (1.8) diviene il semplice potenziale elettrostatico U=e/4πr , nel caso in cui g ≡ ≡ ≡ ≡e. •Da questo discende come noto che, nel caso elettromagnetico, poichéil fotone ha massa nulla, dalla relazione: Si ottiene che il range(ossia, la distanza entro la quale l’interazione ha effetto) è infinito!.
Il c a so e le tt ro m a g ne ti co Il c a so de ll e fo rz e n uc le a ri
Applicazione al caso delle forze Nucleari: nel caso delle forze nucleari, si conosceva (anni ’30) che il raggio di azione R tra due adroni era R ~ 1 fm. Utilizzano questo valore (modello di Yukawa) si ottiene un valore della massa del bosonemediatore pari a:16
•La particella ipotizzata (pione, π) venne scoperta nei Raggi Cosmici nel 1947, usando la tecnica delle emulsioni nucleari. La sua massa corrisponde a circa 140 MeV. •La teoria di Yukawadovette essere succes- sivamente abbandonata: gli adroni avevano una struttura interna (quarks)!I primi eventi con un ππππ+ , che si arrestano nelle emulsioni e decadono in µµµµ+ (ed un neutrino, invisibile); a sua volta, il µµµµ+ decade in un positrone (e due neutrini).
17
Il “ p ro p a g a to re b o so n ic o ”
Consideriamo l’interazione di una particella con accoppiamentog o(la carica, nel caso elettromagnetico) con il potenziale U(r). L’energia potenziale espressa nello spazio degli impulsi(dove la variabile q rappresenta il momento trasferito): (1.11)(1.10) f(q)descrive nellospazio dei momentila stessa legge espressa dal potenziale (1.8) nellospazio delle coordinate.
(1.8)
18
•Sia per la probabilità di interazione nell’unità di tempo, che per la vita mediala teoria determina il valore della grandezza W, che si misura in s-1 . •W dovràessere correlata con lafunzione d’onda della particella, con il potenziale d’interazione(del processo che fa interagire o decadere le particelle) e con ladensitàdegli stati(ossia, il numero di possibili stati finali a disposizione, che sono funzione dell’energia a disposizione).
C o n n es si o n e te o ri a - es p er ime n to
•In MQ, la descrizione dello stato fisico di una particella (o sistema di particelle) avviene tramite lafunzione d’onda, che descrive le proprietà del sistema (numeri quantici: spin, parità, momento angolare,… •Le informazioni sui valori dei numeri quantici delle particelledivengono accessibilitramite esperimenti. •Occorre quindi che la teoria formuli delle predizioni tramite grandezze osservabilicon gli esperimenti; •Due grandezzeosservabilispesso usate sono la probabilità di interazione nell’unità di tempo, e la vita mediadelle particelle instabili.19
A lc u n e q u a n ti tà o ss er v a b il i
La grandezza che fornisce una misura quantitativadella probabilitàdi interazione tra particelle èla probabilitàdi interazione nell’unitàdi tempo W: ijv n W ⋅ ⋅ = σ
(s-1 )(cm2 cm-3 cm s-1 = s-1 ) La grandezza σσσσrappresenta la sezione d’urto(misurabile sperimentalmente) del processo di interazione tra le particelle incidenti con velocitàvied un mezzo, di densitànumerica nj(particelle/cm3 ). Nel caso di un decadimento di una particella, la stessa grandezza W (che ha le dimensioni di Tempo-1 ) èlegata alla vita τ media della particella:τ / 1 = W
(s-1 )(s-1 )In te ra zi o n i tr a p a rt ic el le : la s ez io n e d ’u rt o . D ec a d im en to d i p a rt ic el le : la v it a m ed ia
(1.12) (1.13) Torneremo sulla grandezza W nel capitolo 4.
20
2 . L ep to n i, q u a rk s ed a d ro n i • Il q u ad ro c o m p le ss iv o d el la f is ic a d el le p ar ti ce ll e si c h ia m a “M o d el lo S ta n d ar d ” • I “m at to n i” n el M S s o n o i l ep to n i ed i q u ar k s. • L ’a tt u al e q u ad ro è i l fr u tt o d i q u as i u n s ec o lo d i o ss er v az io n i sp er im en ta li e m o d el li t eo ri ci . • C i so n o i n d ic az io n e d i fe n o m en i “o lt re ” il m o d el lo s ta n d ar d
21
•Ciascuna famiglia ha il suo corrispondente neutrino; •I leptoni di ciascuna famiglia hanno massa crescente; •I neutrini hanno massa estremamente piccola, e sentono solo le interazioni deboli. •Ciascuna famiglia ha una corrispondente “antifamiglia” di “antiparticelle”; •Leptoni ed antileptoni carichi differiscono dal segno della carica elettrica; •Neutrini ed antineutrini differiscono solo dal “numero leptonico”; si tratta di una grandezza conservata da ogni interazione. •Esistono 3 numeri leptonici (uno per famiglia): dell’elettrone,del muone e del tau •I leptoni hanno L αααα= 1(αsta per e, µ,τ); gli antileptoni hanno L αααα= -1 •(le oscillazioni dei neutrini sembrano violare il numero leptonico tra famiglie) •Il numero leptonico totaleè(sinora) sempre conservato.
•I leptonisono fermionidi spin½, non soggetti alle interazioni forti. •I leptoni carichi esistono in 3 differenti famiglie, (elettrone e- , muone µµµµ- e tau ττττ- )
2 .1 I le p to n i
22
•Gli antielettroni vennero scoperti nel 1933 nei Raggi Cosmici (cap.1) •I muoni vennero scoperti nel 1936 nei Raggi Cosmici (cap. 1). Sono particelle instabili, che hanno vita media: •(anti)neutrini elettronici vennero scoperti nel 1956 presso un reattore nucleare (cap. 5); successivamente vennero scoperti il neutrino del muonee del tau.
•I tau vennero scoperti nel 1975 con macchine acceleratrici e+e-. Decadono sia in leptoni che in adroni, con vita media: BR=17.8% BR=17.4% NOTA1: La “branchingratio (BR)” è la frazione di un particolare modo di decadimento di una particella rispetto tutti quelli possibili. NOTA2: Osservate come il numero leptonico di sapore sia sempre conservato! •Universalità delle Interazioni Deboli: Le interazioni deboli tra leptoni sono identiche. Non vi è alcuna differenza tra le 3 generazioni di leptoni, a parte le masse. Piccole differenze (come nella BR del decadimento del tau) sono imputabili ai differenti valori delle masse (vedi cap. 5)
23
2 .2 A d ro n i e q u a rk s
•La struttura atomica mostrò l’esistenza di un nucleo compatto di carica + •Nel nucleo, vennero identificati protonie neutroni •Protoni e neutroni sono soggetti alle interazioni forti. •Nel 1947, nuove particelle pesanti (chiamati adroni) vennero identificate nei raggi cosmici. •A partire dal 1969, negli acceleratori, parecchie decine di adroni vennero identificati. •Nel 1961 Gell-Manne Neemaninventarono uno schema basato su gruppi di simmetria (SU(3)) per creare una sorta di “sistema periodico” per le particelle. •Nel 1964 Gell-Manninventò la parola “quark” per definire i costituenti fondamentali (allora ipotetici) .24
•Analogamente ai leptoni, i quarks esistono in 3 generazioni, coi rispettivi antiquarks. •Quarks liberi non sono mai stati osservati. •I quark hanno una carica di colore; il colore può assumere 3 diversi valori. •La teoria quantistica che descrive le interazioni tra quark si chiama cromodinamicaquantistica (QCD). •Ciascun quark ha uno speciale numero quantico (di sapore) che viene conservato dalle interazioni forti ed elettromagnetiche, ma non da quelle deboli. •Le particelle composte da quark si chiamano adronie sono suddivise in barioni e mesoni (pag. successiva); essi devono avere carica intera (in unità di e). •Ai barioni(antibarioni) viene assegnato un proprio numero quantico chiamato numero barionico, B=1 (B=-1), che viene sempre conservato.
quarks anti quarks
25
•Nel modello a quark, i barionisono particelle costituite da 3 quarks; ciascun quark assume un diverso colore. In tal modo il barione è “privo di colore”. •Alcuni esempi di barioni: •I mesonida una coppia di quark-antiquark. L’antiquark ha l’anticolore del quark, in modo tale da costituire di nuovo una particella “priva di colore”. •Alcuni esempi di mesoni:
26
C o me s i è sc o p er to i l n u cl eo ? L ’e sp er ime n to d i R u th er fo rd
27
28
N= numeroparticelleincidenti/cm2 s [cm-2 s-1 ] ∆N = numerodiparticellecheinteragisconocontroi centridiffusori/(cm2 s) [cm-2 s-1 ] dx= spessoredel materiale[cm] N C= numerocentridiffusore/ cm3 [cm-3 ]
∆ N = σσσσ N · N
C· d x
•E’ semplice verificare che esiste una costante di proporzionalità σσσσtale che:
[ cm
2(c m
-2s
-1) cm
-3cm ] [c m
-2s
-1]
Tale costantediproporzionalitàè la sezioned’urto.dx
2 .3 I l co n ce tt o d i S ez io n e d ’u rt o
29
2 .4 M o d el lo d i in te ra zi o n i a d ro n ic h e
Nel prosieguo del corso si studieranno alcune caratteristiche delle collisioni tra adroni. In particolare, occorrerà soffermarsi sulla produzione di risonanze, sull’andamento della sezione d’urto alle alte energie, sulla produzione di particelle e sul numero in funzione dell’energia… Per ora, impariamo cosa le sezioni d’urto possono dirci sulla dimensione dei nuclei.30
2 .5 S ez io n i d ’u rt o a d ro n ic h e U rt o p io n e- p ro to n e: σ = 2 5 m b = π r
p2r
p~ 1 f m
Domanda 2: possiamo considerare il pione a 1 GeV “puntiforme” nell’urto con targhette di deuterio e idrogeno?Zona delle “risonanze” fm
cmscms
cGeV
sGeV p
cGeVp 2
102)/(103)(106.6
)/(1
)(106.6
)/(1 151025
25 =×=⋅×⋅=
=⋅⋅ ==
= −−
− ππ
π
λ
hDomanda 1: puoi verificare che per un nucleo con A adroni ci si aspetta: rA~ 1 ×A1/3 fm E’ vero nel caso del deuterio?
31
3 . L e In te ra zi o n i F o n d a m en ta li : a n a li si p re li m in a re 3 .1 D ia g ra m m i d i F ey n m a n 3 .2 L ’i n te ra zi o n e el et tr o m a g n et ic a ( Q E D ) 3 .3 L ’i n te ra zi o n e d eb o le ( W I) 3 .4 L ’i n te ra zi o n e F o rt e
32
Nel 1940 R.Feynmansviluppò una tecnica (i diagrammi di Feynman) per rappresentare le interazioniin Fisica delle Particelle. Le principali assunzioni e convenzioni: ❖ la variabile temposcorre da sinistra a destra; ❖ La freccia diretta verso destra indica una particella, verso sinistra una antiparticella. ❖ Le particelle interagiscono emettendo o assorbendo particolariparticelle (i bosonivettoriali) in un vertice; ❖ Ad ogni vertice, la quantità di moto, il momento angolare e la caricasono conservate (ma non l’energia!). In tal caso, il processo si dice virtuale. ❖ Le particelle “mattone” sono generalmente indicate con linee continue; i bosoni vettoriali (particelle “colla”) con linee elicoidali o tratteggiate.
3 .1 D ia g ra mmi d i F ey n m a n n
❖Un processo reale ovviamente richiede la conservazione dell’energia, quindi può essere considerato una combinazione di processi virtuali. ➠ Ogni processo reale riceve contributi da ogni possibile processo virtuale.33
34
❖Il numero di vertici in un diagramma ne definisce l’ordine; ❖ A seconda del tipo di interazione, ogni vertice avviene con una probabilità proporzionale ad una grandezza adimensionalechiamata costante di accoppiamento(couplingconstant), generalmente indicata con “α”. Ci sarà quindi una “α” caratteristica di ogni interazione: elettromagnetica, forte, debole, gravitazionale. Per un processo reale, un diagramma di ordine ncontribuisce con un ordine αn alla probabilità del processo. Purchèquindi “α” sia più piccola di 1, il contributo degli ordini superiori al processo diminuisce sino a diventare trascurabile, e permettendoun calcolo dell’ampiezza di probabilità del processo fisico con una tecnicadi calcolo chiamata teoria perturbativa.
35
3 .1 L ’i n te ra zi o n e G ra v it a zi o n a le ( G ).
(3.1) (3.2) Le interazioni gravitazionali hanno effetti solo alle energie dell’ordine della massa di Plank. Per questo motivo, l’effetto delle Interazioni Gravitazionali può essere trascurato, se non nei primissimi istanti di vita dell’Universo-•La costante di accoppiamento caratteristica delle Interazioni Gravitazionali: In termini di costanti universali, possiamo costruire una grandezza che ha le dimensioni di una massa (detta massa di Planck)
36
3 .2 L ’i n te ra zi o n e el et tr o ma g n et ic a ( Q E D )
•Il parametro adimensionale proprio dell’EM α EM(costante di accoppiamento EM) è detto anche costante di struttura fine (3.3)37
C a ra tt er is ti ch e d i Q E D
•La teoria quantistica delle interazione EM: elettrodinamica quantistica(QED) •α EMè minore dell’unità. Questo, consiste di trattare i processi EMin QED tramite la teoria perturbativa. •Per ognuno di questi interviene un fattore (α EM)½ (ovvero, e) nel calcolo dell’elemento M ifdi matrice di transizione del processo considerato (cap. 4). •L’interazione EM è mediata dai fotoni(bosonivettori di massa nulla e spin=1) •Una delle proprietà più importanti di QED è la sua rinormalizzabilità. •Una seconda proprietà di QED è l’invarianzadi Gauge. L’invarianzadi Gauge in QED è una proprietà locale, che comporta la conservazione delle correnti e quindi alla conservazione della carica elettrica. •La costante α EMè stata determinata con grandissima precisione. In realtà α EM non è costante, ma aumenta logaritmicamentecon l’energia del sistema nel centro di massa. •Le interazioni EM (bremmstrahlung, creazione di coppie, Compton…) vengono descritte con stupefacente precisione dai diagrammi di Feynman.38
3 .3 L ’i n te ra zi o n e d eb o le ( W I)
•L’interazione debole è stata inizialmente studiata tramite i decadimentidi nuclei: •A livello dei costituenti ultimi della materia, le WI ha luogo tra due quark, tra due leptoni e tra un leptonee un quark. •Si assume che quarks e leptoni posseggano una carica debole. •Nel settore adronico, le WI si manifestano cambiando il saporedei quarks. •L’interazione debole è mediata da bosonivettori massivi, le W± e Z0 . •La costante adimensionale per le WI può essere calcolata a partire dalla costante di Fermi G F. Poiché questa non è adimensionale, se prendiamo come riferimento la massa del p: (3.4)39
D ia g ra m m i d i F ey n m a n n p er l e W I
•Alle basse energie, la costante di accoppiamento WI è minore di quella di QED. Scopriremo però che alle alte energie αWcresce e che a √s=90 GeVαααα
W~ αααα
QED •Le WI violano un certo numero di leggi di conservazione (cap.6) ; ciò è dovuto al fatto che i neutrini sono solo “sinistrorsi”, cioè lo spindel νè antiparallelo al suo impulso.40
3 .4 L e in te ra zi o n i F o rt i (S I)
•A livello fondamentale, la SI ha luogo solo tra quark e gluoni. •La forza fra nucleoni nei nuclei si può ritenere come una “forza residua”, in modo analogo a quanto avviene per la forza EM tra due atomi per formare una molecola. •I quark sono carichi: hanno una carica elettrica (per QED e WI)ed una “ca ri ca d i co lo re
” per le SI. •La sorgente della forza forte è la cosiddetta “carica di colore”, di cui si conoscono 3 tipi (colori):rosso, verdee blu, più i rispettivi anticolori. •La SI è mediata da 8 gluonidi massa nulla. Ciascun gluonetrasporta una carica di colore ed una di anticolore: ad esempio antiblu+rosso. •Sperimentalmente, la costante di accoppiamento per le SI:αααα
S~ 1
•Il fatto che αααα S~ 1 implica che le interazioni forti NON possono essere facilmente trattate in teoria perturbativa. Questo può essere fatto solo per alti q2 (urti a piccole distanze), quando si può mostrare che αααα S~ 0.1 (la costante di accoppiamento per SI diminuisceal crescere della scala di energia).41
Il “ p o te n zi a le ” d el le S I
•Il fatto che i gluonisiano colorati, implica che i gluonistessi siano soggetti alle SI •Il potenziale quasi-staticotra due quark, e’ di solito scritto nella forma: •Poiché αααα Sdiminuisce con la distanza (libertà asintotica), il primo termine domina alle piccole distanze (scambio di singolo gluone). •Il secondo termine da luogo ad una forza analoga a quella di un elastico; e’ connesso con l’interazione tra gluonie si manifesta con il confinamentodei quark all’interno degli adroni.(3.5) Ritorna
42
C o n fr o n to t ra le p ro p ri et à d el le In te ra zi o n i F o n d a me n ta li
43
4 . P ro b a b il it à d i tr a n si zi o n e in T eo ri a P er tu rb a ti v a : se zi o n i d ’u rt o e v it e m ed ie
44
Per calcolare la probabilitàdi transizione W, utilizziamo la Teoria Perturbativa. Consideriamo transizioni da uno stato definito ad uno stato definito, operata dall’azione di un potenziale V. La funzione d’onda della particella prima dell’interazione con V èun’autostatodell’Hamiltoniananon-perturbata H0. A t≥0, ilpotenzialeV èacceso, e la f.d’o. èespressain termini degliautostatiφn.
(4.1) (4.2) taliche:(4.3) I coefficienticnesprimonola probabilitàditransizioneverso unostatodefintito (autostato). La funzioned’ondadevesoddisfarel’equazionediSchrodinger: dove(4.4) Inserendonella(4.4) le (4.2), e facendousodel fattoche (4.5)
4 .1 L a p ro b a b il it à d i tr a n si zi o n e W
45
(4.6) Dove:(4.7) M nksichiamamatriceditransizionedallostato“n”allostato“k”, ed ha le dimensionidi unaenergia. Nellateoriaperturbativa, assumiamola perturbazione(ossia, V) piccolo in modotale checisiaun solo coefficientec tale che: La (4.6) può allora essere integrata:
Moltiplicando per il complesso coniugatoψ k*, dove k è un altro autostato dell’Hamiltonianoimperturbato Ho, ed usando le condizioni di ortonormalità(cioè lo stato< ψ k|ψ n>=0 se n ≠k):
46
Definiamola probabilitàditransizioneper unitàditempo verso tuttiglistatidi energiaEnla quantità: (4.8) L’integralenella(4.8) puòesserecalcolatocon la sostituzione: L’espressione ha un massimo a x=0, per cui in tutti i casi pratici la densità degli statipuòessereconsideratacostantee portatafuoridall’integrale; poichèpoi:
22 /sinxx otteniamo: La notazione
(4.9) rappresenta l’elemento di matrice per la transizione da uno stato iniziale “i”ad uno finale “f”; dN/dE rappresenta la densitàdegli stati finali. La (4.9) viene chiamata anche seconda regola aurea di Fermi.
(4.10)
47
4 .2 S ca tt er in g d i R u th er fo rd (I n te ra zi o n i E le tt ro m a g n et ic h e)
48
Utilizziamo la (4.9) per stimare la sezione d’urto di diffusioneRutherford, tralasciando lo spindelle particelle. Nel sistema h=c=1, la (4.9) e la (4.10): con: Per l’eq. (1.12) la sezione d’urto sarà: 2
2 3)()2/( )( q
ze dVeMi if==
∫
⋅− rrrppoL’elemento di matrice è calcolabile, conoscendo che: •le ψsono onde piane (eq. 1.4); •V è il potenziale coulombiano e2 /r; •la particella incidente ha massa m << M (massa del bersaglio); (vedi eq. 1.11), con q=|po-p|
popθ Ei=po+M= p+W= Ef
v W ≡ σ
49
33
2 33
2 )2()2(hhππΩ⋅ = ⋅Ω⋅ =dp dE
ddpp dE
dN o elastico ff Per cui:
2 2
2 3
2 2/ )2()2(
⋅
⋅Ω⋅ =≡ → q
ze c
dp v
W o cv ππ σ 2 4
222
) 4/ ( 4
op q e z d d ⋅ = Ω π σ
2sin4)cos22()2(||22 0222222ϑ ϑpppppppppq oooo=−=−+=−=rrrr2 si n 4
) 4/ ( 4
42222
ϑ π σ
op e z d d = Ω
•La “densità dello spazio delle fasi” si può calcolare, assumendo la conservazione dell’energia nel caso di urto elastico (conservazione della quantità di moto): dE = dp Il quadrato q2 dell’impulso trasferito dipende solamente dell’angolo θ con cui la particella viene deflessa:
50
pp
… in te rm in i d i d ia g ra m m i d i F ey n m a n 2 si n 4
) 4/ ( 4
42222
ϑ π σ
op e z d d = Ω
•Il diagramma di Faynmancontiene due vertici: la probabilità del processo è correttamente proporzionale ad α EM= e2 . •La caratteristica dell’interazione elettromagnetica à quella diessere mediata da un bosone(il fotone) senza massa. Ciò comporta che il range dell’interazione è infinito (vedi eq. 1.9)51
4 .3 V it a m ed ia d el le p a rt ic el le s o g g et te a ll e In te ra zi o n i D eb o li
•Nel caso del decadimento del neutrone (o del muone), abbiamo:τ / 1 = W
(in realtà, potremmo ottenere lo stesso risultato considerare ildecadimento del neutrone come una reazione del tipo:) •A differenza del caso elettromagnetico, si assume che l’interazione debole venga mediata da un bosonevettore molto massivo. La costante di accoppiamento (che chiameremo GF) è diversa da quella EM.L’interazione viene approssimata come puntiforme.In tal caso, Mifdiviene un semplice integrale sulle funzioni d’onda, complicate dal fatto che questehanno spin, e particolari proprietà di simmetria (che tralasciamo, per ora).) (
eee p e n ν ν µ ν
µ++−→ →
misuriamo:52
, assumendo |M|2 dell’ordine dell’unità. •Più complicato è il fattore di densità dello spazio delle fasi, poiché ci sono 3 particelle nello stato finale. •La presenza di 3 particelle è comune sia al caso del decadimento del neutrone che del protone •La densità dello spazio delle fasi tiene conto della conservazione di energia T p+E e+E ν=E 0ed impulso: p p+p ν+p e=0
C a lc o li a m o l a p ro b a b il it à d i tr a n si zi o n e n el ca so d eb o le :
53
Trascurando l’energia acquisita dal p di rinculo, si ha
: E
o= E
e+ E
ν,
per cui: Occorre integrare questa funzione per tutti i valori dell’impulso dell’elettrone, sino al valore massimo E0dell’energia disponibile. La cosa importante da osservare è che l’energia E0a disposizione per eed il ννννcorrisponde alla differenza tra la massa tra neutrone e protone: L’integrale non e’ di semplice soluzione. Per motivi dimensionali, dovrà essere: 305 05 0 0
2 E kE dENd →= 302/1
5 02E GW F⋅⋅==
π τ
Per il neutrone, la vita media è accuratamente misurata (t =900 s), e da questo valore possiamostimare la costante di accoppiamento di Fermi delle Interazioni deboli, per ħ=c=1: 5 02
2
3 0 E G
F⋅ ⋅ = τ π
Però: (GeV-2 )2 = (s-1 GeV-54 .4 I l ca so d el n eu tr o n e
Però: [GeV-2 ]2 = [s-1 GeV-5 ]!54
h
5 02
2
3 0 E G
F⋅ ⋅ = τ π
Soluzione: occorre moltiplicare per la costante che ha le dimensioni di Energia x tempo, cioè la costante di Plank. Poiché la vita media del neutrone è di circa 900 s
) ( 1 0 3
) ( 1 0 3. 0 ) 0 0 1 . 0( 9 0 0 2
1 0 6. 6 3 0
25412 5
25 2 −−
−−−
× ≅
× = ⋅ ⋅ ⋅ × ≈ G eV G
G eV G
FFπ
•Tuttavia, la formula precedente ha le dimensioni di: (GeV-2 )2 = (s-1 GeV-5 ). •Domanda: per quale grandezza fisica occorre moltiplicare?
55
4 .5 I l ca so d el µµµµ ) (
ee ν ν µ
µ++→
s6 102.2− ×= µτ
•Per le stesse argomentazioni del caso del neutrone, ci aspettiamo allora (a meno di un fattore moltiplicativo che compare al numeratore, chesi ottiene con un podi fatica)•Nel caso del muone, nello stato finale si hanno di nuovo 3 corpi, che si suddividono tutta l’energia a disposizione (ossia, la massa del µ=E 0= 105,6 MeV). •Se il processo è analogo a quello del decadimento del neutrone (ossia, tramite la costandedi Fermi G F) ci si aspetta una vita media piu’piccola. Infatti: 5 0
2
E G
F⋅ ℑ =
µτ
3
1 9 2 π = ℑ
251 0 1 6 6 3 7 . 1
−−× = G eV G
F56
4 .6 L a c o st a n te d i F er m i
•La costante GF(detta costante di Fermi) è caratteristica delle Interazioni Deboli. •Poiché la costante di Fermi ha le dimensioni di un inverso di energia al quadrato (nel sistema in cui ħ=c=1), per ricordarne le dimensioni la si usa talvolta esprimere in termini della massa del protone, come: •in tal modo, la costante a numeratore è adimensionale e rappresenta l’analogo della costante di struttura fine per le interazioni deboli (vedieq. (4.4)). •Si noti che è tre ordini di grandezza inferiore a α EM.2
5
1 0 0 2 7 . 1
PF
m G
−
× =
Ritorna5
1 0 0 2 7 . 1
−× =
Wα
57
5 . C a ra tt er is ti ch e g en er a li d el le In te ra zi o n i D eb o li ( W I)
58
Le caratteristiche generali delle Interazioni deboli (WI) sono le seguenti:
59
