(1) Sia k ≥ 1 un intero. Studiare in funzione di k ≥ 1 intero positivo l’ esistenza delle derivate parziali e direzionali, la continuit` a e la differenziabilit` a della funzione

(1) Sia k ≥ 1 un intero. Studiare in funzione di k ≥ 1 intero positivo l’ esistenza delle derivate parziali e direzionali, la continuit` a e la differenziabilit` a della funzione

f (x, y) =

(

x⁶+y⁴

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

[ Continua se e solo se k ≥ 3, differenziabile se e solo se k ≥ 4, con f

(0, 0) = 0, f

(0, 0) = 1. ]

(2) Studiare in funzione di k ≥ 1 intero positivo la continuit` a e la differenziabilit` a in (0, 0) della funzione

f (x, y) =

(

x^k+y^k

se x

+ y

6= 0 0 se x

+ y

6= 0

[ Continua e differenziabile solo se k = 2, , con f

(0, 0) = 1, f

(0, 0) = 0. ]

(3) Sia f : R

→ R una funzione per la quale esiste una costante C > 0 tale che |f (x, y)| ≤ C (x

+ y

).

Dimostrare che in tal caso f (0, 0) = 0, esistono le derivate par- ziali in (0, 0) e sono nulle, e la funzione ` e differenziabile in (0, 0).

Per quali γ > 0 otteniamo le stesse conclusioni se supponiamo che |f (x, y)| ≤ C (x

+ y

)

= k(x, y)k

?

(4) Data la funzione f (x, y) =

(

x²+y²

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

calcolare le derivate parziali f

(x, y), f

(x, y) in ogni punto e verificare che ` e di classe C

.

Calcolare le derivate parziali seconde f

(0, 0), f

(0, 0).

Dire se la funzione ` e due volte differenziabile in (0, 0).

[

f

(x, y) =

(

(x²+y²)²

=

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

f

(x, y) =

(

(x²+y²)²

=

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

f

(0, 0) = −1, mentre f

(0, 0) = 1. Per il teorema di Schwarz la funzione non ` e due volte differenziabile in (0, 0). ]

(5) Data la funzione di due variabili f (x, y) = x

+ y

−

y

− 48x + 18 y trovare i punti critici di f , specificando se si tratta di punto di minimo, massimo o sella.

[ I punti critici sono P

= (4, 3), P

= (−4, 3), P

= (4, 2), P

= (−4, 2). Il punto P

` e un punto di minimo locale stretto,

1

2

il punto P

` e un punto di massimo locale stretto, i punti P

e P

sono punti di sella. ]

(6) Data la funzione di due variabili f (x, y) = x

+ 3x

+ 2λxy + y

trovare il valore di λ tale che il punto (

, −

) sia un punto critico di f . Per tale valore trovare eventuali altri punti critici di f , e per ogni punto critico specificare se si tratta di punto di minimo, massimo o sella.

[ λ = 2. Per tale valore i punti critici sono P

= (0, 0), punto di sella, e P

= (

, −

), punto di minimo relativo (stretto). ] (7) Data la funzione di due variabili f (x, y) =

+

+ y trovare i

punti critici di f , specificando se si tratta di punto di minimo, massimo o sella.

[ Unico punto critico, di minimo, ` e il punto (4, 2). ] (8) Data la funzione di tre variabili f (x, y, z) = x

+ x

+ y

+ z

trovare i punti critici di f , specificando se si tratta di punto di minimo, massimo o sella.

[ I punti critici sono P

= (−

, 0, 0) e P

= (0, 0, 0). P

` e punto di minimo relativo (stretto), P

di sella. ]

(9) Data la funzione di tre variabili f (x, y, z) = z

−x

+2xy− √ 2y

z trovare i punti critici di f , specificando se si tratta di punto di minimo, massimo o sella.

[ Punti critici P

= (0, 0, 0) e P

= (±1, ±1,

), tutti di sella. ]

(10) Data la funzione di tre variabili f (x, y, z) = −2x

− xy − 2y

+ 5x + 5y − z

+ 2z individuare i punti critici di f , specificando se si tratta di punti di minimo, massimo o sella.

[ L’ unico punto critico ` e il punto (1, 1, 1), ed ` e un punto di massimo relativo (stretto). ]

(11) Data la funzione di due variabili f (x, y) = xy trovare i punti critici di f e specificare se si tratta di punto di minimo, massimo o sella. Trovare poi il massimo e il minimo assoluti di f sull’

insieme B = {(x, y) ∈ R

: x

+ y

≤ 1}.

[ L’ unico punto critico in tutto R

` e P = (0, 0), che ` e un punto di sella.

Per il Teorema di Weierstrass, essendo B compatto e f continua,

esistono punti di massimo e minimo assoluto di f in B, e sono

sulla frontiera, immagine della funzione α(t) = (cos(t), sin(t)),

0 ≤ t ≤ 2π. Studiando la funzione composta f ◦ α(t) =

3

cos(t) sin(t) in [0, 2π] . . . i punti (±

2

, ±

2

), sono punti di mas- simo assoluto per f su B con valore

, mentre il minimo ` e −

, assunto nei punti (∓

2

, ±

2

). ] (12) Funzioni omogenee

Un cono in R

` e un insieme A ⊆ R

tale che se x ∈ A allora t x ∈ A per ogni t > 0, un cono aperto ` e un aperto A di R

che sia un cono.

Se A ` e un cono e α ∈ R una funzione f : A → R `e detta (positivamente) omogenea di grado α se

f (tx) = t

f (x) per ogni x ∈ A, per ogni t > 0 .

Ad esempio f (x) = kxk

` e una funzione omogenea di grado p ∈ R, ogni forma quadratica `e omogenea di grado 2, f (x, y) =

x

y

` e omogenea di grado 0 sul cono [y 6= 0].

Dimostrare seguendo la traccia il

Teorema di Eulero Sia f : A → R una funzione differenziabile sul cono aperto A ⊆ R

. Allora f ` e omogenea di grado α ∈ R se e solo se vale l’ identit` a di Eulero

∇f (x) · x = α f (x) ∀ x ∈ A.

[ Per x

∈ A consideriamo la funzione g(t) =

.

Derivando t 7→ f (tx

) con la regola della catena si ottiene g

(t) =

t^α∇f (tx⁰)·x⁰−αt^α−1f (tx⁰)

t^2α

=

[ ∇f (tx

) · (tx

) − αf (tx

) ].

Se f ` e omogenea di grado α , ` e g(t) = f (x) = c per ogni t > 0 e quindi 0 = g

(t) per ogni t > 0 e ponendo t = 1 . . .

Se invece vale l’ identit` a precedente per ogni x ∈ A, in par- ticolare nei punti x = tx

allora g

t) = 0, g(t) = c = g(1) per ogni t > 0 . . . ]

(13) Siano f (t) =



 f

(t)

. . . f

(t)



 , g(t) =



 g

(t)

. . . g

(t)



 : [a, b] → R

due funzioni di una variabile derivabili a valori vettoriali, e conside- riamo la funzione scalare α(t) = f (t) · g(t).

(a) Verificare che vale la formula per la derivata del prodotto scalare: α

(t) = (f · g)

(t) = f

(t) · g(t) + f (t) · g

(t)

[ E una semplice verifica, basta calcolare per componenti ` f

(t) =



 f

(t)

. . . f

(t)



 , g

(t) =



 g

(t)

. . . g

(t)



 . . . ]

(b) Verificare che se f (t) : [a, b] → R

` e una funzione derivabile

e kf (t)k = cost , allora f (t) · f

(t) = 0 ∀ t ∈ [a, b], cio` e i

vettori valore f (t) e derivato f

(t) sono tra loro ortogonali.

4

[ Applicare la 1) al caso g = f , essendo α(t) = kf (t)k

= f (t) · f (t) = cost la derivata di α(t) ` e identicamente nulla . . . ]

(14) Siano f (t) =



 f

(t) f

(t) f

(t)



 , g(t) =



 g

(t) g

(t) g

(t)



 : [a, b] → R

due funzioni di una variabile derivabili a valori in R

, e indicando con × il prodotto vettoriale consideriamo la funzione a valori in R

α(t) = f (t) × g(t) =





f

(t)g

(t) − f

(t)g

(t) f

(t)g

(t) − f

(t)g

(t) f

(t)g

(t) − f

(t)g

(t)



. Verificare che vale la formula per la derivata del prodotto vettoriale

α

(t) = (f × g)

(t) = f

(t) × g(t) + f (t) × g

(t)

[ E una noiosa ma semplice verifica, basta calcolare per ` componenti f

(t) =



 f

(t)

. . . f

(t)



 , g

(t) =



 g

(t)

. . . g

(t)



 . . . ]

(15) Sia f (t) =



 f

(t)

. . . f

(t)



 : [a, b] → R

una funzione continua di una

variabile a valori vettoriali e R

a

f (t) dt =



 R

a

f

(t) dt . . . R

a

f

(t) dt



.

(a) Se z ∈ R

verificare che R

a

z · f (t) dt = z · R

f (t) dt (b) Dimostrare che vale la disuguaglianza

k R

a

f (t) dtk ≤ R

a

kf (t)k dt [ Sia z = R

a

f (t) e consideriamo la funzione β(t) = z · f (t).

Applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ha che k R

a

f (t) dtk

= z· R

a

f (t) dt = R

a

z·f (t) dt ≤ R

a

kzkkf (t)k dt = kzk R

a

kf (t)k dt = k R

a

f (t) dtk R

a

kf (t)k dt.

Se R

a

f (t) 6= 0, dividendo per kzk = k R

a

f (t) dtk > 0 si ha la tesi, se invece R

a

f (t) = 0 la disuguaglianza ` e immediata.

]