Esercizi di Algebra Lineare
Anna M. Bigatti
Superfici di rotazione
28 maggio 2012
Ricordiamo la definizione:
Definizione 1 Sia r una retta. Una superficie di rotazione di asse r `e una superficie luogo di circonferenze che hanno centro su r e sono contenute in piani ortogonali ad r .
Se C : (f1(t), f2(t), f3(t)) `e una curva, le circonferenze della superficie generata dalla rotazione di C attorno alla retta r si possono determinare intersecando, per ogni t ,
• il piano passante per P (f1(t), f2(t), f3(t)) e perpendicolare a r
• la sfera di centro C e raggio d(C, P ) , dove C `e un punto qualunque fissato su r . L’equazione cartesiana si ottiene eliminando t tra l’equazione del piano e quella della sfera.
Esercizio 2 Provare che per ogni k ∈ R la quadrica Qk : xy + yz + zx = k `e di rotazione attorno alla retta r : x = y = z .
Soluzione Consideriamo k ∈ R fissato.
Scriviamo il fascio di piani perpendicolari a r :
• vettore direzionale di r : (1, −1, 0) ∧ (0, 1, −1) = (2, 2, 2) −→ vr= (1, 1, 1)
• piani perpendicolari a r : πb: x + y + z = b
Dobbiamo mostrare che per ogni b ∈ R l’intersezione πb∩ Qk `e una circonferenza.
• mostriamo che πb∩ Qk= πb∩ Sc con Sc sfere:
• πb∩ Qk:
(xy + yz + zx = k
x + y + z = b in particolare vale (x + y + z)2= b2
• quindi il sistema `e equivalente a
((x + y + z)2− 2(xy + yz + zx) = b2− 2k x + y + z = b
• −→
(x2+ y2+ z2= b2− 2k x + y + z = b
• Quindi πb∩ Qk = πb∩ Sb2−2k dove Sb2−2k: x2+ y2+ z2= b2− 2k sfera con centro su r (precisamente: centro nell’origine e raggio √
b2− 2k ).
Quindi Q `e una superficie di rotazione attorno alla retta r . ut Esercizio 3 Verificare che la superficie Q : −x2+ 2y2+ 2z2− 2x − 2 = 0 `e di rotazione intorno all’asse x .
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