Esempi: Guscio sferico di corrente Uso del potenziale scalare

Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Anno Accademico 2020/2021

Elettromagnetismo

Esempi: Guscio sferico di corrente Uso del potenziale scalare

Sfera in campo uniforme Magneti permanenti

Lezione n. 38 – 11.05.2021

Esempio: guscio sferico di corrente

• Per illustrare i concetti precedenti risolviamo un problema che abbiamo già visto (diapositiva )

• Un guscio sferico di carica che ruota intorno all'asse z con velocita angolare Ω

• La corrente superficiale è

• Calcoliamo il prodotto vettoriale

• Otteniamo

• Il problema possiede una simmetria rotazionale intorno all'asse z

• Il potenziale vettore non dipende dall'angolo azimutale φ

• Si può verificare che in coordinate sferiche il potenziale vettore ha solo la componente Aφ(r,θ)

• Il campo

B

***

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Esempio: guscio sferico di corrente

• Utilizzando la formula della diapositiva si ha

• Introducendo la formula del laplaciano in coordinate sferiche l'equazione diventa (A_φ non dipende da φ)

• Per trovare una soluzione si può procedere nel modo seguente

• All'interno (r < R, regione 1) della sfera e all'esterno (r > R, regione 2) il potenziale Aφ soddisfa l'equazione omogenea

• Con il metodo della separazione delle variabili si trovano le soluzioni dell'equazione omogenea

• Saranno delle serie infinite, come nel caso della sfera in elettrostatica

• Si impongono continuità, andamento per r → 0 e r → ∞

• Si calcolano le componenti tangenziali di

B

• Si eguaglia la discontinuità alla corrente superficiale 3541377

***

Esempio: guscio sferico di corrente

• Si dimostra che la soluzione generale dell'equazione omogenea ha la forma

• Le funzioni P¹_l(θ) sono le funzioni associate di Legendre

• Nella regione interna alla sfera poniamo D_l = 0 altrimenti il potenziale divergerebbe nell'origine

• Analogamente, all'esterno C_l = 0 altrimenti il potenziale divergerebbe all'infinito

• In definitiva

• La continuità per r = R implica D_l = C_l

• Si verifica facilmente che le componenti radiali di

B

***

Esempio: guscio sferico di corrente

• Calcoliamo le componenti tangenziali B_θ

• Notiamo che la densità superficiale di corrente è proporzionale a

• Avremo pertanto un sistema di equazioni per l ≠ 1 e una equazione per l = 1

• Per l ≠ 1

• Per l = 1

• In definitiva, nella regione interna alla sfera (r < R) abbiamo

***

Esempio: guscio sferico di corrente

• Nella regione esterna alla sfera (r > R) otteniamo

• Da confrontare con il risultato dell'integrazione diretta della formula di Biot e Savart (vedi diapositiva )

• Calcoliamo il campo di induzione magnetica

B

• La componente polare B_θ

• La componente radiale B_r

• Riassumendo

***

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Esempio: guscio sferico di corrente

• Calcoliamo il campo di induzione magnetica

B

• La componente polare B_θ

• La componente radiale B_r

• Riassumendo

esterno sfera

interno sfera

***

Esempio: guscio sferico di corrente

• All'interno della sfera il campo è uniforme

• È parallelo all'asse z

• Infatti, la quantità tra parentesi è il versore

• All'esterno abbiamo un campo dipolare

• Ricordiamo il campo del dipolo elettrico (diapositiva 272 parte I)

• Notiamo infine che (vedi diap. )

***

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Uso del potenziale scalare

• Il problema appena risolto è utile anche per illustrare l'uso del potenziale magnetico scalare

• La necessità di introdurre il potenziale vettore (con le sue complessità tecniche) deriva dalla legge di Ampère

• Il campo

B

• Tuttavia, nel problema del guscio sferico, lo spazio è diviso naturalmente in due regioni nettamente separate

• La regione interna al guscio (r < R)

• La regione esterna al guscio (r > R)

• In ognuna di queste due regioni la densità di corrente è nulla

• In entrambe le regioni il campo

B

• Possiamo pertanto rappresentare il campo

B

• Avere messo in evidenza μ₀ dipende dal fatto che normalmente si usa questo formalismo per il campo

H

• Infine

• I potenziali φ_M1 e φ_M2 soddisfano l'equazione di Laplace

***

Uso del potenziale scalare

• I due potenziali φ_M1 e φ_M2 devono essere raccordati sulla sfera

• Si calcolano le componenti normali (B_1θ e B_2θ) e tangenziali (B_1θ e B_2θ)

• Si uguagliano le componenti normali

• Si uguaglia la discontinuità alla densità di corrente superficiale

• Abbiamo studiato la soluzione dell'equazione di Laplace in coordinate sferiche in elettrostatica

• Il problema della sfera di dielettrico (vedi diapositiva 335 parte I)

• Utilizzando i risultati di quel problema possiamo scrivere i potenziali

• Abbiamo scelto le soluzioni che si annullano per r = 0 all'interno e quelle che si annullano per r → ∞ all'esterno

• Calcoliamo le componenti normali

***

Uso del potenziale scalare

• La continuità della componente normale (B_r) si impone

uguagliando i coefficienti dei polinomi di Legendre di ordine uguale

• Osserviamo che nella espressione per B_1r è assente il termine l = 0

• Deve essere nullo il termine l = 0 della espressione di B_2r

• Uguagliamo adesso gli altri coefficienti

• Calcoliamo le componenti tangenziali

(B

)

***

Uso del potenziale scalare

• La discontinuità della componente tangenziale deve essere

• Osserviamo che

• Concludiamo che l'equazione per i coefficienti l = 1 è

• Mettendo insieme le due relazioni

• Per gli altri coefficienti

• Ovviamente, insieme all'equazione precedente, deve essere C = D = 0 inoltre

***

Uso del potenziale scalare

• La soluzione del problema è pertanto

• Il campo di induzione magnetica

• All'interno della sfera (r < R)

• All'esterno della sfera (r > R)

• Per

B

Notare che il potenziale non è continuo per r = R

***

Sfera in campo magnetico uniforme

• Supponiamo di avere un campo di induzione magnetica

B

• Inseriamo adesso una sfera di raggio R, di materiale magnetico, lineare, con permeabilità magnetica relativa μ_r

• Il campo magnetico risulta modificato

• Nel problema non ci sono correnti libere pertanto

• Il problema può essere risolto utilizzando il potenziale scalare

• Il problema ha simmetria azimutale e si risolve più facilmente utilizzando le coordinate sferiche

• In particolare

• Fissiamo le condizioni al contorno

• All'infinito il potenziale deve riprodurre il campo uniforme

• Sulla superficie della sfera

***

Sfera in campo magnetico uniforme

• Matematicamente il problema è identico a quello della sfera di dielettrico in campo uniforme (parte I diapositiva 335)

• I potenziali possono essere sviluppati utilizzando i polinomi di Legendre e le potenze di r: r^l e r^−l−1

• Sopravvivono solo i termini

• Il valore asintotico (r → ∞) di Φ_M2 fissa C₂

• Imponiamo la continuità del potenziale sulla superficie

• Per finire la componente normale

• Risolvendo le equazioni

***

Sfera in campo magnetico uniforme

• Il potenziale è pertanto

• I corrispondenti campi sono

• All'interno della sfera (r < R)

• Pertanto all'interno della sfera il campo è uniforme

All'esterno della sfera (r > R)

***

Sfera in campo magnetico uniforme

• Poiché il materiale della sfera è lineare possiamo scrivere la magnetizzazione come

• La magnetizzazione è uniforme e diretta lungo l'asse z

• La magnetizzazione causa una densità di corrente superficiale

• Il problema che ormai abbiamo risolto tante volte

• È la densità di corrente superficiale dovuta alla magnetizzazione che genera il campo dipolare che modifica il campo uniforme

***

Magneti permanenti

• La soluzione del problema magnetostatico in mezzi lineari permette di trovare

• Il potenziale vettore

A

B = ∇×A

• Attraverso le relazioni lineari posiamo inoltre calcolare

• Il campo di intensità magnetica

H = B/μ

• La magnetizzazione

M = χ

H

• Se il problema è relativo a un magnete permanente, in assenza di correnti esterne, il problema si può risolvere in due metodi differenti

• Primo metodo: con il potenziale vettore (

J

= 0, M

• Da questa si giunge come nel caso precedente

• La soluzione è

• Se

M

sulla superficie del magnete compare un termine superficiale

Magneti permanenti

• Secondo metodo: uso di un potenziale scalare (

J

= 0, M

• Quando

J

= 0

• Per definire completamente

H

• Utilizziamo la divergenza di

B

• Utilizzando queste equazioni si ottiene l'equazione per Φ_M

• Abbiamo ancora una volta un'equazione di Poisson

• Per mettere in risalto le analogie con l'elettrostatica definiamo

• La funzione ρ_M(r) rappresenta una FITTIZIA densità di carica magnetica

• La soluzione per questo problema è nota

• L'integrale è da trattare con attenzione perché in generale

ρ

= − ∇⋅M

contiene una parte singolare

pertanto

H

Magneti permanenti

• La presenza di un eventuale integrale di superficie si può comprendere nel modo seguente

• Si può dimostrare che il potenziale magnetico scalare di un dipolo magnetico

m

r′

• Notiamo che è formalmente identico al potenziale di un dipolo elettrico, vedi parte I, diapositive 251 e 285

• Si può pertanto calcolare il potenziale scalare magnetico di un blocco di materia con magnetizzazione

M(r)

• Come in elettrostatica il risultato è

Magneti permanenti

• Pertanto nel caso di una magnetizzazione

M(r)

• L'effetto della magnetizzazione viene rappresentato come dovuto alla presenza di due densità di cariche magnetiche FITTIZIE

• Una densità di volume

ρ

= − ∇⋅M

• Una densità di superficie

σ

= M⋅n

• Nel nostro caso

M

• Il primo integrale è nullo:

∇⋅M = 0

• Il secondo termine si riduce all' integrale su due densità uniformi

• Qualitativamente il campo

H = −∇ Φ

• All'interno del magnete le linee del campo

H

vanno dall'alto verso il basso

• La componente normale di

H

Magneti permanenti

• Non ci sono correnti libere e pertanto

• Se si segue una linea di campo si incontrano le superfici dove le linee cambiano verso

• Confrontiamo con la soluzione ottenuta con il potenziale vettore

• La magnetizzazione

M

• La soluzione con il potenziale vettore fa riferimento alle correnti di magnetizzazione superficiali e di volume

• Il campo generato da una corrente superficiale uniforme è il campo di un solenoide finito con n spire per unità di lunghezza e corrente I tali che

Magneti permanenti

• Qualitativamente il campo

B

• Nel caso di solenoide infinito il campo sarebbe

• All'esterno sarebbe nullo

• Nel caso di lunghezza finita

• Il campo non è uniforme

• La componente tangenziale, parallela alla superficie, è un po' inferiore al valore del solenoide finito

• La discontinuità alla superficie dove c'è la corrente superficiale è

• Proiettiamo lungo z

• Pertanto all'esterno, vicino alla superficie laterale,

B

• Il campo è poco intenso

• Sulle superfici superiore e inferiore non ci sono correnti

• Entrambe le componenti di

B