Teoremi e leggi base 3. Teoremi di Thevenin e Norton 4. Componenti 5. Analisi nodale 11. Circuito del primo ordine 13. Circuito del secondo ordine 15

Elettrotecnica

Teoremi e leggi base 3

Teoremi di Thevenin e Norton 4

I. Teorema di Thevenin 4

Componenti 5

I. Relazione costitutiva 5

II. Trasformazioni 5

V. Amplificatore operazionale 6

III. Generatori pilotati 7

IV. Diodo ideale 7

VI. Doppi bipoli 8

VI. Componenti dinamici 9

VII. Curve caratteristiche 10

IIX. Caratterizzazioni dei componenti 10

Analisi nodale 11

I. Forma matriciale 11

Circuito del primo ordine 13

I. Algoritmo per trovare 13

II. Doppio transitorio 14

Circuito del secondo ordine 15

I. Metodo delle equazioni di stato per trovare 15

Fasori 17

I. Risposta ad un ingresso sinusoidale 17

II. Circuiti del primo ordine con interruttore con fasori 17

III. Componenti 18

Potenza 19

I. Formule potenza 19

II. Teorema di Bucherot 19

III. Massimo trasferimento di potenza 19

IV. Energia 20

V. Rifasamento 20

Trasformatori 21

I. Trasformatore ideale 21

II. Rete di adattamento 22

Circuiti magnetici 23

Risposta in frequenza 25

I. Funzioni di rete 25

II. Risposta in ampiezza e in fase 25

III. Risonanza 26

IV. Filtri base 26

Appendice 27

I. Macchine rotanti lineari 27

II. Motore 27

III. Generatore 27

IV. Grafici del secondo ordine 28

Teoremi e leggi base

Leggi di Kirchhoff Corrente

La somma algebrica (entranti e uscenti hanno segni diversi) delle correnti in un nodo è nulla

Tensione

La somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla

Teorema di Tellegen

La somma algebrica delle potenze assorbite da tutti gli elementi di un circuito è nulla in ogni istante

Teorema di sostituzione

Prese due reti qualsiasi collegate tra loro è possibile sostituire ad una delle due un generatore ad essa equivalente (a seconda della controllabilità) Sostituzioni:

Controllabile in tensione e corrente generatore di tensione o generatore di corrente Controllabile in corrente generatore di corrente

Controllabile in tensione generatore di tensione Principio di sovrapposizione

In un circuito resistivo lineare qualunque tensione o corrente è la somma degli effetti dei singoli generatori indipendenti quando agiscono uno alla volta Sostituzioni (metodo di spegnimento):

Generatore di tensione cortocircuito Generatore di corrente circuito aperto Generatori controllati rimangono invariati Convenzione dei segni di un bipolo

Partitore di tensione

Maglia singola con tutte le resistenze in serie

Partitore di corrente

Tutte le resistenze in parallelo con il generatore di corrente

L K C : n k=1∑ik = 0

L K T : n k=1∑vk = 0

n

k=1∑vk ⋅ ik = 0

⇒

⇒

⇒

→

→

→

vk = Rk Rtot ⋅ v

ik = Gk

Gtot ⋅ i = ∏Ri

∑ Ri ⋅ 1 Rk ⋅ i

p > 0 assorbita p < 0 erogata

p > 0 erogata p < 0 assorbita

Teoremi di Thevenin e Norton

I. Teorema di Thevenin

Un circuito resistivo lineare, accessibile da due terminali, è equivalente ad un generatore indipendente di tensione in serie ad un resistore. La tensione del generatore è la tensione che si ha tra i terminali quando sono aperti, la resistenza del resistore di Thevenin è la resistenza equivalente al circuito quando i generatori indipendenti sono spenti (si usa il solito metodo di spegnimento). E' utile per rendere più semplice una rete non lineare, basta estrarre i componenti non lineari e ridurre i rimanenti.

Algoritmo

1. Apro il circuito ai morsetti e calcolo la tensione ai capi per ottenere la tensione di Thevenin , la tensione si prende verso l'alto (entrante nel nodo in alto)

2. Calcolo la resistenza equivalente del circuito sostituendo i generatori (corrente circuito aperto, tensione cortocircuito) Algoritmo con metodo del generatore arbitrario (si usa con amplificatori operazionali o generatori pilotati)

1. Apro il circuito ai morsetti e calcolo la tensione ai capi per ottenere la tensione di Thevenin

2. Metto un generatore di corrente/tensione di sonda al posto dei morsetti e spengo tutti i generatori indipendenti (corrente circuito aperto, tensione cortocircuito)

3. Ricavo la tensione sul generatore di sonda in funzione di oppure ricavo la corrente sul generatore di sonda in funzione di (con la convenzione dei generatori)

4. Ricavo la resistenza equivalente facendo

II. Teorema di Thevenin

Un circuito resistivo lineare, accessibile da due terminali, è equivalente ad un generatore indipendente di corrente in parallelo ad un resistore. La corrente del generatore è la corrente che si ha tra i terminali quando sono in cortocircuito, la resistenza del resistore di Norton è la resistenza equivalente al circuito quando i generatori indipendenti sono spenti (si usa il solito metodo di spegnimento). E' utile per rendere più semplice una rete non lineare, basta estrarre i componenti non lineari e ridurre i rimanenti.

Algoritmo

1. Chiudo il circuito ai morsetti e calcolo la corrente che scorre sul cortocircuito per ottenere la corrente di Norton , la corrente si prende verso il basso (uscite dal nodo in alto)

2. Calcolo la resistenza equivalente del circuito sostituendo i generatori (corrente circuito aperto, tensione cortocircuito) Algoritmo con metodo del generatore arbitrario

1. Chiudo il circuito ai morsetti e calcolo la corrente che scorre sul cortocircuito per ottenere la corrente di Norton

2. Metto un generatore di corrente/tensione di sonda al posto dei morsetti e spengo tutti i generatori indipendenti (corrente circuito aperto, tensione cortocircuito)

3. Ricavo la tensione sul generatore di sonda in funzione di oppure ricavo la corrente sul generatore di sonda in funzione di (con la convenzione dei generatori)

4. Ricavo l'induttanza equivalente facendo

Passaggio Thevenin Norton

-

- 


v = Rth ⋅ i + Eth

Gno = 1 Rth

Eth

→ →

Eth

→

→

Vs Is Is Vs

Req = Vs Is

i = Gno ⋅ v + Ano Rth = 1

Gno

ANo

→ →

ANo

→

→

Vs Is Is Vs

Geq = Is Vs

↔

Thevenin → Norton ⇔ se Zeq ≠ 0 R ≠ 0 Norton → Thevenin ⇔ se 1

Zeq ≠ 0 G ≠ 0

Ano Geq Eth Req

Componenti

I. Relazione costitutiva

II. Trasformazioni

Stella triangolo

Tipo serie tipo parallelo

Convenzione dei generatori Convenzione degli utilizzatori f (v, i ) = 0

m v + n i + h = 0

Dipolo controllabile in tensione m ≠ 0

v = − nm⋅ i − hm = R i + v0 = Ri + E

Resistore

è la conduttanza e si calcola in siemens/mho

i = 1Rv = G v

G _[^A_{V= Ω−1]}

Dipolo controllabile in corrente n ≠ 0

i = − mn ⋅ v − hn = G v + i0 = G v + A

Cortocircuito ideale

Dato da un resistore con resistenza nulla o un generatore con tensione a vuoto nulla

v = 0

Generatore di tensione v = E ⇒ R = 0

Circuito aperto ideale

Dato da un resistore con conduttanza nulla o un generatore con corrente a vuoto nulla

i = 0 Resistore

è la resistenza e si calcola in ohm

v = R i

R _[^V_{A= Ω]}

Generatore di corrente i = A ⇒ G = 0

Generatori di tensione in serie

In parallelo hanno senso solo se hanno stesso valore di

v = Eeq = ∑ Ei E

Generatori di corrente in parallelo

In serie hanno senso solo se hanno stesso valore di

i = Aeq = ∑ Ai A

↔ Resistori in serie Req = ∑ Ri

Resistori in parallelo Geq = ∑Gi = ∑1 Ri

Δ →

Ga = G1 ⋅ G3

G1 + G2 + G3 Gb = G2 ⋅ G3

G1 + G2 + G3 Gc = G1 ⋅ G2

G1 + G2 + G3 Y

→ Δ

R1 = Ra ⋅ Rc

Ra + Rb + Rc R2 = Rb ⋅ Rc

Ra + Rb + Rc R3 = Ra ⋅ Rb

Ra + Rb + Rc

↔

Valori tipici delle grandezze Rin 105 → 1012Ω Rout 5 → 50Ω

A 105 → 108

R≠0 G≠0 R≠0

G≠0

V. Amplificatore operazionale

Componente elettronico che è in grado di amplificare un segnale sfruttando i generatori di tensione che ha al suo interno Amplificatore operazionale ideale

Il comportamento in regione lineare è garantito dal collegamento tra ingresso invertente (-) e uscita

(resistenza in ingresso)

considero un circuito aperto tra i terminali in ingresso

(resistenza in uscita)

(tensione differenziale)

i nodi collegati all'ingresso e all'uscita hanno stesso potenziale

Circuito equivalente nella regione di funzionamento lineare

Potenza

Composizioni tipiche

v+ = v− = vout Rin ∼ ∞

⇒

⇒ i+ = i− = 0 Rout = 0 vd = v+ − v− ∼ 0

⇒

p (t ) = iout(t) ⋅ vout(t)

Buffer di tensione o inseguitore di tensione

vout = vin

Amplificatore differenziale

vout =R2

R1(v1 − v2)

Amplificatore sommatore

vout = − Rout (v1

R1+ v2 R2 +v3

R3) Amplificatore invertente

Componente che fornisce tensione in uscita maggiore di quella in ingresso se e che restituisce una tensione che presenta polarità opposta rispetto a quella in ingresso

vout = −R2 R1⋅ vin

R2 > R1 Amplificatore non invertente

vout = vin(1+R2

R1)

Amplificatore operazionale reale, per quello ideale non esiste relazione tra i due potenziali

III. Generatori pilotati

IV. Diodo ideale

Componente elettronico passivo non lineare a due terminali la cui funzione è quella di permettere il flusso di corrente elettronica solo in un verso

Polarizzazione diretta : la corrente fluisce nel verso convenzionalmente positivo quindi il diodo conduce Polarizzazione inversa : la corrente fluisce nel verso convenzionalmente negativo quindi il diodo non conduce

Current controlled current source

è il guadagno in corrente ed è adimensionale

i = β ⋅ i1 β

Voltage controlled voltage source

è il guadagno in tensione ed è adimensionale

v = α ⋅ v1 α Current controlled voltage source

è la trans resistenza v = rm ⋅ i1 rm Voltage controlled current source

è la trans conduttanza i = gm ⋅ v1

gm

i(t)

v(t)

VI. Doppi bipoli

Relazioni costitutive

Modellizzazione di un doppio bipolo Con generatori controllati

Controllabilità in tensione generatore pilotato di tensione Controllabilità in corrente generatore pilotato di corrente

Termine aggiuntivo di tensione generatore indipendente di tensione in serie Termine aggiuntivo di corrente generatore indipendente di corrente in parallelo Resistenza in serie = valore moltiplicato per una corrente uguagliato ad una tensione

Resistenza in parallelo (conduttanza) = valore moltiplicato per una tensione uguagliato ad una corrente Formulazione R Formulazione G

Formulazione H Formulazione H'

Con generatori indipendenti

La formulazione con modello a T o a (con resistori e generatori indipendenti) per un doppio bipolo esiste se la matrice della formulazione (R o G) è simmetrica

Doppi bipoli reciproci

Si dicono reciproci bipoli che hanno i termini sulla diagonale secondaria delle formulazioni G e R uguali, quindi se le matrici sono simmetrich Potenza

NB Attenzione alle convenzioni di utilizzatore e generatore

es. Se attaccati ci sono due generatori allora la potenza assorbita dal doppio bipolo è uguale alla potenza generata da questi due, se invece sono attaccati un generatore e un componente resistivo allora la potenza assorbita dal doppio bipolo è la potenza generata dal generatore meno la potenza assorbita dal componente resistivo

Connessione in cascata

Si può trovare la matrice di trasmissione dal primo ingresso all'ultima uscita

es.

F (v, i ) = 0 {f1(v1,v2, i1, i2) = 0

f2(v1,v2, i1, i2) = 0 M v + N i + h = 0

H : [V1

I2]=[h11 h12 h21 h22][I1

V2]+ [E1 A2]

Matrice delle resistenze

Matrice delle conduttanze

Matrice ibrida 1

Matrice ibrida 2

Matrice di trasmissione diretta

Matrice di trasmissione inversa

Le grandezze forzanti sono quelle a destra (v1,v2) ← (i1, i2) : R

(i1, i2) ← (v1,v2) : G (v1, i2) ← (i1,v2) : H (i1,v2) ← (v1, i2) : H′

(v1, i1) ← (v2, − i2) : T (v2, − i2) ← (v1, i1) : T′

→

→

→

→

Π R = [ RA + RC RC

RC RB + RC]

G = [ GA + GC −GC

−GC GB + GC]

Ptot = Pporta 1 + Pporta 2 = i1v1 + i2v2

i1 v1

i2 v2

T1 T2 T3 → Tt ot

Tt ot = T1 ⋅ T2 ⋅ T3

g 22 g 21v1 g12 v2

g11 A2

h 22 h 21i1 h12 v2 h11 E1

A2 h ′11

h ′12i2 h ′21v1

h ′22 E 2 A1

r 21i1 r 22 r 12i2 r 11

E1 E 2

A1

A1 A2

GC

GA GB

E1 E 2

RA RB

RC

Cambio di formulazione

Si possono usare queste formule oppure semplicemente esplicitare le grandezze richieste dalla formulazione

1. Scrivo in forma di sistema la formulazione e porto a sinistra tutti i termini con incognite

2. Costruisco una matrice dei coefficienti dei termini di cui devo scrivere la formulazione (i termini a sinistra, quindi se ) 3. Non esiste la formulazione se la matrice ha determinante nullo, se ha determinante diverso da zero esiste unica

es 1.27

Metodo delle prove semplici

Procedimento risolutivo usato per trovare la formulazione di un circuito generico avente due bipoli eventualmente non lineari collegati tramite una rete lineare

Algoritmo per trovare le equazioni di stato di un doppio bipolo generico

1. Si sceglie cosa forzare ai capi della rete lineare (due generatori di tensione, due di corrente o uno e uno).

2. Si calcolano separatamente i tre effetti:

• Rete accesa con circuito aperto (generatore di corrente) o cortocircuito (generatore di tensione) ai lati - per trovare le costanti da sommare

• Rete spenta con un generatore su uno dei due lati e l'altro con sostituto - per trovare i termini a sinistra della matrice (11 e 21)

• Rete spenta con un generatore sull'altro lato e l'altro con sostituto - per trovare i termini a destra della matrice (12 e 22) 3. Si sommano i tre effetti per il principio di sovrapposizione e si trovano le due equazioni cercate.

Algoritmo per trovare la formulazione T di un doppio bipolo 1. Si collega un amplificatore operazionale al doppio bipolo 2. Si pone in serie un generatore di tensione alla porta superiore

A. Si risolve il circuito così composto trovando e in funzione di con dato dall'op amp

B. Si ricavano e

3. Si pone in parallelo un generatore di corrente

A. Si risolve il circuito così composto trovando e in funzione di con dato dall'op amp

B. Si ricavano e

VI. Componenti dinamici

v1 e i2 (v1, i2) ← (i1,v2)

v1 i1 v2 i2 = 0

t11 = v1

v2 i2=0 t21 = i1 v2 i2=0

v1 i1 i2 v2 = 0

t12 = i1

i2 v2=0 t22 = v1 i2 v2=0

Condensatore

Se è costante si può sostituire con un circuito aperto i (t ) = C ⋅ d v (t )d t

q = C v v (t ) = v (t0) +1

C ∫ t t0i (t ) d t Ec = 1

2C v2 v

In serie :

In parallelo : Leq = n

k=1∑Lk 1 Leq = n

k=1∑ 1 Lk Induttore

Se è costante si può sostituire con un cortocircuito v (t ) = L ⋅ d i (t )d t

ϕ = L i i (t ) = i (t0) +1

L ∫ t t0v (t ) d t El =1

2L i2 i

In serie :

In parallelo : 1 Ceq = n

k=1∑ 1 Ck Ceq = n

k=1∑Ck

La condizione iniziale t0 può essere nulla anche se diversa da 0

v 2

i 2

VII. Curve caratteristiche

Le curve caratteristiche sono funzioni che esprimono la relazione tra tensione e corrente per un dipolo.

Cambio di convenzione

Cambiare verso alla corrente significa fare una simmetria rispetto all'asse della tensione Cambiare verso alla tensione significa fare una simmetria rispetto all'asse della corrente Algoritmo per la composizione

1. Prendere tutti i componenti con tensione e corrente concordi a quella richiesta e scriverne i giusti grafici delle caratteristiche

2. Se i componenti sono in serie si sommano le tensioni a parità di corrente, mentre se sono in parallelo si sommano le correnti a parità di tensione

3. Calcolare il punto di lavoro, punto di funzionamento di due pezzi del circuito, graficamente sovrapponendo le caratteristiche trovate: il punto in cui si intersecano dice qual è il valore di funzionamento

NB Il punto di lavoro si calcola con la convenzione del generatore sul generatore e la convenzione data sul bipolo (generalmente è quella dell'utilizzatore) 4. Per ricavare i valori specifici di tensione e corrente che hanno alcuni bipoli al punto di lavoro si torna indietro guardando i grafici ed eventualmente

facendo delle LKC o LKT per ricavare alcune grandezze

IIX. Caratterizzazioni dei componenti

Componente lineare

Un componente si dice lineare se la sua curva caratteristica è una retta Componente attivo o passivo

Componente passivo : la sua curva caratteristica passa solo per il primo e il terzo quadrante (utilizzando la convenzione degli utilizzatori) Componente attivo : la sua curva caratteristica passa anche in un solo punto per il secondo o quarto quadrante (utilizzando la convenzione degli utilizzatori)

Componente controllabile in tensione o corrente

Un componente si dice controllabile in tensione quando la sua curva caratteristica è iniettiva rispetto alla tensione (utilizzando la convenzione degli utilizzatori)

= non ci sono più valori di corrente associati ad una stessa tensione (esso ammette una e una sola corrente per ogni valore di tensione) Un componente si dice controllabile in corrente quando la sua curva caratteristica è iniettiva rispetto alla corrente (utilizzando la convenzione degli utilizzatori)

= non ci sono più valori di tensione associati ad una stessa corrente (esso ammette una e una sola tensione per ogni valore di corrente)
 Diodo

Convenzione degli utilizzatori Resistore

Convenzione degli utilizzatori v = R i

Generatore di corrente

Convenzione dei generatori i = A Generatore di tensione

Convenzione dei generatori v = E

parallelo serie

v i

v i

v i

v i

v i

v

i A

A P

P

v

i

v

i

v

i

Controllabile in corrente

e tensione Controllabile in tensione

i = g (v) Controllabile in corrente

v = r (i )

Analisi nodale

Procedimento risolutivo per circuiti di bipoli, sia in regime stazionario che sinusoidale, utile per determinare tutti i potenziali ai nodi di un circuito

I. Forma matriciale

Algoritmo base non modificato

1. Scegliere un nodo qualsiasi come nodo di riferimento.

2. Applicare la LKC a tutti i nodi, tranne quello di riferimento.

3. Esprimere tutte le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo (i potenziali di nodo).

4. Risolvere il sistema ottenuto

Algoritmo con generatori indipendenti

1. Scegliere un nodo qualsiasi come nodo di riferimento.

2. Evidenziare eventuali supernodi, relativi ai generatori di tensione non connessi al riferimento (sia normali che pilotati). Ogni supernodo ingloba anche i due nodi ai quali è connesso il generatore.

3. Applicare la LKC a tutti i supernodi e a tutti i nodi rimanenti, escludendo quello di riferimento, e quelli connessi al riferimento solo tramite un generatore di tensione (sia normale che controllato).

4. Esprimere tutte le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo (non di supernodo). Aggiungere i vincoli imposti dai generatori di tensione.

5. Risolvere il sistema ottenuto

Algoritmo con amplificatori operazionali

1. Scegliere un nodo qualsiasi come nodo di riferimento.

2. Evidenziare eventuali supernodi, relativi ai generatori di tensione non connessi al riferimento.

3. Applicare la LKC a tutti i supernodi e a tutti i nodi rimanenti, escludendo:

• Il nodo di riferimento

• I nodi connessi al riferimento tramite un generatore di tensione

• I nodi in uscita dagli amplificatori operazionali

4. Esprimere tutte le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo. Aggiungere i vincoli imposti dai generatori di tensione e dagli amplificatori operazionali.

5. Risolvere il sistema ottenuto

Algoritmo con principio di sovrapposizione

1. Inserire un generatore alla volta con gli altri spenti e ricavare la grandezza desiderata:

• Generatore di tensione cortocircuito

• Generatore di corrente circuito aperto

• Generatori controllati rimangono invariati 2. Sommare algebricamente i risultati ottenuti al punto 1.

→

→

→

Algoritmo di analisi nodale modificata con generatori pilotati La matrice sarà non simmetrica

Circuito del primo ordine

I. Algoritmo per trovare

1. Scrivere le condizioni di apertura o chiusura degli interruttori a seconda del tempo 2. Condizione iniziale

Si calcola il valore della grandezza analizzando il circuito in regime costante, con la topologia del tempo sostituendo:

Condensatore circuito aperto Induttore cortocircuito 3. Soluzione asintotica

Si calcola il valore della grandezza analizzando il circuito in regime costante con la topologia del tempo sostituendo:

Condensatore circuito aperto Induttore cortocircuito 4. Resistenza equivalente

A. Si calcola la resistenza del circuito ai morsetti lasciati liberi dal componente spegnendo i generatori indipendenti

B. Si calcola la resistenza del circuito amplificatori operazionali o generatori pilotati sfruttando il metodo del generatore di sonda/arbitrario: si spengono i generatori indipendenti e si prende la convenzione del generatore per il generatore di sonda

Condensatore generatore indipendente di tensione di valore Induttore generatore indipendente di corrente di valore 5. Stabilità

6. Se il sistema è asintoticamente stabile la soluzione cercata è:

7. Grafico

A. Si segna la condizione iniziale per avere il punto di partenza B. Si segna la condizione finale per avere l'asintoto per C. Si guarda i segni della funzione per capire l'andamento

NB Solo i grafici della tensione del condensatore e della corrente nell'induttore sono continui

8.

Il cambio da a si fa sfruttando le relazioni dei componenti dinamici, quindi derivando o integrando 9. Energia

A. Immagazzinata per

B. Massima accumulata (per la minima accumulata si fa il contrario)

con è massimo

con è massimo

d x (t ) d t + 1

τ x (t ) = u (t )

x(t)

x (t0)

t− 0

→

→

x (∞)

t = ∞

→

→

→ vC(t)

→ iL(t)

Asintoticamente stabile

Instabile τ ≤ 0 Req ≤ 0

Req > 0 τ > 0

x (t ) = [x (t0) − x (∞)] ⋅ e−t − t0τ + x (∞) Circuito RC :

Circuito RL : τ = R C τ = LR

t → ∞

v (t ) ↔ i(t )

v (t ) i(t )

t → ∞ E = 1

2 L (iL(∞)2 − iL(0)2) E = 1 2 C (vC(∞)2 − vC(0)2)

E = 1

2 L iL(t )2 t = t tale che |iL(t)|

E = 1 2 C vC(t )2 t = t tale che |vC(t)|

Forma della soluzione particolare

Ingresso a rampa u (t ) = u0 + u (t − t0) xp(t ) = xp0 + xp(t − t0)

Ingresso sinusoidale u (t ) = A ⋅ c o s (ω t + ϕ)

xp(t ) = A0 ⋅ c os (ω t ) + A1 ⋅ s i n (ω t ) Ingresso costante

costante costante u (t ) = xp =

Ordine di un circuito

numero di elementi dinamici

numero di maglie costituite solo da condensatori e generatori indipendenti di tensione

numero di linee che tagliano solo induttori o generatori indipendenti di corrente

n = n _d − n _c − n _l n _d

n _c n _l

e t e−t

− e−t

− e t

II. Doppio transitorio

Caso 1 Caso 2

Grafico risultante

Metodo per il calcolo

Si calcola la condizione iniziale al tempo (prima dell'inizio del primo transitorio) e poi si calcola la condizione iniziale al tempo facendo l'integrale della grandezza del componente dinamico

l'inizio del grafico di è una retta (o comunque una funzione dettata dall'integrazione)

t0

t1 x (t )

iL(t1) = iL(t0) + ∫t1 t0

vL(t) L d t vC(t1) = vC(t0) + ∫t1

t0 iC(t)

C d t

⇒ x (t )

Il circuito presenta un primo transitorio tale da non poter calcolare il valore della grandezza per , perché non è asintoticamente stabile.

Si ha .

x (t ) t → ∞ t ≤ 0 ∧ Req ≤ 0

Si calcola la formula del transitorio come se non ci fosse la variazione successiva (quindi il valore per è quello con la topologia del primo transitorio). Trovata la formula per la grandezza si calcola il valore che ha nell'istante di inizio del transitorio successivo (quindi ).

NB Non per forza il grafico raggiunge l'asintoto nel momento di cambio del transitorio

NB In un doppio transitorio bisogna stare attenti ai punti di cambio del transitorio, quindi si calcolano i valori dei grafici in quei punti NB Solo i grafici della tensione del condensatore e della corrente nell'induttore sono continui

t → ∞

x (t )

t x (t )

Il circuito presenta un primo transitorio tale da poter calcolare il valore della grandezza

x (t )

t → ∞

Grafico risultante

Circuito del secondo ordine

I. Metodo delle equazioni di stato per trovare

Algoritmo

1. Trovare le equazioni di stato:

A. Sostituire ogni condensatore con un generatore indipendente di tensione di valore e ogni induttore con un generatore indipendente di corrente di valore con la topologia del circuito al tempo utilizzando la stessa convenzione degli utilizzatori di condensatore e induttore.

NB Le condizioni iniziali si possono trovare solo se c'è un interruttore (o un cambiamento) altrimenti vengono date

B. Studiare il circuito resistivo ottenuto al punto A ricavando la corrente in ciascun condensatore e la tensione ai capi di ciascun induttore (vanno trovati in funzione di e ).

C. Sostituire le espressioni ottenute al punto B nelle relazioni e .

2. Calcolare traccia e determinante per ricavare e :

Frequenze naturali:

3. Stabilità

4. La soluzione cercata è:

d2x (t )

d t2 + 2α d x (t ) d t + ω20x(t) = u(t)

x(t)

{ ·x1 = a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 + u1

·x2 = a21 ⋅ x1 + a22 ⋅ x2 + u2

··x1 − T ·x1 + Δx1 = u(t)

vC

iL t+ 0

iC vL

vC iL

·vC = 1 C iC ·iL = 1 L vL α ω0

α = − T 2 ω0 = Δ

s1, s2 = − α ± α2 − ω20 → s1, s2 = − α ± j ω20 − α2

Asintoticamente stabile

Instabile T ≥ 0

T < 0 ∧ Δ > 0

Caso sovrasmorzato

Caso con smorzamento critico

Caso sottosmorzato

Caso senza smorzamento

x (t ) = A1 ⋅ es1t + A2 ⋅ es2t + x (∞)

x (t ) = [A1 ⋅ cos(βt) + A2 ⋅ sin(βt)] ⋅ e−αt + x (∞)

s1, s2 = − α ± jβ = − α ± j ω20 − α2 x (t ) = A ⋅ e−αt ⋅ c o s (β t + ϕ) + x (∞) A = A21 + A22

ϕ = − arctan(A2 A1) α > ω0

α = 0

x (t ) = (A1 ⋅ t + A2) ⋅ e−αt + x (∞)

α < ω0

Il circuito diventa LC e perde la smorzatura nella risposta

x (t ) = A ⋅ c os (ω0t + ϕ) + x (∞)

5. Ricavare le costanti e per avere l'equazione completa:

A. Si pone nell'equazione e si sostituiscono i valori e per ricavare la prima costante

B. Si prende il sistema di equazioni di stato e si sostituiscono i valori trovati nel punto A per trovare i valori delle derivate in , poi si derivano le equazioni di e sostituendo i valori e si ricava la seconda costante

6. Grafico

A. Si guarda la condizione iniziale e la condizione finale della grandezza e si segna il punto di partenza e l'asintoto per

B. Si studia la derivata prima per capire qual è il punto di massimo o minimo e se è crescente o decrescente, in più si sostituisce il punto trovato per vedere se sta sopra o sotto l'asintoto

C. Si studia la derivata seconda per capire se esistono flessi

NB Solo i grafici della tensione del condensatore e della corrente nell'induttore sono continui

7.

Il cambio da a si fa sfruttando le relazioni dei componenti dinamici, quindi derivando o integrando 8. Energia

A. Immagazzinata per

B. Massima accumulata (per la minima accumulata si fa il contrario)

con è massimo

con è massimo


A1 A2

t = t0 x (t− 0 ) x (∞)

t = t0 x (t ) x (t− · 0 ) x (∞)

t → ∞

v (t ) ↔ i(t )

v (t ) i(t )

t → ∞ E = 1

2 L (iL(∞)2 − iL(0)2) E = 1 2 C (vC(∞)2 − vC(0)2)

E = 1

2 L iL(t )2 t = t tale che |iL(t)|

E = 1 2 C vC(t )2 t = t tale che |vC(t)|

Fasori

Circuito in regime sinusoidale = circuito in cui tutte le variabili sono sinusoidali e isofrequenziali

NB Se i generatori non sono isofrequenziali si sfrutta il principio di sovrapposizione ma la somma delle grandezze trovate si fa nel dominio del tempo e non in quello dei fasori, così da ottenere le due frequenze diverse separate

I. Risposta ad un ingresso sinusoidale

Il fasore rappresenta ampiezza e fase iniziale, è un numero fisso che dipende da questi due parametri

Proprietà

Moltiplicazione per una costante e addizione Derivata

Metodo simbolico dei fasori riscrittura di un circuito come circuito in termini dei fasori

1. Sostituire ogni generatore indipendente di pulsazione con un generatore di valore costante, pari al fasore corrispondente.

2. Sostituire ogni variabile (tensione o corrente) con il fasore corrispondente (si cercano le variabili come fasori).

3. Sostituire ogni condensatore di capacità con un bipolo di impedenza , ed ogni induttore di induttanza con un bipolo di impedenza .

4. Analizzare il circuito così ottenuto alla stregua di un circuito resistivo ricavando i fasori delle grandezze desiderate.

5. Ricavare le grandezze sinusoidali con la legge di antitrasformazione dei fasori:

II. Circuiti del primo ordine con interruttore con fasori

1. Sostituire ogni generatore indipendente di pulsazione con un generatore di valore costante, pari al fasore corrispondente.

2. Sostituire ogni variabile (tensione o corrente) con il fasore corrispondente (si cercano le variabili come fasori).

3. Sostituire ogni condensatore di capacità con un bipolo di impedenza , ed ogni induttore di induttanza con un bipolo di impedenza .

4. Calcolare la condizione iniziale analizzando il circuito in regime costante (nelle condizioni in cui è quando ), si calcola sostituendo il condensatore con un circuito aperto e l'induttore con un cortocircuito.

5. Calcolare la soluzione particolare analizzando il circuito in regime costante (nelle condizioni in cui è quando ).

6. Calcolare la costante di tempo a seconda del circuito che si sta studiando.

x (t ) = A ⋅ c os (ωt + θ ) ↔ x (t ) = Re[X ⋅ e jωt]

Trasformazione

pulsazione di funzionamento della rete

x (t ) = A ⋅ c os (ωt + θ ) ↔ X = A ⋅ e jθ x (t ) = A ⋅ s i n (ωt + θ ) = A ⋅ c os (ωt + θ − π

2 ) ↔ X = − j A ⋅ e jθ ω =

Modulo Fase

Coniugato V = a + j b ⇒ V = a − j b V = A ⋅ e jϕ ⇒ V = A ⋅ e−jϕ

se e qualsiasi

se e

se e

se e

se e

Fase di una divisione tra fasori

Fase di una moltiplicazione tra fasori θ = a r g (X ) = arctan (I m [X ]

R e [X ] ) R e [X ] > 0 I m [X ] θ = a r g (X ) = arctan (I m [X ]

R e [X ] )+ 180∘ R e [X ] < 0 I m [X ] ≥ 0 θ = a r g (X ) = arctan (I m [X ]

R e [X ] )− 180∘ R e [X ] < 0 I m [X ] < 0 θ = a r g (X ) = 90∘ R e [X ] = 0 I m [X ] > 0

θ = a r g (X ) = − 90∘ R e [X ] = 0 I m [X ] < 0 θ = fase numeratore − fase denominatore θ = fase primo termine + fase secondo termine A = | X | = R e [X ]2 + I m [X ]2

e jθ = c o s (θ ) + j ⋅ s i n (θ )

a1x1(t) + a2x2(t) = a1 ⋅ Re[X1e jωt] + a2 ⋅ Re[X2e jωt] = Re[(a1 ⋅ X1 + a2 ⋅ X2)e jωt]

d

d t x (t ) = d

d t Re[X1e jωt] = Re[ jωX1e jωt]

ω

C 1

jωC L jω L

X = A ⋅ e jθ ⇒ x (t ) = A ⋅ c os (ωt + θ )

ω

C 1

jωC L jω L

x (t0) t < t0

xp = x (∞) t > t0

τ

Grafico della risposta

III. Componenti

Generalizzazione Resistore

v (t ) = R ⋅ i (t ) V = R I ↔ I = G V

Tensione e corrente sono in quadratura di fase, ma la corrente è in ritardo sulla tensione

|V | = ω L ⋅ |I | ↔ a r gV = a r g I + 90∘

Induttore

v (t ) = L ⋅ d i (t )d t V = j ω L ⋅ I ↔ I = 1

j ω LV = − j 1 ω LV Tensione e corrente sono in quadratura di fase, ma la

corrente è in anticipo sulla tensione

|I | = ω C ⋅ |V | ↔ a r g I = a r gV + 90∘

Condensatore

i (t ) = C ⋅ d v (t )d t I = j ω C ⋅ V ↔ V = 1

j ω CI = − j 1 ω CI Tensione e corrente sono in fase

Impedenza

Serie V = Z I

Z =

R resistore j ω L induttore jωC condensatore1 Zeq = ∑ Zk

Suscettanza BL = − 1

ω L BC = ωC IL = jBL ⋅ VL IC = jBC ⋅ VC Reattanza

XL = ω L XC = − 1

ω C VL = j XL ⋅ IL VC = j XC ⋅ IC Ammettenza

Parallelo I = Y V

Y =

1R = G resistore jωL1 induttore j ω C condensatore

Yeq = ∑Yk

Potenza

I. Formule potenza

II. Teorema di Bucherot

III. Massimo trasferimento di potenza

La potenza massima trasferita al carico è uguale alla potenza attiva dissipata dal carico attaccato al generatore reale, non quella erogata dal generatore ideale che sarebbe il doppio, ma quella erogata dal generatore reale, è quindi

Massimo trasferimento dato da una rete

Trovo l'equivalente di Thevenin della rete e calcolo con la formula seguente:

NB Il carico deve seguire la relazione ma suppongo a priori che sia tale Regime sinusoidale con rete di adattamento per il carico

1. Trovo l'equivalente di Thevenin, con l'impedenza equivalente, della rete a sinistra della rete di adattamento 2. Pongo con una rete di adattamento

3. Calcolo la massima potenza trasferita come parte reale della potenza complessa del carico, sfruttando le solite formule Massima potenza erogata da un generatore ideale

Valori effettivi Valori in modulo

Valori efficaci

Valori di corrente per cui la potenza assorbita è la potenza media

Vm = |V |

2 Im = |I |

V ∈ ℂ

Veff = Vm 2

Potenza istantanea Potenza media

Potenza attiva

Valor medio della potenza istantanea in un periodo

Potenza reattiva

Potenza complessa

Potenza apparente

Unità di misura

P = 1 2 VmIm ⋅ cosϕ = Re[S ]

|S | = P2 + Q2 = 1 2 VmIm

Unità di misura

P = 1 2 VmIm

Unità di misura

S = P + jQ = 1 2 V I = 1

2 Z I2m = 1 2 V2m

Z

p (t ) = v (t ) ⋅ i(t )

Unità di misura

Q = 1 2 VmIm ⋅ si n ϕ = Im[S ]

Resistore Induttore Condensatore

Valori in modulo

Valori efficiaci

P = 0 Q = − 12ω C I2m P = 0

Q = 12ω L I2m PR = R I2 = G V2

P = 12R I2m Q = 0

QC = XCI2 = − BCV2 QL = XLI2 = − BLV2 > 0

∑ Sk = 0 ⇒ ∑ Pk = 0 ∧ ∑ Qk = 0

∑ |Sk| ≠ 0 ∨ ∑ |Sk| = 0

Pmaxdisp = Re[Scarico]

Regime costante Regime alternato

Pmaxdisp = |VTh|2

8 ⋅ R e [ZTh] = |VTh|2 8 ⋅ RTh Pmaxdisp = v2Th

4 ⋅ RTh

Zg = Zc * ZTh = Zc *

Definizione di bipolo passivo

resistivo reattivo induttivo capacitivo P ≥ 0 Q = 0 P = 0 Q > 0 Q < 0

I componenti resistivi assorbono solo potenza attiva

I componenti dinamici non assorbono potenza attiva

Angolo tra e

V I c o s ϕ = P|S | s i n ϕ = Q

|S | t a n ϕ = QP

IV. Energia

V. Rifasamento

Provvedimento adoperato per aumentare il fattore di potenza e ottenere (ovvero il coseno richiesto dell'angolo compreso tra il valore della tensione e quello della corrente) di un dato carico a scopo di ridurre a pari potenza attiva assorbita il valore della corrente che circola nell'impianto Metodo dei condensatori rotanti

Si inserisce nel circuito un condensatore in parallelo tale che , quindi con capacità 


E = ∫ tf t0 p (t ) d t

c osϕR

QR = Ptot ⋅ (tan(ϕprima) − tan(ϕR)) C = − QR

1 2 ω |VC| 2

Trasformatori

I. Trasformatore ideale

Puntino:

Convenzione dell'utilizzatore puntino dove entra la corrente Convenzione del generatore puntino dove esce la corrente Rapporto tra le spire:

Relazioni

NB Il meno significa che la corrente trasportata sul ramo di cambia il verso rispetto a NB Queste relazioni valgono con le convenzioni in figura sopra

Potenza

La potenza assorbita da un trasformatore è nulla in ogni istante Trasformatore circuito magnetico

Trasformatore di generatore di tensione

La tensione rappresenta l'impedenza riportata all'ingresso primario o riflessa sull'ingresso primario Trasformatore di impedenza

L'impedenza rappresenta l'impedenza riportata all'ingresso primario o riflessa sull'ingresso primario Trasformazione di un circuito

Si può trasformare un circuito che presenta un trasformatore ideale riscrivendo i circuiti ai lati del trasformatore sfruttando i teoremi di Thevenin e Norton e poi sostituendo il trasformatore sfruttando le sue relazioni fondamentali

Modello circuitale a T di un trasformatore ideale

⇒

⇒

1 : n n =N2

N1

v2 = N2

N1 v1 = nv1 i2 = − N1

N2 i1 = − 1 n i1

i2 i1 i1

P = 0 ∀t

↔

Ein =Eout n

Ein

n2

Zin

Attenzione

1. Quando il trasformatore lavora in continua non c'è induzione elettromagnetica e quindi non si ha tensione nel circuito secondario 2. Quando il trasformatore lavora a vuoto anche se la corrente sul

circuito secondario è nulla non è nulla nel circuito primario 3. Quando il trasformatore ha un cortocircuito nel circuito secondario la

tensione è comunque nulla

↔

II. Rete di adattamento

E' una rete formata da un trasformatore ideale + un induttore che permette di ottenere un circuito in cui la potenza erogata è massima Tipo serie

1. Calcolo l'impedenza del generatore

2. Inserisco un trasformatore ideale tra carico e impedenza del generatore tale che , trovando il valore di n necessario sfruttando il principio del trasformatore di impedenza

3. Aggiungo un induttore in serie per avere parte immaginaria delle impedenze tra carico adattato e rete nulla è la relazione che devo avere tra impedenza del carico e impedenza del generatore

Tipo parallelo

1. Calcolo l'impedenza del generatore

2. Inserisco un trasformatore ideale tra carico e impedenza del generatore tale che , trovando il valore di n necessario sfruttando il principio del trasformatore di impedenza

3. Aggiungo un condensatore in parallelo per avere parte immaginaria delle impedenze tra carico adattato e rete nulla è la relazione che devo avere tra impedenza del carico e impedenza del generatore

Re[Zg] = Re[Zc]

⇒ Zg = Zc *

Re[Zg] = Re[Zc]

⇒ Zg = Zc *

Circuiti magnetici

Un circuito magnetico è un insieme opportunamente coordinato di materiali magnetici, avente lo scopo di stabilire un determinato andamento (o percorso) del flusso magnetico indotto generato da un'adeguata forza magneto motrice. I problemi relativi ai circuiti magnetici riguardano la determinazione dei flussi magnetici e intensità di campi magnetici nelle diverse parti dei circuiti causate dalle correnti che circolano negli bobine avvolte intorno ai nuclei magnetici (amperspire).

ϕ

Equivalenti Riluttanza resistenza

Flussi correnti

Tensione magnetiche tensioni elettriche Legge di Hopkinson legge di Ohm

↔

↔

↔

↔

Flusso attraverso una spira

= correnti

Forza magneto motrice

= tensione

Forza elettromotrice

= tensione

Flusso totale magnetico concatenato

= flusso attraverso tutte le spire

Legge di Hopkinson

Riluttanza

= resistenza

Riluttanza nel traferro

Permeanza

Coefficiente di autoinduzione

Coefficiente di mutua induzione

Campi

Vettore induzione magnetica B Campo magnetico H

Si trova calcolando la matrice induttanza

L

con lunghezza del tratto di cui calcolo la riluttanza

R = ltot

μ S ltot = ϕ = N ψ ϕ = 𝕃 ⋅ i

Flusso diviso in parte autoindotta e mutuamente indotta

{ ψ1 = ψ11 + ψ12 ψ2 = ψ21 + ψ22

ϕ = BS H = B

μ0 P = 1 R P12 = P21 = P ψ = Ni R ⇒ ψ R = Ni f e m = − d d t [ B(t ) ⋅ S ]

E' uguale per tutti gli induttori in un circuito monomaglia

ψ = ∬ B ∙ ̂un dS

Si trova calcolando la matrice induttanza

M

con lunghezza del tratto di traferro

con coefficiente di permeabilità al di fuori del materiale

Rtf = ltf

ltf = μ0S μ0 =

Partitore di flusso

con connessione in parallelo

∑ ϕk = 0 ϕk = Gk

Gtot ⋅ ϕ fmm = N ⋅ i

Avvolgimento = generatore Resistenza = lato

Il verso del generatore è dato dal verso di percorrenza della spira della corrente (segue la

regola della mano destra)

I. Induttori mutuamente accoppiati

Trovare la matrice induttanza

1. Scrivo il circuito magnetico come un circuito normale con gli analoghi

2. Calcolo in funzione di sfruttando LKC, LKT, partitore di tensione o corrente e eventualmente il principio di sovrapposizione, dividendo gli effetti dei diversi generatori di tensione equivalenti

3.

Matrice induttanza

Coefficiente di accoppiamento

totale accoppiamento totale disaccoppiamento Coefficiente di autoinduzione equivalente

se i pallini sono entrambi dallo stesso lato percorrendo il filo se i pallini sono da due lati diversi percorrendo il filo


ψ1 e ψ2 i1 e i2

{ ϕ1 = L1i1 + Mi2

ϕ2 = Mi1 + L2i2 → { ϕ1 = N1ψ1

ϕ2 = N2ψ2 → [ ϕ1

ϕ2] = [ L1 M M L2][ i1

i2] → [ ϕ1

ϕ2] = 𝕃 ⋅ [ i1 i2]

𝕃 = [ L1 M M L2]

Keq = M

L1L2 ∈ (−1,1) Keq = 1 ⇒

Keq = 0 ⇒

Leq = L1 + L2 ± 2M +

−

Risposta in frequenza

I. Funzioni di rete

Funzione che caratterizza il comportamento di un sistema dinamico tempo-variante nel dominio della frequenza mettendo in relazione l'ingresso e l'uscita.

II. Risposta in ampiezza e in fase

La risposta dato un ingresso si può riscrivere utilizzando la rappresentazione esponenziale separando ampiezza (modulo) e fase (argomento). Si possono così scrivere due funzioni: il modulo della funzione di rete diventa la risposta in ampiezza mentre l'argomento diventa la risposta in fase.

Calcolo di una grandezza tramite le funzioni di rete

La risposta che si ottiene quando si ha un filtro dipende dall'ingresso che si manda nel circuito stesso. In particolare dipende dalla frequenza dell'ingresso, a seconda di questa si può approssimare guardando il grafico il modulo della funzione di rete e dare quindi un valore approssimativo della risposta che sia avrà. Se la frequenza dell'ingresso è oltre le per cui si ha comportamento asintotico allora la funzione di rete varrà quanto l'asintoto.

Pulsazione di taglio

Valore di per cui la risposta in ampiezza è ridotta di un fattore (diventa circa il 70%)

Circuito del primo ordine :

Risposta in ampiezza

1. Calcolo la funzione di rete che si presenta in funzione di e la riscrivo con parte reale uguale a 1

2. Calcolo il modulo sapendo che il modulo della frazione è uguale alla frazione dei moduli, quindi si spezza in modulo del numeratore e del denominatore

3. Calcolo i limiti per e per e trovo gli asintoti

4. Calcolo le pulsazioni critiche come reciproco dei coefficienti moltiplicati per gli omega (se è un passa/elimina banda sono due, una del passa/elimina alto e l'altra del passa/elimina basso)

Risposta in fase

1. Calcolo la funzione di rete che si presenta in funzione di e la riscrivo con parte reale uguale a 1 2. Calcolo l'argomento risolvendo tramite il calcolo degli argomenti dei numeri complessi 3. Calcolo i limiti per e per e trovo gli asintoti

4. Segno la pulsazione di taglio che ho calcolato per la risposta in ampiezza (è associata a )


F ( jω) = fasore della risposta

fasore dell′ingresso

Impedenza di trasferimento Z ( j ω) =Vout

Iin

Rapporto di trasferimento in tensione H ( j ω) =Vout

Vin

Rapporto di trasferimento in corrente H ( j ω) =Iout

Iin

Ammettenza di ingresso Y ( j ω) = I

Vin

Ammettenza di trasferimento Y ( j ω) =Iout

Vin

Impedenza di ingresso Z ( j ω) = V

Iin

|F ( jω)| a r g (F( jω)) = ϕ(ω)

ω Vout = Z( jω) ⋅ Iin

|Vout|e jθout = |Z( jω)|e jθ(ω) ⋅ |Iin|e jθin

vout(t) = |Vout| ⋅ cos(ωt + θout) = |Z( jω)||Iin| ⋅ cos(ωt + θ (ω) + θin)

⇒ { |Vout| = |Z( jω)||Iin|

θout = θ (ω) + θin

ω 1

2

⇒ |F ( jωc)| = |F( jω)| max ⋅ 1 2 ωc = R

L ∨ ωc = 1 RC

ω

ω → 0 ω → ∞

ω arctan (H( jω))

ω → 0 ω → ∞

ωc ± π

4

Ii n Vout Vin

Iout

Ii n V Vin

I

Iout Ii n

Vin Vout

−arctan(x ) = arctan(− x ) arctan(x ) = − arctan(− x )

III. Risonanza

Proprietà di alcuni circuiti che mostrano una risposta accentuata quando sono sottoposti a particolari sollecitazioni, la frequenza a cui si ha la massima sollecitazione è detta frequenza di risonanza

Parallelo

La corrente nell'induttore e quella nel condensatore sono in opposizione di fase, infatti , quindi si ha che il circuito LC equivale a un circuito aperto, come se si staccasse il parallelo LC

Filtro passa banda dato da un circuito risonante parallelo

Serie

La tensione nell'induttore e quella nel condensatore sono in opposizione di fase, infatti , quindi si ha che il circuito LC equivale a un cortocircuito

IV. Filtri base

Un circuito può reagire in maniera differente all'ingresso di segnali con frequenze differenti al suo interno

Esistono quattro tipi principali di filtri, ma nella realtà studiando la risposta in frequenza e in fase si possono trovare infinite tipologie di filtri, le cui caratteristiche si ottengono studiando l'andamento della risposta in fase e in ampiezza della specifica funzione di rete

Pulsazione di risonanza

Impedenza

Fattore di merito

Energia immagazzinata nel circuito LC

Q = ω0RC = ω0R

L ⇒ |IL| = |IC| = Q |IS|

Z ( j ω) = 1 R + j B (ω)1

= 1

R + j (ω C −1 1 ωL ) ω0 = 1

L C

Rimane costante

E = 1 2 RC2|IS|2

IC = − IL

Pulsazione di risonanza

Pulsazioni di taglio

Banda passante

ω1,2 = ω0 1 + 1

4Q2 ≃ ω0 ±ω0 Q ω0 = ω1ω2

Aumentando il fattore di merito ci si avvicina ad un filtro passa banda ideale

Bω = ω2 − ω1 =ω0 Q

Pulsazione di risonanza

Ammettenza

Fattore di merito

Y ( j ω) = 1

R + j X (ω) = 1

R + j (ωL − 1 ωC ) ω0 = 1

L C

Q = ω0L

R ⇒ |VL| = |VC| = Q |VS|

VC = − VL

Suscettanza

→

→

Reattanza 1 /

|Y ( j ω )|

Appendice

I. Macchine rotanti lineari

II. Motore

III. Generatore

IV. Grafici del secondo ordine

Caso con smorzamento critico