I decadimenti radioattivi

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

I decadimenti radioattivi

Lezione 3

Radioattività naturale

•  Osservazione di Bequerel della presenza di trasmutazioni di atomi.

•  Osservazione di radiazione con energia dell’ordine del MeV di differente carica e grado di penetrazione.

–  α, nuclei di ⁴He, m=3726 MeV/c², Q=+2, p~200 MeV/c –  β, elettroni, m=0.511 MeVc², Q=-1, p~1 MeV/c –  γ, fotoni, m=0 MeVc², Q=0, p~1 MeV/c

www.treccani.it

I decadimenti radioattivi

•  I decadimenti radioattivi sono spiegabili in termini di transizioni tra una struttura nucleare meno legata ad una più legata, con rilascio di energia.

•  Studieremo alcune caratteristiche generali di questo processo:

–  condizioni perché possa avvenire spontaneamente: Q-valore –  ripartizione dell’energia tra i prodotti di decadimento

–  equazioni differenziali che descrivono la radioattività

–  condizione di equilibrio secolare per catene di decadimenti

•  Fenomenologia della radioattività naturale

Decadimenti radioattivi

Stabile β⁺

β^-

β

X→

X β

X→

X

α

X→

X

α

Energia di disintegrazione (Q-value)

•  Consideriamo un nucleo padre P che decade in due frammenti D1 e D2.

•  Per la conservazione dell’energia

–  dove T_D1 e T_D2 sono le energie cinetiche dei prodotti del decadimento.

•  Definiamo energia di disintegrazione Q come la differenze tra le masse del nucleo padre e dei frammenti:

–  Q è l’energia a disposizione come energia cinetica dei frammenti.

–  Perché il decadimento sia possibile Q>0

•  Per decadimenti α:

•  Per decadimenti β: β^- β⁺ E.C.

(cattura elettronica)

M_Pc² = M_D1c² + T_D1 + M_D2c² + T_D2

Q = M_Pc² − M_D1c² − M_D2c²

Q = M (A, Z) − M (A − 4, Z − 2) − M_α

Q = M (A, Z)c² − M (A, Z +1)c² − m_ec² Q = M (A, Z)c² − M (A, Z −1)c² − m_ec² Q = M (A, Z)c² + m_ec² − M (A, Z −1)c²

N.B:

masse nucleari

Energia cinetica in decadimenti radioattivi

•  Consideriamo il decadimento di P in quiete

–  Per semplicità usiamo un decadimento P→D+α, ma le stesse considerazioni valgono per i decadimenti β.

–  Esprimendo il comune momento in termini di T:

–  Sfruttando la relazione:

•  Poiché m_α≪m_D il nucleo si porta una frazione piccola di Q:

–  O(10^-2) per decadimenti α, O(10^-4-10^-5) per decadimenti β/γ

p_α = p_D T_α + T_D = Q

m_α² + p_α² = m_α + T_α m_α² + p_α² = m_α² + 2m_αT_α + T_α² p_α² = 2m_αT_α + T_α² p_D² = 2m_DT_D + T_D²

2m_DT_D + T_D² = 2m_αT_α + T_α²

T_α² − T_D² = T

(

) (

)

(

)

2m_DT_D + QT_D = 2m_αT_α + QT_α T_D

T_α = 2m_α + Q 2m_D + Q T_α = Q 2m_D + Q

2(m_D + m_α + Q) T_D = Q 2m_α + Q 2(m_D + m_α + Q)

Legge dei decadimenti radioattivi

•  Il tasso di decadimenti in un campione è una proprietà estensiva (proporzionale alla massa):

–  dove N=numero di atomi nel campione –  λ=costante di decadimento:

Probabilità di decadimento per unità di tempo.

•  L’andamento del numero di nuclei in campione è esponenziale:

–  La vita media di un atomo è data da:

–  Il tempo di dimezzamento:

–  Si definisce attività di una sorgente il numero di decadimenti per unità di tempo:

•  unità di misura è il Bequerel: 1 Bq =1 decadimento/s

•  storicamente usato il Curie: 1 Ci = 3.7×10¹⁰ Bq

originariamente definito come attività di 1 g di ²²⁶Ra

−dN

dt = λN

N(t) = N₀e^−λt

τ = 1 / λ τ_1/2 =τ ln 2

Γ=ħλ è un’energia detta larghezza di decadimento

ad uno stato instabile si può associare

un’incertezza sull’energia:

ΔEΔt=ħ ΔE=ħ/τ=Γ

Equilibrio nucleare

•  In molti casi ci possiamo trovare di fronte ad un aumento del numero di atomi radioattivi:

–  produzione per interazioni nucleare con raggi cosmici

•  Esempio: produzione ¹⁴C nei raggi cosmici: n+¹⁴N→¹⁴C+p –  produzione di radioisotopi ad acceleratori o reattori

•  Esempio: n+¹³⁰Tl→¹³¹Tl→¹³¹I+β^-

•  Tasso di produzione: Φn_targetσd –  decadimenti a catena

•  In tal caso l’evoluzione della popolazione segue una legge del tipo:

–  R = tasso di produzione

•  Presenta una soluzione di equilibrio N=R/λ

•  Integrando l’equazione differenziale:

dN

dt = R −λN

N(t) = R / λ + (N₀ − R /λ)e^−λt

Flusso di particelle sul bersaglio

Equazione secolare

•  Consideriamo il caso di due sostanze radioattive

–  la sostanza S₁ decade con la legge già vista –  la quantità di sostanza S₂

•  aumenta di quanto S₁ diminusce

•  diminuisce con la propria legge di decadimento

–  La sostanza 3 è stabile e pertanto

•  Per N₁ si trova ovviamente la soluzione che

avevamo trovato nel caso di una singola sostanza

•  Per N₂ scriviamo la soluzione come

•  La condizione iniziale per N₂ dà

•  Introducendo N₂ in (1)

N₁( )t ^{= N}01e^−λ1t

A₂₁ + A₂₂ = N₀₂ ( )2 N₂( )t ^{= A}21e^−λ1t + A₂₂e^−λ2t

−λ₁A₂₁e^−λ1t −λ₂A₂₂e^−λ2t = λ₁N₀₁e^−λ1t −λ₂A₂₁e^−λ1t −λ₂A₂₂e^−λ2t dN₁

dt = −λ₁N₁

S₁ → S₂ → S₃ dN₁

dt = −λ₁N₁ dN₂

dt = λ₁N₁

"

#$$

%

$$

dN₁

dt = −λ₁N₁ dN₂

dt = λ₁N₁ −λ₂N₂ ( )1

"

#$$

%

$$

dN₁

dt = −λ₁N₁ dN₂

dt = λ₁N₁ −λ₂N₂ ( )1 dN₃

dt = λ₂N₂

"

#

$$

$

%

$$

$

Equazione secolare

•  si riduce a

•  Per trovare A₂₂ introduciamo questo risultato in (2)

•  Pertanto la soluzione per N₂ è

−λ₁A₂₁ +λ₂A₂₁ = λ₁N₀₁

−λ₁^A₂₁^e−λ1t = λ₁^N₀₁^e−λ1t −λ₂^A₂₁^e−λ1t A₂₁ = λ₁

λ₂ − λ₁ ^N01

A₂₂ = N02 − A21

N₂( )t ^{= λ1}

λ₂ −λ₁ ^{N01 e}

−λ₁t

− e^−λ2t

( )

A₂₂ = N₀₂ − λ₁

λ₂ −λ₁ ^N01

−λ₁^A₂₁^e−λ1t − λ₂^A₂₂^e−λ2t = λ₁^N₀₁^e−λ1t −λ₂^A₂₁^e−λ1t − λ₂^A₂₂^e−λ2t

A₂₁+ A22 = N02 ( )2

dN₃

dt = λ₂N₂

N₃( )t ⁼

∫

Equazione secolare

•  Un altro caso molto interessante si ha quando le costanti di decadimento delle due sostanze sono molto diverse

•  supponiamo λ₂ >> λ₁ (τ₁ >> τ₂)

–  si giunge “rapidamente” alla condizione

–  l’andamento temporale della sostanza 2 diventa

•  Vediamo pertanto che per tempi t ≫ τ₂=1/λ₂ l’attività

della sostanza 2 segue la stessa evoluzione temporale della sostanza 1

•  Per la sostanza 3 otteniamo

N₂( )t ^{= λ1}

λ₂ − λ₁ ^{N01 e}

−λ₁t

− e^−λ2t

( )

e^−λ2t ~ 0

N₂

( )

λ₂ N₀₁e^−λ1t

N₃( )t ^{= λ}2

∫

∫

(

)

Equilibrio secolare

•  Un caso particolarmente rilevante è quello delle catene di decadimento:

•  L’equazione differenziale diventa:

•  Se per tempi

si instaura una condizione di equilibrio:

•  Le attività degli anelli della catena sono uguali

•  La popolazione è proporzionale alle vite medie

N₁ → N₂ → N₃→ N₄ →…

dN₁

dt = −λ₁^N₁ dN₂

dt = λ₁N₁ −λ₂N₂ dN₃

dt = λ₂^N₂ −λ₃^N₃ dN₄

dt = λ₃^N₃ −λ₄^N₄

λ₁<<λ₂^,λ₃^,λ₄,… τ₂^,τ₃^,τ₄^,… << t <<τ₁ λ₁^N₁ =λ₂^N₂ =λ₃^N₃ =λ₄^N₄ =…

wikipedia

Radioattività naturale

•  La radioattività naturale è dovuta a nuclei con vite medie dell’ordine della vita del sistema solare ~4.5×10⁹ yr

•  Catene α+β

•  ΔA=4 in decadimenti α,

•  risultanti in nuclei ricchi di neutroni che decadono β^-

–  A=4n, ²³²Th, τ_1/2=1.39×10¹⁰ yr →²⁰⁸Pb –  A=4n+1, ²³⁷Np, τ_1/2=2.2×10⁶ yr →²⁰⁹Bi –  A=4n+2, ²³⁸U, τ_1/2=4.5×10⁹ yr →²¹⁰Pb –  A=4n+3, ²³⁵U, τ_1/2=7.15×10⁸ yr →²⁰⁷Pb

•  Altri nuclei a lunga vita media:

–  ⁴⁰K→⁴⁰Ca+β-, τ_1/2=1.3×10⁹ yr –  ⁸⁷Rb→⁸⁷Sr+β^-, τ_1/2=4.7×10¹⁰ yr

–  ¹¹⁵In→¹¹⁵Sn+β^-, τ_1/2=4.4×10¹⁴ yr –  ¹⁷⁶Lu→¹⁷⁶Hf+β^-, τ_1/2=3.8×10¹⁰ yr –  ¹⁸⁷Rb→¹¹⁵Re+β^-, τ_1/2=4.3×10¹⁰ yr

Radioattività naturale

wikipedia

4n 4n+2 4n+3

Statistica di conteggio

•  Nel trattamento fin quì fatto abbiamo considerato N(t) una funzione continua

–  Dal momento che il numero di nuclei considerati è usualmente molto elevato l’approssimazione risulta adeguata

–  Per descrivere correttamente le fluttuazioni negli esperimenti di conteggio occorre tenere conto esplicitamente della natura discreta di N

•  Consideriamo N nuclei radioattivi caratterizzati dalla costante di decadimento λ

•  In un intervallo di tempo Δt la probabilità di decadimento di un nucleo particolare è

•  La probabilità che k nuclei qualsiasi decadano è data dalla distribuzione binomiale

p = λΔt

P N, k( ) ^{= k}

N

!

"

# $

%& p^k(1 − p)^{N −k}

N(t)

t

dN

dt = −λN

k N

!

"

# $

%& = N N −1( )^{… N − k +1}( ) k!

Distribuzione binomiale

•  Cerchiamo adesso una formula approssimata per P(N,k) nel caso

–  N ≫ 1 –  p ≪ 1 –  k ~ pN

•  Troviamo un’approssimazione per il coefficiente binomiale

•  dato che p ≪ 1 possiamo scrivere

P N, k( ) ^{= k}

N

!

"

# $

%& p^k(1 − p)^{N −k} 0.20 0.15

0.05 0.10

0.00

0 10 20 30 40 50 60 70

N = 20 p = 0.5 N = 100 p = 0.5 N = 100 p = 0.3

k

P(N,k)

P N, k( ) ^{= N!}

k! N − k( )^!p

k(1 − p)^{N −k}

k N

!

"

# $

%& = N N −1( )^{… N − k +1}( )

k volte (N −k)≈N

!####"####$

k! ≈ N^k

k!

1 − p

( )

(

)

1 − p ≈ e^{− p}

Np ~ k p ≪ 1 kp ≪ Np

Distribuzione di Poisson

•  Mettendo insieme i termini che abbiamo calcolato

•  Se infine definiamo

otteniamo la distribuzione di Poisson

•  È la probabilità di osservare k deca- dimentiquando il numero medio di decadimenti è

•  Consideriamo un nucleo con una costante di decadimento λ

•  Misuriamo con un rivelatore il numero di decadimenti nell’intervallo Δt

P N, k( ) ^{= N}

k

k! p^ke^−Np P n, k( ) ^{= n}

k

k! e⁻ⁿ

n = pN = NλΔt P N, k( ) ^{= N!}

k! N − k( )^!p

k(1 − p)^{N −k}

≈ N^k k!

≈ e^−Np

= (Np)^k

k! e^−Np

n = pN

n

14 1

0 nn

n

=

==

Distribuzione temporale

•  La formulazione che abbiamo appena visto è la stessa che si utilizza per descrivere la probabilità di registrare k eventi

–  distribuiti casualmente –  con probabilità uniforme

–  in un intervallo temporale Δt = t₂ – t₁

•  Se si hanno N eventi in un intervallo 0 – T abbastanza lungo

•  la probabilità di osservarne k nell’intervallo t₁ – t₂

•  Distribuzione temporale:

–  Probabilità di osservare un intervallo t tra due decadimenti

–  è data dalla probabilità di osservare 0 decadimenti nell’intervallo t₁ – t₂ –  moltiplicata per la probabilità di decadimento nell’istante dt successivo

0 T

t₁ t₂

p = t₂ − t₁ T

P n, k( ) ^{= n}

k

k!e⁻ⁿ

n = λt P n, 0( ) ^{= n}

0

0! e⁻ⁿ = e⁻ⁿ

t₁ t t₂

λ = N T

P t( )^{dt = e−n (t)}(^λdt) ^{= e−λtλdt}

Tasso di

decadimento Probabilità

dell’intervallo Eventi attesi n = pN = λ(t₂ − t₁)

Esempio: datazione con

C

•  Il ¹⁴C viene prodotto da raggi cosmici: n+¹⁴N→¹⁴C+p

–  Si lega con l’ossigeno atmosferico per dare CO₂ che viene metabolizzata dalla vegetazione e dagli animali che se ne nutrono

•  ¹⁴C→¹⁴N+β^-, τ_1/2=5700 yr

–  All’equilibrio 1 g di C ha un’attività 15 decadimenti/minuto (A₀=0.25 Bq/g) –  Il ¹⁴C esce dall’equilibrio al momento della morte dell’organismo

•  Supponiamo di misurare, in una massa m di C, N decadimenti in un tempo T: come stimiamo l’età del campione e con che incertezza?

–  Il valore attuale dell’attività A è dato da:

–  La dipenza di A(t) dal tempo è:

–  Da cui si ricava:

–  Poiché N(t)=A(t)T, l’incertezza aumenta con il tempo e A(t) = mA₀e^−λt

t = −1 λ^ln

A(t)

mA₀ = −τ_1/2

ln 2ln A(t) mA₀

A(t) = N / T ± N / T

σ_t = d

dA −1 λ ^ln

A(t) mA₀

!

"

# $

%& σ_A = τ_1/2 ln 2

σ_A

A(t) = τ_1/2 ln 2

1 N

σ_t

t = − 1

A(t)T ln A(t) / mA( ₀) ⁼

e^λt/2

mA₀Tλt Variazione troppo piccola Attività troppo ridotta

ESERCIZI

Esercizio 3.1

•  Approssimativamente 1 g di C ha

un’attività di 0.25 Bq dovuta alla presenza di

C, isotopo radioattivo con tempo di dimezzamento di 5730 anni:

–  stimare quanti atomi di ¹⁴C contiene –  se 1 g di C estratto da un reperto egizio

presenta un’attività di 4×10^-12 Ci, datare il reperto egizio.

–  Che incertezza si ottiene se la misura di attività dura 1 h?

Esercizio 3.2

•  L’abbondanza naturale di

U è dello 0.7% di

U.

•  Assumendo che i processi di nucleosintesi producano approssimativamente le stesse quantità di

U e

U, quanto è “vecchio” l’uranio presente sulla terra?

•  Si ricordino i dati delle due catene della radioattività naturale:

–  A=4n+2, ²³⁸U, τ_1/2=4.5×10⁹ yr –  A=4n+3, ²³⁵U, τ_1/2=7.15×10⁸ yr