Esercizio 8.1. Nell’insieme Q dei numeri razionali si consideri l’operazione binaria ? definita ponendo a ? b = a + b − 4ab.

8. STRUTTURE ALGEBRICHE

Esercizio 8.1. Nell’insieme Q dei numeri razionali si consideri l’operazione binaria ? definita ponendo a ? b = a + b − 4ab.

• Si dimostri che la struttura algebrica (Q, ?) `e un monoide commutativo.

• Si determinino tutti gli elementi invertibili del monoide (Q, ?).

• Si stabilisca se l’insieme 2Z `e un sottomonoide di (Q, ?).

Esercizio 8.2. Nell’insieme N

si consideri l’operazione binaria ? definita ponendo

a ? b =

( a se a ∈ N

b se a ∈ N

per ogni a, b ∈ N

.

• Si dimostri che la struttura algebrica (N

, ?) ` e un semigruppo.

• Si stabilisca se l’operazione ? ` e commutativa.

• Si dimostri che la struttura algebrica (N

, ?) non ` e un monoide.

Esercizio 8.3. Si consideri il monoide moltiplicativo A = Z

, e sia U il gruppo degli elementi invertibili di A.

• Si compili la tabella moltiplicativa di U .

• Si determini un sottogruppo di ordine 2 di U .

Esercizio 8.4. Nell’insieme Q dei numeri razionali si consideri l’operazione binaria ⊥ definita ponendo a ⊥ b = a + b + |ab|.

• Si dimostri che la struttura algebrica (Q, ?) `e commutativa, non associativa, e dotata di elemento neutro.

• Nella struttura algebrica (Q, ?) si individui un elemento non simmetrizzabile, un elemento che possiede un unico simmetrico, e un elemento che possiede due simmetrici.

Esercizio 8.5. Si consideri l’insieme

G = {A ∈ M

(Z

) : |A| 6= 0} .

Si dimostri che (G, ·) ` e un gruppo non abeliano, dove l’operazione interna · ` e l’usuale prodotto righe per colonne tra matrici.

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