La lezione di oggi

I fluidi reali La viscosità

Flussi laminare e turbolento

La resistenza idrodinamica

La lezione di oggi

Forze di trascinamento nei fluidi La legge di Stokes

La centrifuga

La lezione di oggi

!  Viscosità

!  Flusso laminare

!  Flusso turbolento

!  Resistenza idrodinamica

!  La legge di Stokes

!  La centrifuga

Δy"

Definizione operativa di viscosità

Domanda: come faccio a tener conto dell’attrito tra le molecole di un fluido?

Esperimento

Lastra in moto con velocità v Fluido viscoso

(magari miele…)

Lastra fissata a terra di area A

y ηA v

F Δ

=

La viscosità

!  η è la viscosità

!  Si misura in Pa^.s (pascal x secondo)

!  poise (P) = 0.1 Pa^.s (è una unità c.g.s ...)

DIMENSIONALMENTE [ML T ]

]/[L]

[LT

] ]/[L [MLT

y v/

F/A _{1 1}

1

2 2

−

−

−

−

= Δ =

Δ

Temperatura

oC

Olio di

ricino (!) Acqua Aria Sangue Plasma

20 0.986 1.005 x 10^-3 1.81 x 10^-5 3.015 x 10^-3 1.810 x 10^-3 37 - 0.695 x 10^-3 1.87 x 10^-5 2.084 x 10^-3 1.257 x 10^-3

Nota:

η / η e η / η rimangono ~ costanti tra 0^o e 37^o

!  Viscosità

!  Flusso laminare

!  Flusso turbolento

!  Resistenza idrodinamica

!  La legge di Stokes

Un fluido ideale scorre in un condotto

Pareti del condotto

In ogni punto, i vettori velocità hanno modulo uguale

Tutte le molecole viaggiano

Un fluido reale scorre in un condotto

Pareti del condotto

In ogni punto, i vettori velocità hanno modulo diverso

Le molecole viaggiano a velocità diverse:

Il flusso laminare

!  Il fluido è reale

!  Non ci sono turbolenze (vedi dopo)

Il flusso laminare

Se la velocità al centro è v_max , si trova che la v_media = 0.5 v_max PORTATA Q = Av_media = 0.5Av_max

dove A è l’area della sezione del condotto

Caduta di pressione dovuta alla viscosità

!  Tubo orizzontale

!  Fluido viscoso

!  Lavoro per vincere le forze di viscosità ! l’energia meccanica non si conserva

!  Caduta di pressione

Fluido non viscoso Fluido viscoso

Caduta di pressione dovuta alla viscosità

in un tubo cilindrico orizzontale

Legge di Hagen-Poiseuille Q = ΔP π ^R

8 η ^l

Esercizio

Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il sangue scorre con una portata di 1.0 cm³/s. Si trovi:

1.  Velocità media e massima del sangue

v Q = A

v

2 v = 1

=

= A

v Q ⋅ =

R π

Q 1

m) 10

(4.0 π

s m 10

1.0

2 3

-

-1 3 -6

⋅ =

⋅ 2.0 ⋅ 10

ms

-1 -2

ms 4.0 ⋅ 10

=

= 2 v v

Condizioni al contorno

Esercizio

Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il sangue scorre con una portata di 1.0 cm³/s. Si trovi:

2.  La caduta di pressione in un tratto lungo 10 cm

l η 8

R π Q P

Δ

=

s Pa 10

2.084

η = ⋅

⋅

Condizioni a contorno

=

=

Δ π R

lQ η

P 8 ₄ =

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

m) 10

(4.0 π

) s m 10

m)(1.0 s)(0.1

Pa 10

(2.084 8

4 3

-

-1 3 -6

-3

Pa 1 . 2

Esercizio

Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il sangue scorre con una portata di 1 cm³/s. Si trovi:

3.  La potenza necessaria a mantenere la portata

=

⋅

= Δ Δ

⋅

= Δ

= L/ t x/ t F v

W F

=

⋅

⋅

⋅ ( 4 . 0 10 ) m )( 2 . 0 10

ms ) π

)(

Pa 1

. 2

(

=

⋅

⋅

Δ P ( πR

) v

W 10

1 .

2 ⋅

!  Viscosità

!  Flusso laminare

!  Flusso turbolento

!  Resistenza idrodinamica

!  La legge di Stokes

Il flusso turbolento

Dissipazione di energia meccanica

Il numero di Reynolds

!  I vortici dissipano energia meccanica

!  La legge di Hagen-Poiseuille non è più valida

!  E’ il dominio della fisica non - lineare

!  Uso regole empiriche

!  Definisco il Numero di Reynolds (N_R)

!  Nel caso di un tubo di flusso di raggio R, N_R vale:

η R v N

= 2ρ

Sperimentalmente si trova che:

"  N_R < 2000: flusso laminare

Esercizio

Nella grande arteria di un cane, il raggio è 4.0x10^-3 m, la velocità media del sangue 1.99x10^-2 ms^-1 e

la viscosità η = 2.084x10^-3 Pa^.s.

La densità è ρ = 1.06x10³ kg^.m^-3.

Trovare il numero di Reynolds e stabilire se il flusso sia o meno laminare.

=

= η

R v N

2ρ

⋅ =

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

= ⋅

s Pa 10

2.084

m) 10

)(4.0 ms

10 (1.99

) m kg

10 (1.06

2

3 -

-3 -1

-2 -3

3

= 81

Il flusso è quindi laminare

!  Viscosità

!  Flusso laminare

!  Flusso turbolento

!  Resistenza idrodinamica

!  La legge di Stokes

La resistenza idrodinamica

!  Fluido viscoso

!  Condotto con pareti rigide

!  Se voglio una portata Q devo applicare una ΔP

!  Definisco Resistenza di un condotto:

r = ΔP Q

se utilizzo Poiseuille:

Q = ΔP π R

8 η ^l

Analoga alla resistenza elettrica (legge di Ohm):

"  ΔP analoga a ΔV (differenza di potenziale)

"  Q analoga alla i (corrente)

r = 8 η ^l πR

Unità di misura Pa^.s^.m^-3

Esercizio (parte I)

Nell’aorta umana di raggio interno r_a = 1 cm, la portata del sangue è Q = 5 l/min.

La viscosità del sangue è η = 4.75^.10^-3 Pa^.s. Se vi sono 5^.10⁹

capillari nel letto vascolare dell’aorta, e ciascuno di essi ha un raggio interno di r_c = 4 µm, determinare:

1.  La velocità media del sangue nell’aorta 2.  La velocità massima del sangue nell’aorta 3.  La velocità media del sangue nei capillari

Domanda 1

La velocità media del sangue nell’aorta

media

Q = A v

v_media = Q

A = Q

π R² =

5 l min

!

"

# $

%& 10^-3 m³ l

!

"

# $

%& 1 min 60 s

!

"

# $

%&

(3.14)(10^-2)² = 2.65⋅10^-1 m/s

Esercizio

media

max

2 v

v = ⋅

v

= 2 ⋅ v

= 2 ⋅ (2.65⋅10

m /s) = 5.3⋅10

m/s Domanda 2

La velocità massima del sangue nell’aorta

(

)

9

capillari

(5 10 ) π ( 4 10 m) 0.251 m

A = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

L’area dei capillari si ottiene moltiplicando l’area di 1 capillare per l’area del singolo capillare

La portata è costante per l’equazione di continuità

media

Q = A v

v_media = Q

=

5 l min

!

"

# $

%& 10^-3 m³ l

!

"

# $

%& 1 min 60 s

!

"

# $

%&

= 0.33 mm/s

Domanda 3

Esercizio

Nell’aorta umana di raggio interno r_a = 1 cm, la portata del sangue è Q = 5 l/min.

La viscosità del sangue è η = 4.75^.10^-3 Pa^.s. Se vi sono 5^.10⁹

capillari nel letto vascolare dell’aorta, e ciascuno di essi ha un raggio interno di r_c = 4 µm, determinare:

4.  La perdita di carico (ΔP/l) nell’aorta

5.  La perdita di carico media dei capillari nel letto vascolare dell’aorta

6.  La resistenza idrodinamica per unità di lunghezza nell’aorta 7.  La resistenza idrodinamica media per unità di lunghezza in

Esercizio (parte II)

l η 8

R π Q P

Δ

=

ΔP

l = 8 η ^Q

π R⁴ =

(8)(4.75⋅10^-3) 5 l min

#

$% &

'( 10^-3 m³ l

#

$% &

'( 1 min 60 s

#

$% &

'(

(3.14)(10⁻²)⁴ = 100 N/m³

Domanda 4

Applico Poiseuille per calcolare la ΔP/l nell’aorta

Esercizio

l η 8

R π Q P

Δ

=

3 5

4 6

14 -3

4

8 10 N/m

) 10 4

)(

14 . 3 (

) 10

7 . 1 )(

10 (8)(4.75

R π

Q η 8 l

P = ⋅

⋅

⋅

= ⋅ Δ =

−

−

/s m 10

10 1.7 5

s 60

min 1

l 10 m

min 5 l

Q ₉ ^{-14 3}

3 3 -

capillare = ⋅

⋅

"

#

% $

&

"" '

#

$

%%&

"'

#

% $

&

'

=

Domanda 5

Applico Poiseuille per calcolare la ΔP/l nei capillari, sapendo che la portata in ciascun capillare è data da

Esercizio

r/l = 8 η

4

= (8)⋅ (4.75⋅10

)

-2 4

= 1.2 ⋅10

N ⋅ s ⋅ m

Domanda 6

Applico Poiseuille per calcolare la r/l nell’aorta

Esercizio

r = p Q

Q = p⇡R

8⌘l

r

l = 8⌘

⇡R

r = ΔP

Q ^{r/l =}

8 η πR

e usando Poiseuille

r/l = 8 η

πR

= (8)⋅ (4.75⋅10

)

(3.14)⋅ (4 ⋅10

)

= 4.73⋅10

N ⋅ s ⋅ m

Domanda 7

Applico Poiseuille per calcolare la r/l, usando il raggio del capillare

Esercizio

Nei fluidi reali l’attrito tra le molecole causa dissipazione dell’energia

meccanica che è maggiore quando si instaurano fenomeni di turbolenza

Riassumendo fin qui…

!  Viscosità

!  Flusso laminare

!  Flusso turbolento

!  Resistenza idrodinamica

!  La legge di Stokes

!  La centrifuga

La legge di Stokes

!F

! v

!F _A

!F

!F

!F _A

! v

!

!F _A

!v _lim

Un oggetto è immerso in un fluido viscoso,

inizialmente in quiete. Se su di esso agisce una forza F, l’oggetto accelera.

Per effetto della viscosità,sull’oggetto inizia ad agire una forza di attrito viscoso F_A

La velocità cresce e con essa cresce la forza di attrito viscoso

La velocità raggiunge un valore limite (e rimane

costante) quando la forza di attrito viscoso eguaglia la forza esterna.

La legge di Stokes

v R η

π 6 - F

=

Quando la particella

ha forma sferica e raggio R

!  Viscosità

!  Flusso laminare

!  Flusso turbolento

!  Resistenza idrodinamica

!  La legge di Stokes

Velocità limite !

Moto rettilineo uniforme ! Accelerazione = 0 !

Risultante delle forze 0 !

Verso la centrifuga...

Qual è la velocità massima (ovvero la velocità limite, v

) per una piccola sfera di raggio R, densità ρ che cade in

un fluido di viscosità η e densità ρ

?

Archimede

g ρ R 3 π

A = 4 ³ ₀

Stokes

v η R π 6

F_d = _T

peso

g ρ R 3 π

w = 4 ³

F_d A

w y

g ρ R 3 π g 4

ρ R 3 π v 4

η R π

6 _T + ³ _o = ³

R 2 ²

0 w A

F_d + − =

Esercizio

Un globulo rosso del sangue può essere approssimato a una sfera di raggio 2.0 µm e densità 1.3^.10³ kg m^-3. Quanto tempo ci vuole

per ottenere un sedimento di 1.0 cm:

1.  Sotto l’azione dell’accelerazione di gravità della terra ?

Condizioni a contorno

=

= a (ρ -ρ ) η

R 9

v 2 _o

2 T

=

⋅

⋅

⋅ ⋅

⋅

⋅ (9.81m s )(1.3 -1.056) 10 kg m s)

Pa 10

(2.084

m) 10

(2 9

2 _{-2 3 -3}

3 -

2 -6

-1 -6 m s 10

1.0⋅ ⋅

=

"  R = 2.0 µm = 2.0^.10 ^-6 m

"  S = 1.0 cm = 1.0^.10^-2 m

"  a = 9.81 m s^-2

La centrifuga

!  Grandi accelerazioni

!  Velocità della molecola dipende da:

!  forza di trascinamento viscoso

!  massa della molecola m

!  fattore geometrico φR della molecola (per la sfera φ=6π)^*

!  densità della molecola ρ e del mezzo ρ₀

!  velocità angolare della centrifuga ω ! accelerazione centripeta a = ω² r (a>>g)

v_s = m

ϕ^Rη ^{a (1-} ρ₀

ρ ⁾

Velocità limite

"  Moto rettilineo uniforme

"  Spessore del sedimento x = v_s ⋅ tcentrifugazione

"  dimostrate la relazione *

Sfera: fattore geometrico

v

= m R⌘ a

✓

1 ⇢

⇢

◆

= ⇢V R⌘ a

✓

1 ⇢

⇢

◆

Per una sfera

= 4⇡

3

R

⌘ a (⇢ ⇢

) ⌘ 2 9

R

⌘ a (⇢ ⇢

)

v

= 4⇡R

3 R⌘ a (⇢ ⇢

)

Esercizio

Condizioni a contorno ^" R = 2.0^.10 ^-6 m

"  S = 1.0 cm = 1.0^.10^-2 m

"  a = 9.81^.10⁵ m s^-2

=

= a (ρ -ρ ) η

R 9

v 2 _o

2 T

=

⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅

⋅

⋅ (9.81 10 m s )(1.3 -1.056) 10 kg m s)

Pa 10

(2.084

m) 10

(2 9

2 _{5 -2 3 -3}

3 -

2 -6

-1 -1 m s 10

1.0⋅ ⋅

=

s 10 m 1.0

10

t s ^-1

2

⋅

=

=

=

−

Tempo di sedimentazione

Un globulo rosso del sangue può essere approssimato a una sfera di raggio 2.0 µm e densità 1.3^.10³ kg m^-3. Quanto tempo ci

vuole per ottenere un sedimento di 1.0 cm:

2.  In una centrifuga con accelerazione uguale a 1.0^.10⁵g ?

Con la legge di Stokes spieghiamo il funzionamento della centrifuga

Prossima lezione:

I fenomeni molecolari

Riassumendo

A un paziente viene fatta un’iniezione con un ago ipodermico lungo 3.2 cm e di diametro 0.28 mm. Assumendo che la soluzione

iniettata abbia la stessa densità e viscosità dell’acqua a 20 ^oC, trovare la differenza di pressione necessaria per iniettare la

soluzione a 1.5 g/s

Esercizio

A un paziente viene fatta un’iniezione con un ago ipodermico lungo 3.2 cm e di diametro 0.28 mm. Assumendo che la soluzione

iniettata abbia la stessa densità e viscosità dell’acqua a 20 ^oC, trovate la differenza di pressione necessaria per iniettare la

soluzione a 1.5 g/s

1 - 3 6

- 3

- 3

-1 -3

s m 10

m 1.5 kg

10

s kg 10

1.5 t

Δm ρ

1 t

Q ΔV = ⋅

⋅

⋅

= ⋅

= Δ

= Δ

Pa 10

R 3.2 π

Q l η

P = 8

= ⋅

Δ

Esercizio