log(1 + x↵) x2esin x al variare di ↵ &gt

12. ESERCIZI su FUNZIONI DERIVABILI, parte 4

Determinare lo sviluppo di Taylor dell’ordine indicato centrato in x₀= 0 delle seguenti funzioni 1. f (x) = log(1 + x) cosh x + e^x2 di ordine 3

2. f (x) = (1 x)^x cos x di ordine 3 3. f (x) = e^xsinh x xp

1 + 2x di ordine 2 4. f (x) =p³

1 + sin²x e^{sinh x} di ordine 4

. Risolvere gli esercizi 61-75 del libro di testo

Calcolare l’ordine di infinitesimo per x! 0 delle seguenti funzioni 5. f (x) = sinh x· e^x log(1 + x)p³

1 + 3x 6. f (x) = _{1 x}^x2 2 log(cosh x)

7. f↵(x) = log(1 + x^↵) x²e^{sin x} al variare di ↵ > 0 8. f_↵(x) =p

cos(↵x) cos²x al variare di ↵2 R

. Risolvere gli esercizi 76-95 del libro di testo

Utilizzando gli sviluppi di Taylor calcolare i seguenti limiti 9. lim

x!0

log(1 + x) arctan x x log(coshp

x)

10. lim

n!+1

cos_n¹ q

1 _n¹2

p3

n³+ n n 11. lim

x!0

log(1 + ↵x²) sin²x e^{sinh x} p

1 + 2x al variare di ↵2 R 12. lim

n!+1

sin₂¹n log(1 + ₂¹n) e^3n↵ ₁₊¹1

3n

al variare di ↵2 R

. Risolvere gli esercizi 96-105 del libro di testo

Studiare la continuit`a e la derivabilit`a in x₀ = 0 delle seguenti funzioni al variare di ↵, 2 R

13. f (x) =

(_esin x p 1+↵x log(1+p

x) per x > 0 sin( x) per x 0

14. f (x) =

(e^x2 1+x^↵

sin x se x > 0 p1 x + se x 0

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15. f (x) =

(e ^x2 cosp x

x^↵ per x > 0 sinh x per x 0

16. f (x) =

(_{cos(sin x)} ^p_{1 x2}

x^↵ se x > 0

1+x² se x 0

. Risolvere gli esercizi 106-120 del libro di testo

Per risolvere i precedenti esercizi sar`a utile ricordare i seguenti sviluppi notevoli per x! 0

• e^x = 1 + x +^x₂² +^x_3!³ + ... + ^x_n!ⁿ + o(xⁿ)

• (1 + x)^↵= 1 + ↵x +^{↵(↵ 1)}₂ x²+ ... +↵(↵ 1)(↵ 2)...(↵ n+1)

n! xⁿ+ o(xⁿ)

• _1+x¹ = 1 x + x² x³+ ... + ( 1)ⁿxⁿ+ o(xⁿ)

• log(1 + x) = x ^x₂² +^x₃³ + ... + ( 1)^{n+1 x}_nⁿ + o(xⁿ)

• arctan x = x ^x₃³ +^x₅⁵ + ... + ( 1)^{n x}_{2n 1}^{2n 1} + o(x²ⁿ)

• sin x = x ^x_3!³ + ^x_5!⁵ +· · · + ( 1)^{n x}_{(2n 1)!}^{2n 1} + o(x²ⁿ)

• cos x = 1 ^x₂² +^x_4!⁴ +· · · + ( 1)^{n x}_(2n)!²ⁿ + o(x²ⁿ⁺¹)

• sinh x = x + ^x_3!³ +^x_5!⁵ +· · · + _{(2n 1)!}^{x2n 1} + o(x²ⁿ)

• cosh x = 1 +^x₂² +^x_4!⁴ +· · · +_(2n)!^x2n + o(x²ⁿ⁺¹)

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