ESERCIZI DELLA SETTIMANA

ESERCIZI DELLA SETTIMANA

Enrico Massoni e Nicola Pellicanò April 20, 2013

Trovare il dominio delle seguenti funzioni e tracciarne il graco 1. f (x, y) =q _|y2−x2|

log(x²+y²−1)

Raccogliamo a sistema tutte le condizioni











|^y2−x²|

log(x²+y²−1) ≥ 0 log(x²+ y²− 1) 6= 0 x²+ y²− 1 > 0

Siccome il modulo è sempre positivo la prima condizione equivale a imporre il denominatore > 0







log(x²+ y²− 1) > 0 log(x²+ y²− 1) 6= 0 x²+ y²− 1 > 0

(log(x²+ y²− 1) > 0 x²+ y²− 1 > 0 (x²+ y²− 1 > 1 x²+ y²− 1 > 0 (x²+ y²> 2

x²+ y²> 1

Sono condizioni su due circonferenze. Essendo un sistema i valori da prendere sono esterni alla circonferenza più ampia, quindi la prima (raggio sqrt(2)=1.42).

domf = {(x, y) ∈ R²: x²+ y²> 2}

2.f (x, y) = log(49 − x²) +qarctan(|y−8|) x²+y²−49







49 − x²> 0

arctan(|y−8|) x²+y²−49 ≥ 0 x²+ y²− 49 6= 0

Notiamo come l'arcotangente di un numero sempre positivo è sempre positiva, quindi la condizione diventa







49 − x²> 0 x²+ y²− 49 > 0 x²+ y²− 49 6= 0 (49 − x²> 0

x²+ y²− 49 > 0 (−7 < x < 7

x²+ y²> 49

domf = {(x, y) ∈ R²: x²+ y²> 49 ∧ −7 < x < 7}

3.f (x, y) = tan ^y_x
tan ^y_x
=^sin(_cos(^yxy⁾

x)

(x 6= 0

cos ^y_x
6= 0 =⇒ ^y_x6= ^π₂+ kπ =⇒ y 6= ^π₂ + kπ
x

domf = {(x, y) ∈ R²: x 6= 0 ∧ y 6= ^π₂+ kπ
x}

Il dominio è rappresentato da tutto il piano tranne l'asse y (prima condizione) ed un fascio di rette con centro l'origine e coecienti angolari ^π₂ + kπ(disegno

improponibile ;) )

4. f (x, y) = arcsin_x−y

x+y



La condizione da ricordare sull'arcsin è che l'argomento deve essere in mod- ulo minore di 1!

(x + y 6= 0

−1 ≤ ^x−y_x+y ≤ 1







x + y 6= 0

x−y

x+y+ 1 ≥ 0

x−y

x+y− 1 ≤ 0





 y 6= −x

x−y+x+y x+y ≥ 0

x−y−x−y x+y ≤ 0





 y 6= −x

2x x+y ≥ 0

−2y x+y ≤ 0

Abbiamo quattro casi distinti, in quanto la seconda condizione si distingue in due casi e la terza in altri due (dobbiamo incrociare le varie possibilità)

















 y 6= −x 2x ≥ 0 x + y > 0

−2y ≤ 0 x + y > 0

















 y 6= −x 2x ≥ 0 x + y > 0

−2y ≥ 0 x + y < 0

















 y 6= −x 2x ≤ 0 x + y < 0

−2y ≤ 0 x + y > 0

















 y 6= −x 2x ≤ 0 x + y < 0

−2y ≥ 0 x + y < 0

A causa delle condizioni 3 e 5 il secondo e il terzo sistema non danno soluzione.

Per quanto riguarda gli altri 2 abbiamo









 y 6= −x x ≥ 0 y > −x y ≥ 0

che, eliminando le informazioni ridondanti vuol dire

(x ≥ 0

y ≥ 0 , escluso il punto (0,0)









 y 6= −x x ≤ 0 y < −x y ≤ 0

che, eliminando le informazioni ridondanti vuol dire

(x ≤ 0

y ≤ 0 , escluso il punto (0,0)

Il dominio (se volete disegnarlo) è rappresentato dal primo e dal terzo quad- rante, assi inclusi, origine esclusa.

domf = {(x, y) ∈ R²: [(x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) ∧ (x ≤ 0 ∧ y ≤ 0)] \ {0, 0}}

Determinare le linee di livello e l'immagine delle seguenti funzioni (l'immagine al tutorato non l'abbiamo citata ma come in analisi 1 non è altro l'intervallo di valori che può assumere f(x,y) [al tutorato il caso del piano era tutto R mentre 1/(x^2+y^2) presupponeva che la f potesse assumere solo valori positivi])

1. f (x, y) = 2x − 5y

Fatto a tutorato [messo per errore]

2.f (x, y) = x²y

Im(f ) = R, non c'è alcun limite ai valori di z

Fisso uno z particolare z₀= x²y =⇒ y = _x^z0₂

Studio dei casi notevoli z0=0, z0=1, z=-1

Per z0=0 ho y=0, quindi la linea di livello è l'asse x (attenzione che anche con x=0 ho z=0 quindi la linea di livello 0 è l'incrocio degli assi x e y! [asse y non riportato erroneamente nel disegno nale])

Per z0=1 ho y =_x¹2,che ha graco

Per z0=-1 ho y = −_x¹2, che ha graco

Deduciamo da ciò che le linee di livello sono del tipo

3. f(x, y) = xy Im(f ) = R

z₀= xy =⇒ y = ^z_x⁰

Stavolta abbiamo, per z0=1

Mentre per z0=-1

Con un risultato del tipo

4. f (x, y) =p

x²+ 4y²

Im(f ) = [0, +∞), la radice pretende valori di z unicamente positivi

z0=p

x²+ 4y²=⇒ x²+ 4y²= z²₀

Per z0=0 (caso patologico) abbiamo il punto (0,0), altrimenti

x² z₀² +^4y_z2²

0

= 1, ellissi di dimensione dipendente da z0. Sostituento qualche z0 a piacere si ottiene

N.B L'origine c'è ma non si vede

5. f(x, y) =q _y

2x²+1

Im(f ) = [0, +∞)

z₀=q _y

2x²+1 =⇒ z²₀(2x²+ 1) = y =⇒ y = 2z²₀x²+ z₀² Con z0=0 ho y=0 (asse x) [non c'è l'asse y]

Negli altri casi ho delle parabole di centro traslato sull'asse y ed ampiezza che aumenta al diminuire di z0

(le parabole sono solo sopra l'asse x in quanto il vertice è sempre positivo e la parabola va sempre verso l'alto [il dominio y>0 deve essere rispettato ovvia- mente])

Disegnare il graco delle seguenti funzioni

1. z =p−(x − 1)²+ 5 − y²

Noto come è una funzione di tipo sferico. Il raggio è √

5, prendo la semis- fera positiva e noto come il centro della sfera non è l'origine, ma il punto (1,0,0)

2. y = 5 + (x + 2)²+ z²

Noto che è una funzione di tipo paraboloide. Il paraboloide attenzione che è rispetto all'asse y ( non z come al solito), quindi dovremo disegnarlo orizzon- tale verso l'asse y. Il vertice inferiore è nel punto (-2,5,0)!

N.B. Sono orgoglioso di questo disegno

3. y = −√

2 − x²− z²[come avrete notato c'era un errore nella traccia}

Si tratta di una semisfera negativa non rispetto al piano z=0 ma rispetto al piano y=0! Il raggio è√

2

Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni

1.f(x, y) = y²e^−x

domf = R²

∇f = −y²e^−x, 2ye^−x

2.f (x, y) = log(x²+ y²)

domf = R²\ (0, 0)

∇f =

2x

x²+y²,_x2^2y+y²



3. f(x, y) = e^x/y

domf = {(x, y) ∈ R²: y 6= 0}

∇f =

1

ye^x/y, −_y^x2e^x/y 4.f (x, y) = tan ^y_x

domf = {(x, y) ∈ R²: x 6= 0 ∧ y 6= ^π₂+ kπ
x}

∇f = _−y

x²cos²(y/x),_xcos2¹_(y/x)

5. f(x, y) = y^log(x)

domf = {(x, y) ∈ R²: y > 0 ∧ x > 0}

∇f =_log(y)

x y^log(x), log(x)y^log(x)−1

Calcolare la matrice Hessiana delle seguenti funzioni

1. f (x, y) =p y − 2x²

domf = {(x, y) ∈ R²: y ≥ 2x²}

∇f =



−√^2x

y−2x², ¹

2√

y−2x²



dom∇f = {(x, y) ∈ R² : y > 2x²}derivate con- tinue all'interno del dominio, dunque vale teorema di Schwarz

Hf =

∂²f

∂x²

∂²f

∂y∂x

∂²f

∂yx∂y

∂²f

∂xy²

!

=

−2y (y−2x²)^3/2

x (y−2x²)^3/2 x

(y−2x²)^3/2 −_4(y−2x¹_2)3/2

!

2.f(x, y) = log(_x+y¹ )

domf = {(x, y) ∈ R²: y > −x}

∇f =

−_x+y¹ , −_x+y¹ 

Hf =

1 (x+y)²

1 (x+y)² 1

(x+y)² 1 (x+y)²

!

Calcolare le seguenti derivate direzionali

1. f(x, y) = x²− xy − 2in P(1,0) nella direzione (2,1) domf = R², (è bene controllare che il punto stia nel dominio)

∇f = (2x − y, −x)

∇f (1, 0) = (2, −1)

∂f

∂~v(1, 0) = ∇f (1, 0) • ~v = (2, −1) • (2, 1) = 4 − 1 = 3

2. f(x, y) = e^xcosyin P(0,0) nella direzione (1,2)

∇f = (e^xcosy, −e^xsiny)

∇f (0, 0) = (1, 0)

∂f

∂~v(0, 0) = ∇f (0, 0) • ~v = (1, 0) • (1, 2) = 1

Calcolare il piano tangente al graco di f nei punti indicati

1. f(x, y) = x⁴− x²y²− 2x²+ 2y² in P(1,1,0) Ricordiamo che il piano tangente ha formula z = z₀+ ∇f (x₀, y₀) • (x − x₀, y − y₀)

∇f = 4x³− 2xy²− 4x, −2x²y + 4y

∇f (1, 1) = (−2, 2)

z = 0 + (−2, 2) • (x − 1, y − 1) = −2(x − 1) + 2(y − 1) = −2x + 2y

2.f(x, y) = px²+ y²in P(2,0,2)

∇f =



√ x

x²+y²,√ ^y

x²+y²



∇f (2, 0) = (1, 0)

z = 2 + (1, 0) • (x − 2, y) = 2 + x − 2 = x