GEOMETRIA
17 FEBBRAIO 2009 – 2 ore
Istruzioni:
• Scrivere cognome, nome, numero di matricola in stampatello negli appositi spazi.
• Trascrivere i risultati dei quiz della prima parte nella tabella in questa pagina.
• La risposta ai quiz vale 2.5 punti se esatta, 0 se errata o assente.
• Trascrivere la risposta alle singole domande degli esercizi della seconda parte nelle pagine bianche alla fine di ogni esercizio.
• Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente.
Cognome e nome (stampatello):
Matricola:
Docente:
Q1 a b c d e Q4 a b c d e
Q2 a b c d e Q5 a b c d e
Q3 a b c d e Q6 a b c d e
Prima Parte (Quiz)
Q1. Sia ~v un vettore non nullo.
Quale delle seguenti affermazioni `e vera?
(a) L’equazione ~v × ~x = ~x ×~v ha ~x = ~0 come unica soluzione (× denota il prodotto vettoriale).
(b) Se ~w `e un vettore, allora ~v − ~w e ~v + ~w sono perpendicolari se e solo se |~v| = | ~w|.
(c) L’equazione ~v × ~x = ~w ha soluzione ~x per ogni scelta di ~w.
(d) Esiste un versore ~u tale il triangolo di lati ~v e ~u ha area 2|~v|.
(e) Nessuna delle precedenti affermazioni `e vera.
Q2. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz sia data la quadrica
Q : x2+ 3y2+ 4z − 4 = 0.
Quale delle seguenti affermazioni `e vera?
(a) Q `e un cilindro.
(b) Q `e un iperboloide.
(c) Q `e unione di due piani.
(d) Q `e un paraboloide.
(e) Nessuna delle precedenti affermazioni `e vera.
Q3. Sia data la matrice
A =
1 0 √
π 2 3/112 0 −8/17 10−21 1 1 +√
7
0 1 0 1 √3
α
,
con α ∈ R, e sia f : R5 → R3 l’applicazione lineare associata ad A.
Quale delle seguenti affermazioni `e vera?
(a) Esiste α ∈ R tale che f sia iniettiva.
(b) Per ogni vettore v ∈ R5 si ha f (v) 6= (e2, π, 1011) ∈ R3.
Q4. Nel piano con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy `e data la conica C di equazione:
x2+ 6xy + 3y2 = k, con k ∈ R.
Quale delle seguenti affermazioni `e vera?
(a) Se k = 0 allora C `e una parabola.
(b) Se k = 1 allora C `e un’ellisse.
(c) Se k = 0 allora C `e una coppia di rette parallele.
(d) Se k = 1 allora C `e un’iperbole.
(e) Nessuna delle precedenti affermazioni `e vera.
Q5. Sia V un sottospazio di R10.
Quale delle seguenti affermazioni `e vera?
(a) Esiste un sottospazio W ⊆ R10 tale che dim(V + W ) = dim(W ).
(b) Esiste un sottospazio W ⊆ R10 tale che dim(W ) = 3, dim(V + W ) = 5, dim(V ∩ W ) = dim(V ) − 1.
(c) Esiste un vettore w ∈ Rn tale che dim(V +L (w)) = dim(V ) + 2.
(d) Per ogni sottospazio W ⊆ R10 l’insieme V ∩ W contiene infiniti vettori.
(e) Nessuna delle precedenti affermazioni `e vera.
Q6. Si consideri M = 1 0 1 0
∈ R4,1 e si consideri la matrice A =tM M ∈ R4,4 Quale delle seguenti affermazioni `e vera?
(a) Il rango di A `e 0.
(b) Il rango di A `e 2.
(c) Il rango di A `e 4.
(d) Il rango di A `e 3.
(e) Il rango di A `e 1.
Seconda Parte (Esercizi)
Esercizio 1. (i) Siano v1, . . . , vnvettori di uno spazio vettoriale V . Spiegare cosa significa che v1, . . . , vn sono linearmente indipendenti.
Siano
A =
1 0 1 0 1 2 3 4 0 1 0 1 4 3 2 1
, X =
x1
x2 x3
x4
.
(ii) Risolvere il sistema omogeneo AX = 0 ed esprimere le sue soluzioni in termini di un parametro libero.
(iii) Dati
C1 =
1 1 0 4
, C2 =
0 2 1 3
, C3 =
1 3 0 2
, C4 =
0 4 1 1
,
verificare che AX = x1C1+ x2C2 + x3C3+ x4C4.
(iv) Determinare tutte le soluzioni del sistema AX = C4.
(v) Determinare la dimensione del sottospazioL (C1, C2, C3, C4), giustificando la risposta.
Svolgimento dell’esercizio 1:
Esercizio 2. (i) Nello spazio ordinario con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz siano dati i piani π : ax + by + cz = d, π0 : a0x + b0y + c0z = d0, π00 : a00x + b00y + c00z = d00. Enunciare una condizione necessaria e sufficiente sulle matrici
a b c a0 b0 c0 a00 b00 c00
,
a b c d a0 b0 c0 d0 a00 b00 c00 d00
affinch´e π ∩ π0∩ π00 sia vuoto.
Siano dati i piani α, β e la retta rλ, λ ∈ R, rispettivamente di equazioni α : x + y + z = 1, β : x − 2y + z = 0, rλ : x − z = 0
y = λ.
(ii) Verificare che α e β hanno in comune esattamente una retta s: calcolare un sistema di equazioni parametriche di s.
(iii) Verificare che s e rλ sono ortogonali per ogni λ ∈ R.
(iv) Verificare che esiste λ ∈ R per cui s e rλ sono incidenti: calcolare tale λ.
(v) Sia
u : x − z = 0 y = 1/3.
Determinare l’equazione del piano π contenente s e u.
Svolgimento dell’esercizio 2:
Esercizio 3. Sia data la matrice reale simmetrica
A =
−2 2 −1 2 1 −2
−1 −2 −2
.
(i) Verificare che i vettori
v =
1 1 3
w =
0 1 2
di R3 sono autovettori per A relativi allo stesso autovalore λ = −3.
(ii) Verificare che il polinomio caratteristico di A `e della forma p(t) = −(t + 3)2(t − λ) per qualche λ ∈ R: calcolare λ.
(iii) Indicare una base di R3 formata da autovettori di A.
(iv) Indicare una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A.
(v) Si consideri la forma quadratica
q(x, y, z) = x y z A
x y z
:
`e vero o falso che q(x, y, z) > 0 per ogni (x, y, z) ∈ R3 non nullo? Motivare la risposta.
Svolgimento dell’esercizio 3:
