Tavolo con foro - 1
Figure 1:
Una massa legata ad un filo si muove senza attrito su un piano orizzon- tale. Tramite un foro sul tavolo, il filo viene tirato verso il basso con una tensione T (t) in modo che la parte di filo sul piano si accorci in maniera uniforme con velocit`a radiale di modulo vr.
Determinare:
1. la legge oraria che descrive il moto della massa m assumendo che all’istante iniziale sia lanciata con una velocit`a ~v0 = v0eˆθ, da una distanza r0 dal foro
2. il lavoro svolto dalla tensione T per dimezzare la lunghezza del filo sul piano, nelle condizioni dell’esercizio precedente
3. il valore della tensione in funzione del tempo.
0.1 Legge oraria
Il moto della massa m viene pi`u facilmente descritto in coordinate polari (r, θ).
Lungo r il moto `e rettilineo uniforme con ˙r = −vr, per cui integrando:
r(t) = r0− vrt (1)
Questa espressione `e valida per t < r0/vr. Il moto lungo θ pu`o essere ricavato in 2 modi.
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0.1.1 Legge di Newton
Sulla massa m, oltre alla forza peso ed alla reazione normale del piano che risultano uguali ed opposte, agisce la tensione del filo. Essendo il filo inestensibile e di massa nulla, tale tensione vale ~TF = −T ˆer, essendo T = | ~T | il modulo della tensione applicata all’estremo libero.
Dalla seconda legge della dinamica ~TF = m~a. Proiettando sui due assi (r, θ):
( m(¨r − r ˙θ2) = −T
m(r ¨θ + 2 ˙r ˙θ) = 0 (2)
La prima relazione consentir`a di ricavare T (t), menter la seconda fornisce una equazione differenziale a variabili separabili la cui soluzione d`a θ(t). In realt`a, prima conviene risolvere l’equazione per ˙θ(t) = ω(t) e poi integrare per ottenere θ(t). La velocit`a angolare si ottiene riscrivendo l’equazione come segue:
˙ ω
ω = −2˙r
r → dω
ω = −2dr
r (3)
la cui soluzione `e:
ω(t) = k · r−2 = v0r0
(r0− vrt)2 (4)
dove, nell’ultimo passaggio, `e stata usata l’equazione 2 per sostituire r(t) e la condizione iniziale ω(0) = v0/r0 per determinare la costante di integrazione k.
La seconda equazione che, insieme alla (1), descrive la legge oraria della massa si ottiene integrando ω(t):
θ(t) = θ0+ v0t
r0− vrt (5)
Senza perdere di generalit`a si pu`o scegliere l’asse polare in modo che all’istante iniziale sia θ0= 0.
0.1.2 Seconda equazione cardinale
Il problema pu`o essere risolto pi`u semplicemente notando che l’unica forza che agisce sulla massa m `e radiale, di conseguenza il momento delle forze rispetto al foro O `e nullo ed il momento angolare si conserva. Scriviamo esplicitamente il momento della quantit`a di moto:
MO= r0· mv0= r · mr ˙θ (6) Notare che, essendo il moto planare, il momento angolare `e sempre diretto lungo l’asse perpendicolare al piano, per cui non `e strettamente necessario indicare il versore ˆez.
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Questa equazione si risolve immediatamente per ˙θ:
θ =˙ r0v0
r2 (7)
Sostituendo r(t) ed integrando si ottiene lo stesso θ(t) trovato in precedenza.
0.2 Lavoro svolto dalla tensione per dimezzare la lunghezza del filo
Per determinare questo lavoro non c’`e bisogno di ricavare esplicitamente la tensione T (t). Basta notare che questa `e l’unica forza che compie lavoro ed applicare il teorema delle forze vive:
LT = 1
2mv2f in−1
2mvin2 (8)
cio`e il lavoro fatto dalla forza T `e uguale alla variazione di energia cinetica del sistema. La velocit`a v della massa m ha una componente radiale, che per`o `e costante e quindi si semplifica nella differenza, ed una tangenziale (lungo ˆeθ) data da vθ = r ˙θ. Per quanto visto in precedenza ˙θ ∝ r−2, per cui se r dimezza ˙θ aumenta di quattro volte e vθ raddoppia. Essendo vtheta(t = 0) = v0, il lavoro della forza esterna T `e dato da:
L = 1
2m(2v0)2−1
2mv02= 3
2mv20 (9)
0.3 Tensione T(t)
L’espressione esplicita della tensione T (t) necessaria a mantenere ˙r costante si ottiene dalla prima equazione del sistema (3) notando che ¨r = 0 ed utiliz- zando l’equazione (6):
T (t) = mr ˙θ2= MO2
mr3 = m r02v20
(r0− vrt)3 (10) Si pu`o verificare per integrazione diretta che si ottiene il lavoro calcolato al punto precedente.
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