Prof. Francesco Ragusa
Università degli Studi di Milano
Anno Accademico 2020/2021
Elettromagnetismo
Ferromagnetismo
Equazioni di Maxwell nella materia Problema della magnetostatica Esempi: Guscio sferico di corrente
Lezione n. 37 – 6.05.2021
Esempio: solenoide con nucleo
• Consideriamo un lungo solenoide avvolto su un materiale lineare con suscettività χm
• Le spire per unità di lunghezza sono n
• La corrente è I
• Per la simmetria del problema le linee del campo H sono parallele all'asse del cilindro
• Il campo è nullo all'esterno
• Utilizzando la legge di Ampère con il cammino in figura (la corrente esce dal piano)
• Usando la permeabilità del mezzo
• Osserviamo che nel vuoto si ha B = μ0nI
• L'effetto del mezzo è di generare un campo della stessa forma dovuto a una corrente χmnI
• La magnetizzazione è
• Pertanto la corrente di magnetizzazione genera il campo magnetico aggiuntivo
• Se il materiale è paramagnetico il campo è più intenso
• Se il materiale e diamagnetico il campo è meno intenso
Ferromagnetismo
• Abbiamo già dato le caratteristiche essenziali delle forze nei materiali ferromagnetici
• Facendo riferimento alle misure con il solenoide
• La forza è attrattiva e molto intensa
• La forza dipende linearmente dalla corrente
• La forza dipende solo dal gradiente del campo
• La forza si calcola utilizzando la formula
• Per i materiali diamagnetici e paramagnetici abbiamo visto che m ∼ B
• La dipendenza lineare della forza dalla corrente (dal gradiente del campo) nel caso dei materiali ferromagnetici indica che m non varia più con B
• Si è raggiunto un limite di saturazione nell'allineamento dei dipoli magnetici
• La forza è attrattiva e quindi i dipoli si allineano nella direzione del campo
• Infine osserviamo che i materiali ferromagnetici possono essere magnetizzati anche in assenza di campo
• È importante notare che il fenomeno dipende dalla temperatura
• In particolare il ferromagnetismo scompare al di sopra di una certa temperatura caratteristica per ogni sostanza (Temperatura di Curie Tc )
Il campo di un magnete permanente
• Consideriamo un magnete permanente: ad esempio un cilindro di materiale magnetizzato uniformemente
• Non ci sono correnti di magnetizzazione all'interno dato che JM = ∇×M = 0
• Le correnti superficiali sono date da
• Non ci sono correnti superficiali sulle basi del cilindro:
• C'è una corrente sulla superficie laterale:
• Il campo magnetico generato dalla corrente superficiale è quello generato da un solenoide di lunghezza finita
• Osserviamo che B e M non sono paralleli
• Inoltre
• Neppure H e M sono paralleli
• Evidentemente non è solo B a determinare la direzione dei dipoli
Ferromagnetismo
• È interessante interpretare numericamente i dati della tabella, diapositiva
• 1 Kg di ferro subisce una forza di 4000 N con |∂B/∂z| = 17 T/m
• La magnetizzazione |M| corrispondente al momento magnetico m è
• Questo è il massimo valore della magnetizzazione del ferro (saturazione)
• Abbiamo anche detto che m = NμB
• Dato che nel ferro ci sono circa 1×1029 atomi/m3 concludiamo che ogni atomo contribuisce con due elettroni
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NB: 1 Kg
Elettroni per m3
Ferromagnetismo
• Il fenomeno che stiamo descrivendo è molto complesso
• Diamo adesso alcune spiegazioni qualitative
• Per motivi connessi alla struttura quantistica dell'atomo di ferro due elettroni di atomi adiacenti si trovano in uno stato energeticamente conveniente quando i loro spin sono allineati
• Questa circostanza tende ad allineare gli spin di tanti atomi
• Si tratta di un fenomeno collettivo
• La direzione in cui si allineano è casuale
• In realtà la simmetria del reticolo impone alcune direzioni
• Alcune sono più favorite di altre
• L'allineamento dei momenti magnetici avviene in regioni macroscopiche chiamate domini
• https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2172444
Ferromagnetismo
• È possibile vedere i domini al microscopio
• Microscopi basati sull'effetto Kerr
• Riflessione della luce da superfici magnetizzate
• Nella foto i domini magnetici sono le regioni chiare e scure
• Se il campo esterno cresce i domini si allineano
• Succede anche che si modificano i confini dei domini
• L'animazione mostra l'evoluzione dei domini al crescere dell'intensità di un campo esterno entrante nello schermo
• Le regione bianche indicano una magnetizzazione uscente
• Le regioni scure magnetizzazione entrante
• © By Zureks, Chris Vardon - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5154811
Esempio: toroide con nucleo
• Consideriamo un toroide avvolto intorno ad un nucleo di materiale lineare con permittività magnetica μ = (1+χm)μ0
• Il numero di spire è N, la corrente I
• Le linee del campo H sono delle circonferenze
• Utilizziamo la legge di Ampère per il campo H
• Consideriamo un circonferenza C di raggio r
• Il campo B e la magnetizzazione M sono
• Le densità superficiale di corrente nei punti r = r1 e r = r2 è differente
• La corrente di magnetizzazione è ovviamente costante: im = K 2πr = χmNI
Curva di magnetizzazione
• Supponiamo adesso che il nucleo sia ferromagnetico
• Studiamo sperimentalmente la curva di magnetizzazione
• Per ogni valore di I conosciamo H
• Con uno strumento adatto (sonda Hall) misuriamo B
• Possiamo anche determinare μ definito come μ = B/H
• Potremmo ottenere un grafico del genere
• Osserviamo che le due scale hanno unità diverse
• Se nel toroide non ci fosse il ferro B = μ0 H
• H ≈ 300 A/m → B = μ0 H = 4×10−4 T
• Invece B ≈ 1.3 T, circa 3000 volte più intenso rispetto al toroide vuoto
• Dato che B = μ0 (H + M) e dato che μ0 H è piccolissimo, il campo B è praticamente dovuto tutto alla magnetizzazione del ferro
• Orientamento dei domini
• Osserviamo che si raggiunge un regime in cui la magnetizzazione cresce
più lentamente
• Si raggiunge una saturazione
B
μ/μ0
H, amp/m
B, T μ/μ 0
Isteresi
• Supponiamo adesso di volere ritornare allo stato iniziale O, cioè lo stato H = 0, B = 0
• Riduciamo quindi la corrente nell'avvolgimento fino a raggiungere il valore H = 0
• Si raggiunge lo stato b e si scopre che il campo magnetico B non è tornato a zero
• Ricordiamo che B = μ0 (H + M)
• Il materiale rimane magnetizzato anche senza eccitazione esterna: M = B /μ0
• Per riportare a zero la magnetizzazione bisogna eccitare il toroide con una corrente di segno opposto a quella utilizzata inizialmente
• In questo modo si può riportare a zero
la magnetizzazione quando si raggiunge lo stato c in cui μ0(H+M) = 0
• Continuando a ridurre H si raggiunge un'altra regione di saturazione
• Se a questo punto si fa crescere di nuovo H si raggiunge nuovamente la regione di saturazione nello stato a ma percorrendo una traiettoria nel piano H – B diversa da quella precedente
• Si ha pertanto un comportamento in cui lo stato del sistema dipende dalla sua storia precedente
Equazioni di Maxwell nella materia
• Vogliamo riformulare le equazioni di Maxwell nel caso in cui ci sia materia
• Naturalmente le equazioni nel vuoto sono sempre valide
• Tuttavia diventa molto complesso tenere conto di tutte le sorgenti
• Cariche e correnti dovute a fenomeni di polarizzazione e magnetizzazione
• Risulta conveniente utilizzare i campi D e H
• Abbiamo già visto la legge di Gauss quando si tiene conto della polarizzazione
• Avevamo inoltre visto che la polarizzazione fa comparire cariche di volume e cariche superficiali
• Se la polarizzazione è funzione del tempo le cariche di polarizzazione fanno comparire delle correnti
• Consideriamo un cilindretto di materia polarizzata
• Per costruzione le basi siano perpendicolari a P
• Sulle due basi c'è una densità di carica ±σP = ±P
• La carica sulle due basi è q = ±σPda = ±Pda
• Se il campo elettrico varia nel tempo varierà anche la polarizzazione
• La carica varia nel tempo
Equazioni di Maxwell nella materia
• Se la carica sulle basi varia vuol dire che c'è una corrente che trasporta carica da una base all'altra
• La corrente è il flusso di una densità di corrente
• Il vettore JP ha le proprietà di una densità di corrente
• In particolare soddisfa l'equazione di continuità
• Pertanto in presenza di materia le cariche e le correnti totali sono
• Come abbiamo già visto per il campo elettrico si tiene conto di ρP introducendo il campo D nella legge di Gauss
Equazioni di Maxwell nella materia
• Si può procedere analogamente per la legge di Ampère
• Non richiedono modifiche le equazioni
• Infatti in queste equazioni non appaiono le sorgenti ρ e J
Equazioni di Maxwell nella materia
• Riassumiamo le equazioni di Maxwell nella materia
• Queste equazioni devono essere complementate
• Dalle relazioni fenomenologiche che definiscono i campi D e H
• Ad esempio per i mezzi lineari omogenei
• Dalle condizioni al contorno nel passaggio da un materiale all'altro
mezzo lineare σf = 0 Kf = 0
Soluzione di problemi con materiali
• Abbiamo visto che le equazioni fondamentali della magnetostatica sono
• Si tratta di equazioni molto complesse che richiedono metodi di soluzione differenti a seconda della complessità del problema
• Passiamo in rassegna alcuni casi importanti
• Problemi che richiedono l'uso del potenziale vettore A
• In questi problemi la densità di corrente J(r) è data
• Inoltre occorre definire le condizioni al contorno sulle superfici che delimitano il volume in cui si cerca la soluzione
• Occorre definire la componente tangenziale di A
• Per questi problemi le equazione per il potenziale sono
• Combinando
• Nel caso generale (mezzo non lineare) è un'equazione la cui soluzione analitica è praticamente impossibile
Uso del potenziale vettore
• Si ha una notevole semplificazione del problema se il mezzo è lineare
• In questo caso
• Questa equazione può essere messa nella forma (vedi diapositiva )
• Sappiamo che il potenziale vettore è definito a meno di ∇f(r) (f arbitraria)
• Possiamo utilizzare questa indeterminazione per richiedere che ∇⋅A = 0
• L'equazione diventa
• Vediamo pertanto che, in coordinate cartesiane, ciascuna delle componenti di A soddisfa l'equazione di Poisson
• Tuttavia la richiesta ∇⋅A = 0 rende le equazioni dipendenti
• Bisogna inoltre fissare le condizioni al contorno (all'infinito o su confini)
• In coordinate curvilinee le equazioni per Ak non sono separate
• Infine, se ci sono più mezzi, ciascuno di permeabilità μi allora in ogni mezzo il potenziale vettore soddisfa l'equazione ∇2Ai = μi J
• Le varie soluzioni nei diversi mezzi devono essere raccordate utilizzando le condizioni di discontinuità al confine fra i materiali differenti
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Il problema della magnetostatica
• Approfondiamo il significato dell'equazione
differenziale che definisce il potenziale vettore
• Imponendo il gauge di Coulomb ∇⋅A = 0 si ottiene l'equazione
• Come abbiamo già detto somiglia molto all'equazione di Poisson
• È un'equazione vettoriale
• In coordinate cartesiane ( e SOLO in coordinate cartesiane) equivale a
• Nota la densità di corrente si trova una soluzione particolare
• La soluzione generale è la somma della soluzione
particolare e di una soluzione dell'equazione omogenea che permette di soddisfare le condizioni al contorno
• Normalmente le condizioni al contorno sono le discontinuità all'interfaccia e campi nulli all'infinito
• Normalmente le correnti J non sono modificate dalla presenza di materia
Il problema della magnetostatica
• Studiando l'elettrostatica abbiamo visto che le coordinate curvilinee
permettono di semplificare molto le condizioni al contorno o all'interfaccia
• In elettrostatica l'equazione di Laplace è per il potenziale scalare
• In magnetostatica abbiamo il potenziale vettore
• Il grosso problema è che in coordinate curvilinee i versori dipendono dalle coordinate stesse
• Ad esempio la forma esplicita dell'equazione del potenziale vettore in coordinate sferiche
• Osserviamo che ciascuna delle tre equazioni contiene tutte tre le componenti
• Inoltre deve essere anche soddisfatta ∇⋅A = 0
• In pratica risolubile quando per simmetria alcune delle componenti sono nulle
***
Esempio: guscio sferico di corrente
• Per illustrare i concetti precedenti risolviamo un problema che abbiamo già visto (diapositiva )
• Un guscio sferico di carica che ruota intorno all'asse con velocita angolare Ω
• La corrente superficiale è
• Calcoliamo il prodotto vettoriale
• Otteniamo
• Il problema possiede una simmetria rotazionale intorno all'asse z
• Il potenziale vettore non dipende dall'angolo azimutale φ
• Si può verificare che in coordinate sferiche il potenziale vettore ha solo la componente Aφ(r,θ)
• Il campo B ha solo due componenti
***
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Esempio: guscio sferico di corrente
• Utilizzando la formula della diapositiva si ha
• Introducendo la formula del laplaciano in coordinate sferiche l'equazione diventa
• Per trovare una soluzione si può procedere nel modo seguente
• All'interno (r < R regione 1) della sfera e all'esterno (r > R, regione 2) il potenziale Aφ soddisfa l'equazione omogenea
• Con il metodo della separazione delle variabili si trovano le soluzioni dell'equazione omogenea
• Saranno delle serie infinite, come nel caso della sfera in elettrostatica
• Si impongono continuità, andamento per r → 0 e r → ∞
• Si calcolano le componenti tangenziali di B (Bθ) per r = R+ e r = R−
• Si eguaglia la discontinuità alla corrente superficiale 3541377
***
Esempio: guscio sferico di corrente
• Si dimostra che la soluzione generale dell'equazione omogenea ha la forma
• Le funzioni P1l(θ) sono le funzioni associate di Legendre
• Nella regione interna alla sfera poniamo Dl = 0 altrimenti il potenziale divergerebbe nell'origine
• Analogamente, all'esterno Cl = 0 altrimenti il potenziale divergerebbe all'infinito
• In definitiva
• La continuità per r = R implica Dl = Cl
• Si verifica facilmente che le componenti radiali di B (normale alla superficie sferica) sono automaticamente continue
***
Esempio: guscio sferico di corrente
• Calcoliamo le componenti tangenziali Bθ
• Notiamo che la densità superficiale di corrente è proporzionale a
• Avremo pertanto un sistema di equazioni per l ≠ 1 e una equazione per l = 1
• Per l ≠ 1
• Per l = 1
• In definitiva, nella regione interna alla sfera (r < R) abbiamo
***
Esempio: guscio sferico di corrente
• Nella regione esterna alla sfera (r > R) otteniamo
• Da confrontare con il risultato dell'integrazione diretta della formula di Biot e Savart (vedi diapositiva )
• Calcoliamo il campo di induzione magnetica B all'interno del guscio (r < R)
• La componente polare Bθ
• La componente radiale Br
• Riassumendo
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Esempio: guscio sferico di corrente
• Calcoliamo il campo di induzione magnetica B all'esterno del guscio (r > R)
• La componente polare Bθ
• La componente radiale Br
• Riassumendo
esterno sfera
interno sfera
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Esempio: guscio sferico di corrente
• All'interno della sfera il campo è uniforme
• È parallelo all'asse z
• Infatti, la quantità tra parentesi è il versore
• All'esterno abbiamo un campo dipolare
• Ricordiamo il campo del dipolo elettrico (diapositiva 272 parte I)
• Notiamo infine che (vedi diap. )
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