1. Stabilire se il seguente sistema lineare ` e compatibile ed in caso affermativo determinarne l’insieme delle soluzioni

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

Esami di profitto di Calcolo 2 - A. A. 2005-06 21 giugno 2006

1. Stabilire se il seguente sistema lineare ` e compatibile ed in caso affermativo determinarne l’insieme delle soluzioni







x + y − z + t − 1 = 0 2x + 3y + z − t = 0 x − y + 2z − 2 = 0.

2. Determinare le radici seste del numero complesso z = 2 √ 3 + 2i.

3. Stabilire se l’insieme Ω = (x, y) ∈ R ² : x ∈ [1, 2], arctan x ≤ y ≤ x ² arctan x

`

e misurabile secondo Peano-Jordan ed in caso affermativo determinarne la misura.

4. Individuare tra le seguenti funzioni definite su R ² l’unica differenziabile in (0, 0)

(a)







x

y

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

; (b)



 

 

sin  _xy

x

+y



se x ³ + y ³ 6= 0 0 se x ³ + y ³ = 0

;

(c) sin( p

x ² + y ² ) ; (d)



 

 

x

y

√

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

.

5. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy:



 

 



 

 



y ⁰⁰ − 3y ⁰ + 2y = e ^3x y(0) = 1

y ⁰ (0) = 1

6. Individuare i punti dell’insieme S = {(x, y) ∈ R ² : x ² − 2x + y ² − 3y + ⁹ ₄ = 0}

che hanno, rispettivamente, distanza massima e distanza minima dal punto (0, 0).

n.b. l’insieme S ` e un compatto di R ²