Energia cinetica e lavoro

Energia cinetica e lavoro

Consideriamo un oggetto puntiforme di massa m che si muove lungo l’asse x, soggetto ad una forza F~ costante che forma un angolo φ con l’asse x^{. Per la} 2^a legge di Newton l’oggetto si sposta lungo l’asse x ^con un’accelerazione costante a = F_x/m^{, con} F_x = F cos φ^.

m φ

v

v

F ~

x d

Se la forza agisce sull’oggetto per uno tratto d, la velocit`a dell’oggetto cambia da un valore iniziale v₀ ^{a un} valore finale v.

Moto uniformemente accelerato:

v² − v₀² = 2ad ⇒

1

2mv² − ¹₂mv₀² = mad = Fxd (∗) energia cinetica di un oggetto di massa m, velocit`a v:

K ≡

mv

F_xd `e detto lavoro compiuto dalla forza costante F sull’oggetto:

W = F_xd = ~F · ~d = F d cos φ per forze costanti

(*) si legge: la differenza tra l’energia cinetica finale e quella iniziale dell’oggetto `e pari al lavoro W compiuto dalla forza F sull’oggetto:

∆K = K − K = W

Il lavoro `e una grandezza fisica che esprime come l’energia venga trasferita a un corpo tramite l’applicazione di una forza

W = ~F · ~s = F s cos φ = F_ks = F s_k

✷ E diverso da zero se l’oggetto si sposta (` ~s 6= 0^).

✷ E diverso da zero se la componente della forza lungo lo spostamento `` e diversa da zero (F_k 6= 0^).

✷ Il lavoro pu`o essere sia positivo (φ < π/2) che negativo (φ > π/2^):

se W > 0 l’energia cinetica finale `e maggiore di quella iniziale.

θ

P~ f~k

x

N~

h

y Es: un corpo scende lungo un piano inclinato di un tratto s:

il lavoro di N~ ^{`e nullo (}φ = π/2^);

il lavoro di P~ ^`e positivo:

P_k = mg sin θ → W = mgs sin θ > 0; il lavoro di f~k `e negativo (φ = π^):

W = −f_ks

Lavoro e energia cinetica sono grandezze omogenee ed hanno le stesse dimensioni

[^Lavoro] = [F L] = [M LT⁻²L] = [M L²T⁻²] = [M v²]

Nel SI l’unit`a di misura del lavoro `e il Joule (j) 1^joule = 1^newton× 1^metro

Lavoro di una forza variabile

Caso unidimensionale: l’oggetto su muove lungo l’asse x sotto l’azione di una forza variabile F (x) = F~ _xˆi + ~F_⊥: solo la componente F_x della forza compie lavoro.

Suddividiamo lo spostamento x_f − x_i ⁱⁿ N ^intervalli δx, abbastanza piccoli da poter ipotizzare la forza costante in ciascun intervallo.

F

(x)

x F

δx

i-esimo

x

x

intervallo

F_xi = valor medio della forza F_x nell’intervallo i-esimo

Il lavoro δW_i fatto dalla forza in questo intervallo `e

δWi = Fxiδx

Il lavoro totale si ottiene som- mando su tutti i contributi

W =

N

X

i=1

δW_i =

N

X

i=1

F_xiδx Nel limite in cui facciamo tendere a zero δx ^{si trova:}

W = lim

N

XF_xiδx =

Z _xf

F_x(x)dx = area sottesa da F_x(x)

Lavoro forza variabile in 3dim

Pi`u in generale, quando l’oggetto si muove lungo una linea arbitraria γ <sup>e</sup> la forza F~ `e variabile sia in modulo che in direzione, il lavoro elementare δW compiuto dalla forza durante lo spostamento infinitesimo ds~ ^`e

x

y z

ds ~ F ~

γ

θ

ds ~ F ~

θ

O A

B

δW = ~F · ~ds = F ds cos θ

dove ds~ `e il vettore tangente alla traiettoria, di intensit`a pari all’elemento di linea e verso uguale a quello del moto. Il lavoro totale

`e l’integrale di linea da A ^a B ^{e in} generale dipende da γ

W =

γ

Z _B

A

F cos θds In coordinate cartesiane:

F = F~ _xˆi + F_yˆj + F_zk ,ˆ ds = dxˆi + dyˆ~ j + dzˆk , F · ~~ ds = F_xdx + F_ydy + F_zdz W =

γ

Z _B

A

(F_xdx + F_ydy + F_zdz)

in pratica si suddivide la traiettoria in tanti elementi ds~ , si esegue il prodotto scalare tra ds~ ^{e la forza} F~ e si sommano tutti i contributi cos`ı ottenuti.

Se la traiettoria `e una retta si ritrova l’espressione del caso unidimensionale W = ^R_x^xf

i Fxdx e se la forza `e costante si ritrova l’espressione di partenza W = F_xd ^con d = x_f − x_i^.

Esempio: lavoro della forza peso: P~ `e costante, quindi W_AB = m~g · ~d

x B

~ h P

~ A ds P~

A

B

a) y b)

θ

caso a) l’oggetto cade lungo la verticale: d~ e P~ sono paralleli (| ~d| = h):

WAB = mgh ^.

caso b) l’oggetto cade lungo il piano inclinato: | ~d| = h/ sin θ e la proiezione di P~ lungo lo spostamento `e P_k = mg sin θ

W_AB = P_k| ~d| = mg sin θ h

sin θ = mgh

Se non ci sono forze d’attrito nei due casi l’unica forza che compie lavoro `e la forza peso: stesso lavoro implica stessa variazione dell’energia cinetica, infatti la velocit`a in B di m lasciata cadere da A `e la stessa nei due casi.

z z_i

z_f

P~ P~

~r_i

~r_f γ1

γ²

E un risultato generale:` il lavoro della forza peso non dipende dalla traiettoria dell’oggetto ma solo dalla variazione di quota:

W_peso =

γ₁

Z f i

P · ~~ ds = m~g

γ₁

Z f i

ds~

= m~g · ( ~rf − ~ri) = −mg(zf − zi)

=

γ₂

Z _f

i

P · ~~ ds

Se: z_f > z_i → W_peso < 0 Se: zf < zi → Wpeso > 0

Esempio: lavoro della forza d’attrito dinamico f_k = µ_kN (l’attrito statico non compie lavoro perich`e l’oggetto `e fermo!)

B

h A

A B θ

P~ f~k ~v

f~k

P~ N~

N~

~v

a) b)

x

x

la forza di attrito dinamico ha la direzione dello spostamento ma verso opposto (θ = π)^: il lavoro della forza di attrito `e sempre negativo.

caso a) moto lungo il piano orizzontale: N = mg → il lavoro della forza d’attrito quando m si sposta da A a B `e W_AB = −µ_kmg(x_B − x_A)

caso b) moto lungo un piano inclinato: N = mg cos θ → W_AB = −µ_kmg cos θ (x_B − x_A).

A parit`a di spostamento, il lavoro `e tanto minore, in modulo, tanto pi`u il piano `e inclinato.

Lavoro della forza elastica: molla con un estremo fisso e l’altro libero a cui

`e attaccato un blocco; x = 0 `e la posizione di equilibrio (molla a riposo).

Se la molla `e allungata (accorciata) di un tratto x > 0 (x < 0) essa esercita sul blocco una forza di richiamo (diretta verso la posizione di equilibrio):

F = −kx legge di Hooke, (k ^`e la costante della molla)

x x

F~

O O

F~

x O x

La forza della molla non `e costante: il modulo `e proporzionale all’allungamento (o accorciamento) della molla.

Se la posizione iniziale del blocco `e x<sub>i</sub> e quella finale x<sub>f</sub>, il lavoro fatto dalla molla sul blocco `e

W =

Z xf

xi

(−kx) dx = −¹₂k^x²_f − x²_i^

W ^{`</sup>e negativo se |x<sub>f</sub>| > |x<sub>i</sub>|<sup>, cio`}e quando il blocco si allontana dalla posizione di riposo sia nell’allungamento che nella compressione della molla.

F = −kx

x_i x x_f

xi

⇒

allungamento W < 0

⇐

compressione W < 0

W < 0 W < 0

O

W = −¹₂k^x²_f − x²_i^ se |x_f| > |x_i|: W < 0

il blocco si allontana dalla posizione di riposo

se x_i = 0, x_f = x (allungamento o compressione con inizio in O): W = −¹₂kx² F = −kx

x_f = x x

⇒

allungamento W = −¹₂kx²

W < 0 x_i = O

F = −kx

x xf = −x

⇐

compressione W < 0

xi = O

W = −¹₂kx²

se xi = −x^, xf = x^: (movimento simmetrico rispetto a O^): W = 0 F = −kx

x x_i = −x

xf = x W < 0 W > 0

O

Se spostiamo il blocco lungo l’asse x applicandogli una forza F~_a^{, questa} forza compie un lavoro W_a mentre la forza di richiamo della molla compie un lavoro Wm. Il lavoro totale fatto dalla risultante F + ~~ Fa `e uguale alla variazione di energia cinetica del blocco

∆K = K_f − K_i = W_a + W_m

Se il blocco prima e dopo lo spostamento `e a riposo, Kf = Ki = 0 ^e W_a = −W_m

In particolare il lavoro fatto dalla forza applicata per allungare (o comprimere) di un tratto x una molla inizialmente a riposo `e

W_a = ¹₂kx² > 0

Teorema dell’energia cinetica per una forza variabile

Consideriamo un corpo di massa m che si muove lungo l’asse x ^{e su cui} agisce una forza variabile F (x) diretta lungo l’asse. Il lavoro svolto sul corpo dalla forza F mentre si muove da una posizione iniziale xi a una posizione finale x_f ^{`e dato da}

W =

Z xf

xi

F (x)dx

per la 2^a legge della dinamica F = ma = m^dv_dt = m_dx^dvdx_dt W =

Z xf

xi

mdv dx

dx

dt dx = Z vf

vi

mvdv = ¹₂mv_f² − ¹₂mv_i²

= K_f − K_i = ∆K

Il lavoro fatto dalle forze che agiscono su un corpo `e uguale alla variazione della sua energia cinetica.

E un risultato generale, vale anche quando l’oggetto si muove nello spazio` WAB = ∆K = KB − KA teorema dell’energia cinetica

Potenza

Interessa la rapidit`a con cui viene svolto un lavoro:

se un lavoro W <sup>`</sup>e svolto da un forza in un intervallo di tempo ∆t, si definisce potenza media riferita a quell’intervallo di tempo la quantit`a

P =¯ W

∆t La potenza istantanea (o potenza)

P = dW dt

`e la rapidit`a con cui viene svolto un lavoro (o si trasferisce energia).

La potenza `e il lavoro fatto nell’unit`a di tempo.

Nel SI l’unit`a di misura della potenza `e il watt: 1watt = 1joule/1sec

(Attenzione: il kilowattora `e una misura di lavoro, infatti `e il lavoro fatto da una data forza in un’ora.)

Nel caso di un corpo che si muove sotto l’azione di una forza costante F P = dW

dt = F · ~~ ds

dt = ~F · ds~

dt = ~F · ~v

dove ~v <sup>`</sup>e la velocit`a del corpo. La potenza `e una grandezza scalare.

apriamo una parentesi... dall’analisi sappiamo che data una funzione f (x) chiamiamo differenziale df la variazione della funzione tra i punti x ^e x + dx^:

x x f(x)

f(x + dx)

x+ dx

df = f (x + dx) − f (x) θ

dx f(x)

a meno di infinitesimi di ordine superiore

df = dx tan θ ma tan θ = f^′(x) ⇒

df = f^′(x)dx

x

y f(x, y)

ds~ = (dx, dy) f

f + df

P Q

Questo si generalizza al caso di una funzione a pi`u variabili, per esempio f (x, y)^.

Passando dal punto P = (x, y) al punto Q = (x + dx, y + dy) la variazione di f ^{`e data} dalla somma delle variazioni rispetto alle due coordinate

df =

∂f

∂x



dx +

∂f

∂y

 dy

dove 

∂f

∂x

 `e calcolata tenendo fisso y <sup>e ∂f</sup><sub>∂y</sub><sup> `</sup>e calcolata tenendo fisso x ^(si usa il simbolo ∂ per indicare che si sta facendo la derivata parziale della funzione rispetto a una delle variabili, tenendo costanti le altre).

Es.: f (x) = 3x⁵ − 4x² → f^′(x) = 15x⁴ − 8x → df = (15x⁴ − 8x)dx Esempio: f (x, y) = 3x² + 4y³ + 5xy

∂f

∂x = 6x + 5y ∂f

∂y = 12y² + 5x → df = (6x + 5y)dx + (12y² + 5x)dy L’integrale del differenziale di una funzione tra i punti A e B

x A

B

2 1

y

1

Z _B

A

df = f (B) − f (A) =

2

Z _B

A

df indipendente dal percorso seguito.

In particolare se A = B, cio`e l’integrale `e lungo una linea chiusa, I

df = f (A) − f (A) = 0 integrale lungo una linea chiusa

Forze conservative

Una forza si dice conservativa quando il lavoro che fa per spostare un punto materiale da A a B non dipende dal percorso, ma solo dalla posizione finale e da quella iniziale

x A

B

2 1

y

W_AB = Z B

A

F · ~~ ds

W_AB(lungo1) = W_{AB(lungo 2)}

x A

B

2 1

y

Questo implica che se F~ `e conservativa, il lavoro fatto per spostare il punto lungo una linea chiusa `e nullo

W_{AB(lungo 1)} = −W_{BA(lungo 2)} W_AB(lungo1) + W_{BA(lungo 2)} = 0

Vale anche il viceversa: quando il lavoro fatto da una forza per spostare un oggetto lungo una linea chiusa `e nullo, la forza `e conservativa.

Da quanto detto sui differenziali, se la forza `e conservativa F · ~~ ds deve essere il differenziale di una funzione

F · ~~ ds = −dU la funzione U ^{`e detta} energia potenziale

se la forza `e conservativa il lavoro che essa compie tra A e B `e uguale a meno la variazione dell’energia potenziale:

W_AB = Z _B

A

F · ~~ ds = − Z _B

A

dU = − (U (B) − U (A))

Esempi di forze conservative

✰ Forza peso: P = m~~ g

A A

B C

θ

1) 2)

y yA

yB

B

W_AB⁽¹⁾ = Z B

A

m~g · ~ds =

Z yB

yA

mgdy = mg(y_B − y_A)

W_AB⁽²⁾ = L_AC + L_CB = L_AC = Z C

A

mg sin θ dx

= mg sin θd = mg(y_B − y_A)

(d `e la lunghezza del tratto inclinato).

Il lavoro della forza peso lungo i due percorsi `e lo stesso (`e vero per qualsiasi percorso): quindi la forza peso `e una forza conservativa.

✰ Forza elastica F = −k~~ x

x x

O A B O A B C

Calcoliamo il lavoro fatto dalla forza elastica nei due casi. Nel primo caso l’oggetto viene spostato da A a B e il lavoro della molla `e

W_AB = Z B

A

F · ~~ ds = −

Z xB

xA

kxdx = 1

2kx²_A − 1 2kx²_B

Nel secondo caso l’oggetto viene spostato da A a C e poi da C a B e il lavoro totale `e

W_AB = W_AC + W_CB







WAC = −^R_x^xC

A kxdx = ¹₂kx²_A − ¹₂kx²_C W_CB = −^R_x^xB

C kxdx = ¹₂kx²_C − ¹₂kx²_B → W_AB = 1

2kx²_A − 1

2kx²_B

il lavoro della forza elastica non dipende dal percorso, ma solo dagli estremi, quindi la forza elastica `e conservativa.

Energia potenziale

Data una forza conservativa F~ l’energia potenziale `e definita mediante il lavoro fatto da F~

W_AB = Z B

A

F · ~~ ds = − Z B

A

dU = − (U (B) − U (A)) solo de differenze di energia potenziale hanno significato.

Esempio: il lavoro fatto dalla forza elastica per spostare il corpo dalla posizione x = 0 alla posizione x

W_0x = − Z _x

0

kxdx = −1

2kx^{2 quindi}

−1

2kx² = −[U (x) − U (0)] → U (x) = 1

2kx² + U (0)

`e l’energia potenziale elastica di una molla allungata (o accorciata) di un tratto x rispetto alla posizione di equilibro.

Siccome ci interessano solo le differenze di energia potenziale, possiamo fis- sare una posizione di riferimento e calcolare le differenze di energia rispetto a quella. Ad esempio possiamo far corrispondere alla posizione a riposo della molla un’energia potenziale nulla, cio`e U (0) = 0, in questo modo

U = ¹₂kx² energia potenziale elastica

Esempio: Il lavoro fatto dalla forza peso per spostare un corpo dalla quota y ^{alla quota} y = 0

W_y0 = mgy quindi

mgy = −[U (0) − U (y)] → U (y) = mgy + U (0)

`e l’energia potenziale gravitazionale di un corpo posto a una quota y rispetto alla superficie della terra y = 0. Se al riferimento y = 0 facciamo corrispondere un’energia potenziale nulla, si ha

U (y) = mgy energia potenziale gravitazionale

L’energia potenziale gravitazionale di un oggetto dipende dalla quota dell’oggetto rispetto alla superficie terrestre e non dalla posizione orizzontale.

Energia Meccanica

Abbiamo due diverse equazioni che dicono come il lavoro di una forza venga convertito in energia: la prima

W_AB = ∆K = K_B − K_A vale per tutte le forze,

la seconda W_AB = −∆U = −[U (B) − U (A)]

vale solo se la forza `e conservativa.

Quindi per le forze conservative ( W_AB = ∆K

W_AB = −∆U → ∆K = −∆U →

KB − KA = −[U (B) − U (A)] → KB + U (B) = KA + U (A)

la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale `e detta energia meccanica

E = K + U energia meccanica L’equazione precedente diventa

E_A = E_B = costante

l’energia meccanica di un sistema isolato all’interno del quale sono presenti solo forze conservative rimane costante durante il moto.

In generale un corpo ha una energia cinetica, dovuta al fatto che il corpo si muove con una data velocit`a, e un’energia potenziale, dovuta al fatto che il corpo occupa una data posizione in presenza di una forza conservativa. Al passare del tempo, l’energia cinetica e l’energia potenziale possono variare ma la loro somma rimane inalterata nel tempo.

(N.B.: ragione del segno - nella definizione dell’energia potenziale: in questo modo `e la somma delle due energie che rimane costante).