dt A A d dt

Equazione del momento per un sistema di riferimento ruotante

Bisogna innanzi tutto determinare la relazione fra le derivata totale di un vettore in un sistema di riferimento inerziale e ruotante con velocità angolare Ω.

la applico per A=r

dt A A d dt

A

d

r r r r

× Ω +

=

r U

U dt r

r d dt

r d

a

a

r r r r r r r r

× Ω +

=

× ⇒ Ω +

=

' ' '

' '

'

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

k A j

A i

A A

k A j

A i

A A

z y

x

z y

x

+ +

=

+ +

= r r

La velocità assoluta è data dalla somma della velocità dell’oggetto e della velocità

la applico per A=U_a

r U

U dt r

dt = + Ω × ⇒

= + Ω ×

( ) ( )

( ) ^r

dt U U d dt

U d

r U

r dt U

d dt

U d

a a

a a

r r r

r r r

r

r r r

r r r

r r

× Ω

× Ω +

× Ω +

=

× Ω +

× Ω +

× Ω +

=

2

CORIOLIS CENTRIFUGA

della velocità dell’oggetto e della velocità dovuta alla rotazione terrestre

L’accelerazione vista dal sistema di

riferimento inerziale è uguale alla somma della variazione nel tempo della velocità relativa vista dal sistema ruotante +

l’accelerazione di Coriolis + l’accelerazione centrifuga

A questo punto posso scrivere l’equazione per il momento

F

g p

dt U U

d r r r r r

+ +

∇

−

× Ω

−

= ρ

2 1

Eq. del momento in coordinate sferiche:

λ=longitudine Φ=latitudine

z=distanza verticale dalla sfc i diretto verso est

i diretto verso est j diretto verso nord k diretto verso l’alto

rz ry

rx

F u

z g p a

v u

dt dw

F y u

p a

vw a

u dt dv

F w

x v p a

uw a

uv dt

du

+ Ω

+

∂ −

− ∂ + =

−

+ Ω

∂ −

− ∂

= +

+

+ Ω

− Ω

∂ +

− ∂

= +

−

ρ φ

ρ φ φ

φ ρ φ

φ

cos 1 2

sin 1 2

tan

cos 2

sin 1 2

tan

2 2

2

ANALISI DI

SCALA

Analisi di scala per moti a scala sinottica

Valori di scala caratteristici

U = velocità orizzontale = 10 m/s W= velocità verticale = 1 cm/s

L = lunghezza-estensione orizzontale = 10⁶ m H = profondità = 10⁴ m

L/U = scala temporale dei moti avvettivi = 10⁵ s
per valutare D/Dt ~ 1/∆t ~ U/L f = f₀ = 2ΩsinΦ₀ = 10^-4 s (a 45°latitudine)

∆p/ρ = fluttuazioni orizzontali di pressione = 10³ m²/s²

Le fluttuazioni orizzontali di pressione vengono normalizzate con la densità in modo da Le fluttuazioni orizzontali di pressione vengono normalizzate con la densità in modo da avere una stima valida in tutta la troposfera, nonostante il calo esponenziale con la quota.

∆p/ρ ha l’unità di misura del geopotenziale e in effetti può essere interpretata come la fluttuazione di geopotenziale su una superficie isobarica.

Il valore di ∆p/ρ è proprio quanto ci si aspetta considerando le variazioni che intercorrono tra due sistemi sinottici adiacenti. Se infatti considero ρ = 1 ottengo

∆p/ρ = 1000 Pa = 10 hPa

rz ry

rx

F u

z g p a

v u

dt dw

F y u

p a

vw a

u dt

dv

F w

x v p a

uw a

uv dt

du

+ Ω

+

∂ −

− ∂ + =

−

+ Ω

∂ −

− ∂

= +

+

+ Ω

− Ω

∂ +

− ∂

= +

−

ρ φ

ρ φ φ

φ ρ φ

φ

cos 1 2

sin 1 2

tan

cos 2

sin 1 2

tan

2 2

2

Approssimazione geostrofica e vento geostrofico

y fu p

x fv p

∂

− ∂

−

≈

∂

− ∂

≈

−

ρ ρ

1 1

φ sin 2 Ω

=

f

p k

j v i

u

V r = ˆ + ˆ = ˆ × 1 ∇

E’ un’espressione diagnostica, no previsioni!

L f R

U

0

=

f p k

j v i

u

V

=

+

= × ∇

ρ

ˆ 1 ˆ

r ˆ

= VENTO GEOSTROFICO

-E’ un’approssimazione dei moti orizzontali a grande scala, ma solo lontano dell’equatore (all’equatore f=0).

-Alle medie latitudini, in libera atmosfera riproduce il moto orizzontale con un’approssimazione del 10-15%.

- Soffia parallelo alle isolinee di pressione costante, lasciando i bassi valori di pressione sulla sinistra.

L’approssimazione geostrofica è valida per R₀ << 1

Analisi di scala per la componente verticale:

Valori di scala caratteristici

∆P/∆z = P₀/H = gradiente verticale di pressione =10⁵ Pa / 10⁴ m

approssimazione idrostatica

F

u z g

p a

v u

dt

dw − + Ω +

∂

− ∂ + =

− φ

ρ ^{2 cos}

2

1

2

z a

dt ρ ∂

Equazione di continuità: conservazione della massa

( )

1 0

0

=

⋅

∇ +

=

⋅

∇

∂ +

∂

dt U d t U

r r

ρ ρ

ρ ρ

Equazione termodinamica: conservazione dell’energia

dt J p d

dt

c _V dT + α =