Equazioni di Maxwell nella materia Problema della magnetostatica Esempi: Guscio sferico di corrente

Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Anno Accademico 2020/2021

Elettromagnetismo

Ferromagnetismo

Equazioni di Maxwell nella materia Problema della magnetostatica Esempi: Guscio sferico di corrente

Lezione n. 37 – 6.05.2021

Esempio: solenoide con nucleo

• Consideriamo un lungo solenoide avvolto su un materiale lineare con suscettività χ_m

• Le spire per unità di lunghezza sono n

• La corrente è I

• Per la simmetria del problema le linee del campo H sono parallele all'asse del cilindro

• Il campo è nullo all'esterno

• Utilizzando la legge di Ampère con il cammino in figura (la corrente esce dal piano)

• Usando la permeabilità del mezzo

• Osserviamo che nel vuoto si ha B = μ₀nI

• L'effetto del mezzo è di generare un campo della stessa forma dovuto a una corrente χ_mnI

• La magnetizzazione è

• Pertanto la corrente di magnetizzazione genera il campo magnetico aggiuntivo

• Se il materiale è paramagnetico il campo è più intenso

• Se il materiale e diamagnetico il campo è meno intenso

Ferromagnetismo

• Abbiamo già dato le caratteristiche essenziali delle forze nei materiali ferromagnetici

• Facendo riferimento alle misure con il solenoide

• La forza è attrattiva e molto intensa

• La forza dipende linearmente dalla corrente

• La forza dipende solo dal gradiente del campo

• La forza si calcola utilizzando la formula

• Per i materiali diamagnetici e paramagnetici abbiamo visto che m ∼ B

• La dipendenza lineare della forza dalla corrente (dal gradiente del campo) nel caso dei materiali ferromagnetici indica che m non varia più con B

• Si è raggiunto un limite di saturazione nell'allineamento dei dipoli magnetici

• La forza è attrattiva e quindi i dipoli si allineano nella direzione del campo

• Infine osserviamo che i materiali ferromagnetici possono essere magnetizzati anche in assenza di campo

• È importante notare che il fenomeno dipende dalla temperatura

• In particolare il ferromagnetismo scompare al di sopra di una certa temperatura caratteristica per ogni sostanza (Temperatura di Curie T_c )

Il campo di un magnete permanente

• Consideriamo un magnete permanente: ad esempio un cilindro di materiale magnetizzato uniformemente

• Non ci sono correnti di magnetizzazione all'interno dato che J_M = ∇×M = 0

• Le correnti superficiali sono date da

• Non ci sono correnti superficiali sulle basi del cilindro:

• C'è una corrente sulla superficie laterale:

• Il campo magnetico generato dalla corrente superficiale è quello generato da un solenoide di lunghezza finita

• Osserviamo che B e M non sono paralleli

• Inoltre

• Neppure H e M sono paralleli

• Evidentemente non è solo B a determinare la direzione dei dipoli

Ferromagnetismo

• È interessante interpretare numericamente i dati della tabella, diapositiva

• 1 Kg di ferro subisce una forza di 4000 N con |∂B/∂z| = 17 T/m

• La magnetizzazione |M| corrispondente al momento magnetico m _è

• Questo è il massimo valore della magnetizzazione del ferro (saturazione)

• Abbiamo anche detto che m = Nμ_B

• Dato che nel ferro ci sono circa 1×10²⁹ atomi/m³ concludiamo che ogni atomo contribuisce con due elettroni

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NB: 1 Kg

Elettroni per m³

Ferromagnetismo

• Il fenomeno che stiamo descrivendo è molto complesso

• Diamo adesso alcune spiegazioni qualitative

• Per motivi connessi alla struttura quantistica dell'atomo di ferro due elettroni di atomi adiacenti si trovano in uno stato energeticamente conveniente quando i loro spin sono allineati

• Questa circostanza tende ad allineare gli spin di tanti atomi

• Si tratta di un fenomeno collettivo

• La direzione in cui si allineano è casuale

• In realtà la simmetria del reticolo impone alcune direzioni

• Alcune sono più favorite di altre

• L'allineamento dei momenti magnetici avviene in regioni macroscopiche chiamate domini

• https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2172444

Ferromagnetismo

• È possibile vedere i domini al microscopio

• Microscopi basati sull'effetto Kerr

• Riflessione della luce da superfici magnetizzate

• Nella foto i domini magnetici sono le regioni chiare e scure

• Se il campo esterno cresce i domini si allineano

• Succede anche che si modificano i confini dei domini

• L'animazione mostra l'evoluzione dei domini al crescere dell'intensità di un campo esterno entrante nello schermo

• Le regione bianche indicano una magnetizzazione uscente

• Le regioni scure magnetizzazione entrante

• © By Zureks, Chris Vardon - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5154811

Esempio: toroide con nucleo

• Consideriamo un toroide avvolto intorno ad un nucleo di materiale lineare con permittività magnetica μ = (1+χ_m)μ₀

• Il numero di spire è N, la corrente I

• Le linee del campo H sono delle circonferenze

• Utilizziamo la legge di Ampère per il campo H

• Consideriamo un circonferenza C di raggio r

• Il campo B e la magnetizzazione M sono

• Le densità superficiale di corrente nei punti r = r₁ e r = r₂ è differente

• La corrente di magnetizzazione è ovviamente costante: i_m = K 2πr = χ_mNI

Curva di magnetizzazione

• Supponiamo adesso che il nucleo sia ferromagnetico

• Studiamo sperimentalmente la curva di magnetizzazione

• Per ogni valore di I conosciamo H

• Con uno strumento adatto (sonda Hall) misuriamo B

• Possiamo anche determinare μ definito come μ = B/H

• Potremmo ottenere un grafico del genere

• Osserviamo che le due scale hanno unità diverse

• Se nel toroide non ci fosse il ferro B = μ₀ H

• H ≈ 300 A/m → B = μ₀ H = 4×10⁻⁴ T

• Invece B ≈ 1.3 T, circa 3000 volte più intenso rispetto al toroide vuoto

• Dato che B = μ₀ (H + M) e dato che μ₀ H è piccolissimo, il campo B è praticamente dovuto tutto alla magnetizzazione del ferro

• Orientamento dei domini

• Osserviamo che si raggiunge un regime in cui la magnetizzazione cresce

più lentamente

• Si raggiunge una saturazione

B

μ/μ₀

H, amp/m

B, T μ/μ 0

Isteresi

• Supponiamo adesso di volere ritornare allo stato iniziale O, cioè lo stato H = 0, B = 0

• Riduciamo quindi la corrente nell'avvolgimento fino a raggiungere il valore H = 0

• Si raggiunge lo stato b e si scopre che il campo magnetico B non è tornato a zero

• Ricordiamo che B = μ₀ (H + M)

• Il materiale rimane magnetizzato anche senza eccitazione esterna: M = B /μ₀

• Per riportare a zero la magnetizzazione bisogna eccitare il toroide con una corrente di segno opposto a quella utilizzata inizialmente

• In questo modo si può riportare a zero

la magnetizzazione quando si raggiunge lo stato c in cui μ₀(H+M) = 0

• Continuando a ridurre H si raggiunge un'altra regione di saturazione

• Se a questo punto si fa crescere di nuovo H si raggiunge nuovamente la regione di saturazione nello stato a ma percorrendo una traiettoria nel piano H – B diversa da quella precedente

• Si ha pertanto un comportamento in cui lo stato del sistema dipende dalla sua storia precedente

Equazioni di Maxwell nella materia

• Vogliamo riformulare le equazioni di Maxwell nel caso in cui ci sia materia

• Naturalmente le equazioni nel vuoto sono sempre valide

• Tuttavia diventa molto complesso tenere conto di tutte le sorgenti

• Cariche e correnti dovute a fenomeni di polarizzazione e magnetizzazione

• Risulta conveniente utilizzare i campi D _e H

• Abbiamo già visto la legge di Gauss quando si tiene conto della polarizzazione

• Avevamo inoltre visto che la polarizzazione fa comparire cariche di volume e cariche superficiali

• Se la polarizzazione è funzione del tempo le cariche di polarizzazione fanno comparire delle correnti

• Consideriamo un cilindretto di materia polarizzata

• Per costruzione le basi siano perpendicolari a P

• Sulle due basi c'è una densità di carica ±σ_P = ±P

• La carica sulle due basi è q = ±σ_Pda = ±Pda

• Se il campo elettrico varia nel tempo varierà anche la polarizzazione

• La carica varia nel tempo

Equazioni di Maxwell nella materia

• Se la carica sulle basi varia vuol dire che c'è una corrente che trasporta carica da una base all'altra

• La corrente è il flusso di una densità di corrente

• Il vettore J_P ha le proprietà di una densità di corrente

• In particolare soddisfa l'equazione di continuità

• Pertanto in presenza di materia le cariche e le correnti totali sono

• Come abbiamo già visto per il campo elettrico si tiene conto di ρ_P introducendo il campo D nella legge di Gauss

Equazioni di Maxwell nella materia

• Si può procedere analogamente per la legge di Ampère

• Non richiedono modifiche le equazioni

• Infatti in queste equazioni non appaiono le sorgenti ρ e J

Equazioni di Maxwell nella materia

• Riassumiamo le equazioni di Maxwell nella materia

• Queste equazioni devono essere complementate

• Dalle relazioni fenomenologiche che definiscono i campi D e H

• Ad esempio per i mezzi lineari omogenei

• Dalle condizioni al contorno nel passaggio da un materiale all'altro

mezzo lineare σ_f = 0 K_f = 0

Soluzione di problemi con materiali

• Abbiamo visto che le equazioni fondamentali della magnetostatica sono

• Si tratta di equazioni molto complesse che richiedono metodi di soluzione differenti a seconda della complessità del problema

• Passiamo in rassegna alcuni casi importanti

• Problemi che richiedono l'uso del potenziale vettore A

• In questi problemi la densità di corrente J(r) _{è data}

• Inoltre occorre definire le condizioni al contorno sulle superfici che delimitano il volume in cui si cerca la soluzione

• Occorre definire la componente tangenziale di A

• Per questi problemi le equazione per il potenziale sono

• Combinando

• Nel caso generale (mezzo non lineare) è un'equazione la cui soluzione analitica è praticamente impossibile

Uso del potenziale vettore

• Si ha una notevole semplificazione del problema se il mezzo è lineare

• In questo caso

• Questa equazione può essere messa nella forma (vedi diapositiva )

• Sappiamo che il potenziale vettore è definito a meno di ∇f(r) (f arbitraria)

• Possiamo utilizzare questa indeterminazione per richiedere che ∇⋅A = 0

• L'equazione diventa

• Vediamo pertanto che, in coordinate cartesiane, ciascuna delle componenti di A soddisfa l'equazione di Poisson

• Tuttavia la richiesta ∇⋅A = 0 rende le equazioni dipendenti

• Bisogna inoltre fissare le condizioni al contorno (all'infinito o su confini)

• In coordinate curvilinee le equazioni per A_k non sono separate

• Infine, se ci sono più mezzi, ciascuno di permeabilità μ_i allora in ogni mezzo il potenziale vettore soddisfa l'equazione ∇²A_i = μ_i J

• Le varie soluzioni nei diversi mezzi devono essere raccordate utilizzando le condizioni di discontinuità al confine fra i materiali differenti

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Il problema della magnetostatica

• Approfondiamo il significato dell'equazione

differenziale che definisce il potenziale vettore

• Imponendo il gauge di Coulomb ∇⋅A = 0 si ottiene l'equazione

• Come abbiamo già detto somiglia molto all'equazione di Poisson

• È un'equazione vettoriale

• In coordinate cartesiane ( e SOLO in coordinate cartesiane) equivale a

• Nota la densità di corrente si trova una soluzione particolare

• La soluzione generale è la somma della soluzione

particolare e di una soluzione dell'equazione omogenea che permette di soddisfare le condizioni al contorno

• Normalmente le condizioni al contorno sono le discontinuità all'interfaccia e campi nulli all'infinito

• Normalmente le correnti J non sono modificate dalla presenza di materia

Il problema della magnetostatica

• Studiando l'elettrostatica abbiamo visto che le coordinate curvilinee

permettono di semplificare molto le condizioni al contorno o all'interfaccia

• In elettrostatica l'equazione di Laplace è per il potenziale scalare

• In magnetostatica abbiamo il potenziale vettore

• Il grosso problema è che in coordinate curvilinee i versori dipendono dalle coordinate stesse

• Ad esempio la forma esplicita dell'equazione del potenziale vettore in coordinate sferiche

• Osserviamo che ciascuna delle tre equazioni contiene tutte tre le componenti

• Inoltre deve essere anche soddisfatta ∇⋅A = 0

• In pratica risolubile quando per simmetria alcune delle componenti sono nulle

***

Esempio: guscio sferico di corrente

• Per illustrare i concetti precedenti risolviamo un problema che abbiamo già visto (diapositiva )

• Un guscio sferico di carica che ruota intorno all'asse con velocita angolare Ω

• La corrente superficiale è

• Calcoliamo il prodotto vettoriale

• Otteniamo

• Il problema possiede una simmetria rotazionale intorno all'asse z

• Il potenziale vettore non dipende dall'angolo azimutale φ

• Si può verificare che in coordinate sferiche il potenziale vettore ha solo la componente Aφ(r,θ)

• Il campo B ha solo due componenti

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Esempio: guscio sferico di corrente

• Utilizzando la formula della diapositiva si ha

• Introducendo la formula del laplaciano in coordinate sferiche l'equazione diventa

• Per trovare una soluzione si può procedere nel modo seguente

• All'interno (r < R regione 1) della sfera e all'esterno (r > R, regione 2) il potenziale Aφ soddisfa l'equazione omogenea

• Con il metodo della separazione delle variabili si trovano le soluzioni dell'equazione omogenea

• Saranno delle serie infinite, come nel caso della sfera in elettrostatica

• Si impongono continuità, andamento per r → 0 e r → ∞

• Si calcolano le componenti tangenziali di B (B_θ) per r = R₊ e r = R₋

• Si eguaglia la discontinuità alla corrente superficiale 3541377

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Esempio: guscio sferico di corrente

• Si dimostra che la soluzione generale dell'equazione omogenea ha la forma

• Le funzioni P¹_l(θ) sono le funzioni associate di Legendre

• Nella regione interna alla sfera poniamo D_l = 0 altrimenti il potenziale divergerebbe nell'origine

• Analogamente, all'esterno C_l = 0 altrimenti il potenziale divergerebbe all'infinito

• In definitiva

• La continuità per r = R implica D_l = C_l

• Si verifica facilmente che le componenti radiali di B (normale alla superficie sferica) sono automaticamente continue

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Esempio: guscio sferico di corrente

• Calcoliamo le componenti tangenziali B_θ

• Notiamo che la densità superficiale di corrente è proporzionale a

• Avremo pertanto un sistema di equazioni per l ≠ 1 e una equazione per l = 1

• Per l ≠ 1

• Per l = 1

• In definitiva, nella regione interna alla sfera (r < R) abbiamo

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Esempio: guscio sferico di corrente

• Nella regione esterna alla sfera (r > R) otteniamo

• Da confrontare con il risultato dell'integrazione diretta della formula di Biot e Savart (vedi diapositiva )

• Calcoliamo il campo di induzione magnetica B all'interno del guscio (r < R)

• La componente polare B_θ

• La componente radiale B_r

• Riassumendo

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Esempio: guscio sferico di corrente

• Calcoliamo il campo di induzione magnetica B all'esterno del guscio (r > R)

• La componente polare B_θ

• La componente radiale B_r

• Riassumendo

esterno sfera

interno sfera

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Esempio: guscio sferico di corrente

• All'interno della sfera il campo è uniforme

• È parallelo all'asse z

• Infatti, la quantità tra parentesi è il versore

• All'esterno abbiamo un campo dipolare

• Ricordiamo il campo del dipolo elettrico (diapositiva 272 parte I)

• Notiamo infine che (vedi diap. )

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