INDICE DELLE LEZIONI
Lezione 1. Introduzione al corso. L’insieme dei numeri reali R. Retta orientata e descrizione dei sottoinsiemi N, Z, Q. Rappresentazione decimale dei numeri reali. I numeri decimali periodici sono razionali. √
2 `e irrazionale. . . 5 Lezione 2. R `e un campo totalmente ordinato e completo. Un esercizio sulle disequazioni. . . 7 Lezione 3. Introduzione alle funzioni. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Funzione inversa. Funzioni crescenti e decrescenti (monotone). Funzioni pari e dispari. Funzioni reali elementari (prima parte): funzione retta, valore assoluto, funzioni potenza con esponente intero n, radici n-sime. . . 11 Lezione 4. Funzioni reali elementari (seconda parte): seno, coseno e tangente, arcoseno,
arcocoseno e arcotangente. Grafici di f (x + a), f (x) + a, f (−x), −f (x), f (|x|), f (−|x|), |f (x)|.16 Lezione 5. Disuguaglianza triangolare Risoluzione di qualche disequazione con interpretazione grafica. Principio di induzione con esempi. . . 21 Lezione 6. Disuguaglianza di Bernoulli. Coefficienti binomiali e loro propriet`a. Sviluppo della potenza n-esima di un binomio. . . 27 Lezione 7. Maggiorante, minorante, massimo, minimo di un insieme. Assioma di completezza.
Estremo superiore e estremo inferiore di un insieme di numeri reali. N non `e limitato
superiormente. Alcuni esempi di determinazione del sup e dell’inf di un insieme di numeri reali.31 Lezione 8. Caratterizzazione dell’estremo superiore e dell’estremo inferiore. Alcuni esempi di determinazione del sup e dell’inf di un insieme di numeri reali. . . 34 Lezione 9. Altro esempio di determinazione del sup e dell’inf di un insieme di numeri reali. Q `e denso in R: per ogni a, b in R esiste q in Q tale che a < q < b. Limite di una successioni di numeri reali: definizione e primi esempi. Propriet`a dei limiti (prima parte): unicit`a del limite, limite di sottosuccessione, ogni successione con limite finito `e limitata, permanenza del segno. . . 37 Lezione 10. Propriet`a dei limiti (seconda parte): confronto e doppio confronto, limiti della somma, del prodotto e del quoziente. Il prodotto di una successione limitata e di una successione infinitesima tende a zero. Convergenza delle successioni monotone. Forme indeterminate (prima parte). Qualche esempio di calcolo di limite. . . 43 Lezione 11. Qualche esempio di calcolo di limite. Forme indeterminate (seconda parte). Criterio del rapporto per successioni. . . 47 Lezione 12. Ordine di infinito e confronto tra infiniti con esempi. . . 51 Lezione 13. Definizione del numero di Nepero e come limite della successione (1 +n1)n (e sue forme equivalenti). La funzione parte intera di x. . . 54 Lezione 14. Intorni di un punto nella retta reale estesa . Punti di accumulazione di un insieme di numeri reali. Limite per funzioni reali: definizione, prime propriet`a e qualche esempio.
Relazione tra i limiti di funzioni e limiti di successioni (teorema ponte). . . 58 Lezione 15. Propriet`a dei limiti di funzioni. Limite destro e sinistro. Funzioni continue:
definizione, esempi e prime propriet`a. Limiti notevoli per x → 0 (prima parte): (1 + x)1/x, axx−1,
loga(1+x)
x , (1+x)xa−1. . . 62 Lezione 16. Limiti notevoli per x → 0 (seconda parte): sin(x)x , 1−cos(x)x2 , tan(x)x . Ordine di
infinitesimo e confronto tra infinitesimi con esempi. . . 66 Lezione 17. Teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi: l’immagine di una funzione continua in un intervallo `e un intervallo. Esempi di utilizzo del teorema degli zeri. Introduzione al calcolo differenziale: definizioni di rapporto incrementale, derivata, retta tangente. Ogni funzione derivabile `e continua. . . 70 Lezione 18. Calcolo delle derivate delle funzioni elementari. Calcolo della derivata di una
combinazione lineare di funzioni. . . 76
Lezione 19. Calcolo della derivata del prodotto di funzioni e della derivata del quoziente di due funzioni. Calcolo della derivata di una funzione composta. Esempi di calcolo di derivate. . . 81 Lezione 20. Definizioni di punto di massimo/minimo assoluto e relativo di una funzione.
Teorema di Bolzano-Weierstrass: ogni successione limitata ammette una sottosuccessione
convergente. Teorema di Weierstrass: una funzione continua in un un intervallo chiuso e limitato ammette un punto di massimo e un punto di minimo. . . 84 Lezione 21. Teorema di Fermat sui punti stazionari. Teorema di Lagrange (o teorema del valor medio). Criterio di monotonia per funzioni derivabili in un intervallo: applicazioni ed esempi. . 90 Lezione 22. Asintoti: definizione e primi esempi. Punti di discontinuit`a: di salto e eliminabile.
Punti di non derivabilit`a: punto angoloso, cuspide e flesso con tangente verticale. Un primo esempio di studio del grafico di funzione. . . 97 Lezione 23. Teorema di Cauchy e teorema di de L’Hopital-Bernoulli. Esempi di applicazione del teorema de L’Hopital al calcolo dei limiti.. . . .103 Lezione 24. Definizione di polinomio di Taylor di una funzione di ordine n centrato in x0. Esempi di calcolo del polinomio di Taylor con la definizione. Polinomi di Taylor in 0 di ex, log(1 + x), sin(x), cos(x), (1 + x)a. Definizione di o-piccolo . Formula di Taylor con il resto di Peano. . . 108 Lezione 25. Lista dei principali sviluppi di Taylor. Algebra degli o-piccoli. Alcuni esempi di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo. . . 112 Lezione 26. Altri esempi di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo. Il calcolo di polinomio di Taylor senza l’uso diretto della definizione. . . 116 Lezione 27. Definizione di funzione convessa (e concava) in un intervallo con esempi. La
convessit`a come crescenza del rapporto incrementale x → Rf(x0, x). Criteri di convessit`a: f0 `e crescente, f00 `e non negativa. Definizione di punto di flesso. Il grafico di una funzione convessa (concava) e derivabile sta sopra (sotto) le sue rette tangenti. . . 119 Lezione 28. Un esempio di studio di funzione con discussione della convessit`a/concavit`a. Le funzioni iperboliche e le loro inverse. Altri esempi sull’uso dell’o-piccolo nel calcolo di limiti e dei polinomi di Taylor. . . 126 Lezione 29. Metodo di esaustione-compressione per il calcolo dell’area del cerchio. Definizione di funzione integrabile e di integrale definito secondo Riemann con somme superiori e inferiori. La funzione di Dirichlet non `e integrabile in [a, b]. Propriet`a delle funzioni integrabili: additivit`a rispetto all’intervallo di integrazione, linearit`a e monotonia. Il valore assoluto di un integrale `e minore o uguale dell’integrale del valore assoluto. . . 130 Lezione 30. Definizione di funzione uniformemente continua su un insieme. Teorema di
Heine-Cantor. Le funzioni continue sono integrabili. Definizioni di funzione primitiva. Primitive di alcune funzioni elementari. . . 136 Lezione 31. Teorema della media integrale. Definizioni di integrale indefinito, funzione integrale.
Teorema fondamentale del calcolo integrale. . . 140 Lezione 32. Tecniche di integrazione: integrazione per sostituzione e integrazione per parti.
Alcuni primi esempi di integrali indefiniti. . . 143 Lezione 33. Algoritmo di integrazione delle funzioni razionali con riduzione a combinazione lineare di integrali di fratti semplici. Qualche esempio di applicazione dell’algoritmo (prima parte). . . 147 Lezione 34. Qualche esempio di applicazione dell’algoritmo (seconda parte). Integrali
riconducibili ad integrali di funzioni razionali mediante sostituzioni: esponenziale, radici,
trigonometrico. . . 153 Lezione 35. Esercizi vari sul calcolo integrale. . . 158 Lezione 36. Definizione di integrale improprio su intervalli non limitati e su intervalli limitati per funzioni non limitate. Primi esempi e discussione della convergenza dell’integrale di x1α in (0, 1] e in [1, +∞). . . 162
Lezione 37. Teorema del confronto per gli integrali impropri di funzioni non negative.
Discussione della convergenza dell’integrale di xα| log(x)|1 β in (0, 1/2] e in [2, +∞). . . 166
Lezione 38. Definizione di equivalenza asintotica e teorema del confronto asintotico per gli integrali impropri di funzioni non negative. Alcuni esempi di discussione della convergenza di un integrale improprio. . . 170
Lezione 39. Esercizi vari sugli integrali impropri. . . 173
Lezione 40. Altri esempi di discussione e calcolo di integrali impropri. Gli integrali impropri di funzioni di segno variabile: l’integrabilit`a assoluta implica l’integrabilit`a. Discussione della convergenza dell’integrale di sin(x)xα in [1, +∞). . . 176
Lezione 41. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: fattore integrante, soluzione generale e problema di Cauchy. Alcuni esempi svolti. . . 180
Lezione 42. Equazioni differenziali a variabili separabili y0(x) = a(x)b(y(x)) (NON-lineari). Alcuni esempi svolti. . . 185
Lezione 43. Esercizi vari sulle equazioni differenziali. . . 190
Lezione 44. Numeri complessi (prima parte): forma cartesiana, definizioni di somma, prodotto, coniugio, modulo. Divisione di due numeri complessi. Risoluzione di un’equazione polinomiale di secondo grado a coefficienti reali nel campo complesso C. . . 195
Lezione 45. Equazione differenziale lineari a coefficienti costanti di ordine 2: la soluzione generale `e la somma della soluzione omogenea, combinazione lineare di 2 funzioni (linearmente indipendenti) e della soluzione particolare. Determinazione della soluzione omogeneo con l’equazione caratteristica e della soluzione particolare con il metodo della somiglianza. . . 201
Lezione 46. Esercizi sulle equazione differenziale lineari a coefficienti costanti di ordine 2. . . 208
Lezione 47. Esempi di applicazioni delle equazione differenziali alla fisica: il moto di un grave, il pendolo e le piccole oscillazioni, l’oscillatore armonico libero, smorzato e forzato e il fenomeno della risonanza. . . 214
Lezione 48. Notazione esponenziale di un numero complesso e formula di Eulero. Potenze di un numero complesso. Radici n-esime di un numero complesso. . . 218
Lezione 49. Esempi di calcolo di radici n-sime. Risoluzione di un’equazione polinomiale di secondo grado a coefficienti complessi nel campo complesso. Disuguaglianza triangolare in C. Altri esempi di equazioni in C. . . 222
Lezione 50. Altri esempi di equazioni in C. . . 226
Lezione 51. L’esponenziale complesso e il suo utilizzo nel calcolo integrale reale. . . 230
Lezione 52. Esercizi di ricapitolazione. . . 234
Lezione 53. Esercizi di ricapitolazione. . . 236
Lezione 54. Esercizi di ricapitolazione. . . 241
Lezione 55. Esercizi di ricapitolazione. . . 244
Lezione 56. Esercizi di ricapitolazione. . . 249
Lezione 57. Esercizi di ricapitolazione. . . 253
Lezione 58. Esercizi di ricapitolazione. . . 258
