Facolt`a di Agraria

Facolt`a di Agraria

Prova scritta di Matematica del 05/12/2002 A.A. 2002-2003

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli di cui ` e composto l’elaborato. Chi avesse partecipato alla prova informale del 28/11/2002 pu` o decidere se conservare quello gi` a fatto (con la corrispondente valutazione) barrando la relativa casella, oppure rifarlo.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Risolvere la disequazione log |2x − 9| < 0

]4, 5[\{9/2}

2. Data la funzione

f (x) = 11 − 2x x ² + 2x + 31 1. determinarne il dominio;

2. calcolarne gli eventuali limiti all’infinito;

3. determinare in quali intervalli la funzione `e crescente e in quali decrescente;

4. determinare le coordinate del punto di inter- sezione tra il grafico di f e l’asse x e scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f in tale punto;

5. disegnare un grafico approssimativo di f e della retta tangente precedentemente individuata.

1. R 2. lim

x→+∞ f (x) = lim

x→−∞ f (x) = 0 3. f ⁰ (x) = 2 x ² − 11x − 42

(x ² + 2x + 31) ² E crescente in ` ] − ∞, −3] e in [14, +∞]. ` E decrescente in [−3, 14].

4. (11/2, 0). y = − 8

289 (x − 11 2 ).

5.

x y

-3 11/2

14

2 Matematica, 05/12/2002

3. Si consideri la funzione f : R → f (R) con legge

f (x) =

½ 1 + ax ² se x ≤ 0 1 + x ³ se x > 0 dove a `e un parametro reale.

1. Dire per quali valori di a la funzione `e invertibile;

2. dire se per a = −2 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;

3. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione `e continua in ogni punto;

4. determinare per quali valori di a, se ne esistono, f `e derivabile in ogni punto.

1. a < 0

2. per a = −2 `e invertibile. f ⁻¹ : R → R con legge

f ⁻¹ (y) = ( √

y − 1 se y > 1

− q 1−y

2 se y ≤ 1 3. a ∈ R

4. a ∈ R

4. Dato il problema di Cauchy

 



y ⁰ = 4 y ³ y(0) = 1, 1. dire se la funzione y(t) = √

t + 1 `e una soluzione del problema;

2. determinare una soluzione del problema di Cauchy, nel caso in cui non lo sia gi`a la funzione di cui al punto precedente.

1. no 2. y(t) = 2

r t + 1

16 = √

16t + 1

5. Data la retta r di equazione x = 3

1. determinare l’equazione della retta perpendi- colare a r e passante per il punto di coordinate (1, 1) ;

2. determinare l’equazione dell’ellisse con centro in (1, 1) e tangente alla retta r e all’asse x;

3. rappresentare graficamente le due rette e l’ellisse su di uno stesso diagramma cartesiano.

1. y = 1 2. (x − 1) ²

4 + (y − 1) ² = 1 3.

y

1 1

3 x

3

Svolgimento completo

1

Osserviamo anzitutto che, affinch`e la funzione a primo membro abba senso occorre che

|2x − 9| 6= 0 ⇐⇒ x 6= 9 2 . La disequazione `e equivalente a

|2x − 9| < 1 ⇐⇒ −1 < 2x − 9 < 1 ⇐⇒ 8 < 2x < 10 ⇐⇒ 4 < x < 5 quindi l’insieme delle soluzioni `e S =]4, 5[\{9/2}.

2

1. Si osserva che il denominatore non si annulla mai, perch´e x ² + 2x + 31 = (x + 1) ² + 30 quindi il dominio di f `e tutto R.

2.

Raccogliendo x a numeratore e denominatore si scopre che

x→+∞ lim f (x) = lim

x→−∞ f (x) = 0

3. Calcoliamo la derivata di f utilizzando la formula di derivazione del quoziente. Si ha

f ⁰ (x) = −2(x ² + 2x + 31) − (11 − 2x)(2x + 2)

(x ² + 2x + 31) ² = 2 x ² − 11x − 42 (x ² + 2x + 31) ² e quindi

f ⁰ (x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈] − ∞, −3] ∪ [14, +∞[

quindi f risulta crescente in ] − ∞, −3] e in [14, +∞[ mentre `e decrescente in [−3, 14].

4. (11/2, 0). y = − 8

289 (x − 11 2 ).

5. Un grafico approssimativo di f `e il seguente.

x y

-3 11/2

14

3

1. Conviene distinguere alcuni casi (vedi figura):

4 Matematica, 05/12/2002

y

x a>0

a=0 a<0

1

Come si vede, la funzione risulta iniettiva, e quindi invertibile, per ogni a < 0.

2. Per a = −2 la funzione `e invertibile. Per determinare la legge della funzione inversa occorre risolvere le equazioni

y = 1 + x ³ per x > 0 e

y = −2x ² + 1 per x ≤ 0.

Avendosi

y = 1 + x ³ per x > 0 ⇐⇒ x = √

y − 1 per p

y − 1 > 0 ⇐⇒ x = p

y − 1 per y > 1 e

y = −2x ² + 1 per x ≤ 0 ⇐⇒ x ² = 1 − y

2 per x ≤ 0 ⇐⇒ x = − 1 − y

2 per y ≤ 1 allora f ⁻¹ : R → R con legge

f ⁻¹ (y) =

½ √

y − 1 se y > 1

1−y

2 se y ≤ 1

3. Per come `e definita, la funzione `e continua per ogni x 6= 0 qualunque sia a. Per decidere per quali valori di a risulta continua anche nel punto x = 0 occorre calcolare (se esiste) il lim

x→0 f (x) e confrontarlo con f (0).

Poich´e

x→0 lim

f (x) = lim

x→0

1 + x ³ = 1 mentre

x→0 lim

f (x) = lim

x→0

ax ² + 1 = 1 ∀ a ∈ R,

allora il limite per x → 0 esiste ed `e uguale a 1 = f (1) per ogni a ∈ R e pertanto f `e continua in tutti i punti di R qualunque sia a ∈ R.

4. Per come `e definita, la funzione `e derivabile per ogni x 6= 0 con derivata

f ⁰ (x) =

( 3x ² se x > 0

2ax se x < 0 e si ha

x→0 lim

f ⁰ (x) = lim

x→0

2ax = 0 ∀ a ∈ R, mentre

x→0 lim

f ⁰ (x) = lim

x→0

3x ² = 0,

pertanto f `e derivabile anche nel punto 0 e quindi in tutti i punti di R qualunque sia a ∈ R.