Quadriche
♣ Rigate: Superficie di rette infinite (dette generatrici). Una curva che interseca le generatrici verrà detta direttrice
direttrice
generatrici
♣ Un caso particolare è il cono, costituito da una sola generatrice
♣ Un cilindro è costituito da infinite rette
♣ Quadriche: Data una quadrica di equazione + 2ℎ + = 0 e la matrice omogenea
Ã′ = 0 à = ℎℎ . I ranghi di à sono 4,3,2,1. Dati gli auto valori di A , , questi possono essere concordi, discordi, nulli (non tutti). E’ importante anche il det à ℎ ò <
, >, = 0 → $%& $&'
Classificazione delle quadriche
ë Rango di à = 4 con > 0 () &* $ℎ & ' )
Ellissoide a punti immaginari: + ,+ -+ 1 = 0 -> auto valori concordi, il det à > 0 per +1
Ellissoide a punti reali: + ,+ -− 1 = 0 det à < 0
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Iperboloide ellittico: + ,+ -− 1 = 0 det à < 0 , 0&'$%$
Iperboloide iperbolico: + ,− -− 1 = 0 det à > 0
Paraboloide ellittico : + ,− - = 0 & '%&1 $
Paraboloide iperbolico: − ,− - = 0 & '%&1 $ *$ *$
In questo caso due autovalori non possono essere nulli, perché il rango si ridurrebbe a 1.
Le quadriche con det Ã=0 sono degeneri ë Rango à = 3, > 0
Cono immaginario: + ,+ -= 0 & '%&1 $ *$
Cono reale: + ,− -= 0 & '%&1 $ *$ *$
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Il cono esiste se det A ≠0
Se il det A=0 allora abbiamo un cilindro:
Ellittico a punti immaginari
Ellittico a punti reali: + ,= 1
Iperbolico: − ,= 1
Parabolico: − - = 0
ë Rango Ã=2
La quadrica è una coppia di piani definiti :
Non paralleli reali se , < 0 → , = 0
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Non paralleli immaginari se , > 0 → + , = 0
Paralleli reali o immaginari (es x(x+2)=0)
ë Rango di Ã=1 -> piano “doppio” di equazione = 0
♣ Quadriche non rigate sono: non passa nessuna retta (es. ellissoide, paraboloide ellittico)
♣ Quadriche semplicemente rigate: passa una sola retta per un solo punto (coni, cilindri)
♣ Quadriche doppiamente rigate: per due punti passano più rette (iperboloide iperbolico, paraboloide iperbolico)
♣ Il cono è generato dalla rotazione di rette incidenti
♣ Il cilindro è generato dalla rotazione di rette parallele
♣ L’iperboloide iperbolico è generato dalla rotazione di rette sghembe
♣ Data l’equazione dell’ellissoide &+ &,+ 2-= 0 &, 2 > 0
Se a > b si ha una geoide
Se a < b si ha un ellissoide ruotato verticalmente
Se a = b si ha una sfera
♣ Cilindro quadrico: + 3,− 2, 4, / 3 0
