Analisi Matematica 1

Prove scritte di

Analisi Matematica 1

Ingegneria Industriale a.a. 2012–2013

x y

f

g 0

1

La funzione seno e la funzione esponenziale

Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica 1 ” per Ingegneria Industriale, Facolt`a di Ingegneria, Universit`a del Salento

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prima prova di esonero di Analisi Matematica I 12 dicembre 2012, A

Foglio 1

1. Determinare le soluzioni della seguente equazione:

z

+ z = 0 e rappresentarle geometricamente.

2. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=0

(−1)

n

(1 + sin n) n! 3

.

Foglio 2

3. Studiare il seguente limite:

x

lim

√ 1 + log(1 + x) − cos x

x .

4. Studiare il seguente limite:

x→+∞

lim

x

(1 + sin

x)

√ 1 + e

.

Foglio 3

5. Teoria: Teoremi di confronto per i limiti (dim.).

6. Teoria: Serie a termini positivi e propriet` a di regolarit` a. Criterio di

Raabe e di condensazione.

Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di Analisi Matematica I

12 dicembre 2012, A

1. Si pu` o scrivere z(z

+ 1) = 0 e quindi le soluzioni sono z = 0 e le radici quarte di −1 = cos π + i sin π, che sono date dalla formula

w

= cos π + 2kπ

4 + i sin π + 2kπ

4 , k = 0, 1, 2, 3 .

La rappresentazione geometrica prevede l’origine e il quadrato di ver- tici ( ± √

2/2, ± √ 2/2).

2. Si tratta di una serie a segni alterni. Per quanto riguarda l’assoluta convergenza, si osserva che

n

(1 + sin n)

n! 3

≤ 2 n

n! 3

e la serie ∑

n=1

2

` e convergente in quanto, dal criterio del rappor- to,

n→+∞

lim 2 (n + 1)

(n + 1)! 3

n! 3

2n

= lim

n→+∞

1 3

(n + 1)

(n + 1) n

n!

(n + 1)!

= 1 3 lim

n→+∞

( n + 1 n

)

= e 3 < 1 .

Pertanto, per il teorema di confronto per le serie a termini positivi, la serie assegnata ` e assolutamente convergente e quindi convergente.

3. Usando i limiti notevoli:

x

lim

√ 1 + log(1 + x) − cos x

x = lim

x→0

√ 1 + log(1 + x) − 1

x + 1 − cos x

x

= lim

x→0

√ 1 + log(1 + x) − 1 log(1 + x)

log(1 + x)

x = 1

2 .

4. Il termine x

` e un infinito di ordine 3 mentre il denominatore ` e un infinito di ordine arbitrariamente grande in quanto composto da un infinito di ordine arbitrariamente grande (la funzione 1 + e

) e un infinito di ordine 1/2 (la funzione radice). Pertanto

x→+∞

lim x

√ 1 + e

.

Poich´ e 

 x

(1 + sin

x)

√ 1 + e

  ≤ 2x

√ 1 + e

,

anche il limite assegnato ` e uguale a 0.

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prima prova di esonero di Analisi Matematica I 12 dicembre 2012, B

Foglio 1

1. Determinare le soluzioni della seguente equazione:

z

− iz = 0 e rappresentarle geometricamente.

2. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=0

(−1)

n

(1 + cos n) (n + 1)! 2

.

Foglio 2

3. Studiare il seguente limite:

x

lim

e

√

1 + x − 1

x .

4. Studiare il seguente limite:

x→+∞

lim

(1 + cos

x)e

√ 1 + x

.

Foglio 3

5. Teoria: Teorema sul limite delle funzioni composte (dim.). Ordine della funzione composte di due infinitesimi o infiniti.

6. Teoria: Serie assolutamente convergenti e propriet` a. Criterio sull’or-

dine di infinitesimo.

Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di Analisi Matematica I

12 dicembre 2012, B

1. L’equazione si pu` o scrivere z(z

− i) = 0 e quindi ha come soluzioni z = 0 e le radici quadrate di i = cos π/2 + i sin π/2, che sono date dalla formula

w

= cos π/2 + 2kπ

2 + i sin π/2 + 2kπ

2 , k = 0, 1 , da cui w

= √

2/2 + i √

2/2, w

= − √

2/2 − i √

2/2. Le soluzioni si trovano sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante e sono costituite dall’origine e due punti simmetrici.

2. Si tratta di una serie a segni alterni. Per studiare l’assoluta conver- genza si osserva che la serie

+∞

∑

n=0

n

(n + 1)! 2

` e convergente in quanto dal criterio dal rapporto

n→+∞

lim

(n + 1)

(n + 2)! 2

(n + 1)! 2

n

= lim

n→+∞

(n + 1)

n

2

2

(n + 1)!

(n + 2)!

= lim

n→+∞

( n + 1 n

)

n + 1

4(n + 2) = lim

n→+∞

1 4

( 1 + 1

n )

(

1 + 1 n

)

= e 4 < 1.

Poich` e

n

(1 + cos n)

(n + 1)! 2

≤ 2 n

(n + 1)! 2

,

anche la serie assegnata ` e assolutamente convergente e quindi conver- gente.

3. Usando i limiti notevoli

x

lim

e

√

1 + x − 1

x = lim

x→0

e

( √

1 + x − 1)

x + e

− 1

x

= lim

x→0

√ 1 + x − 1

x + e

− 1 tan x

tan x x = 1

2 + 1 = 3 2 . 4. Risulta lim

1+x⁴

= +∞ in quanto il numeratore `e un infinito di ordine arbitrariamente grande mentre il denominatore ` e un infinito di ordine 2 e l funzione ` e positiva. Poich´ e

(1 + cos

x)e

√ 1 + x

≥ e

√ 1 + x

anche il limite assegnato ` e uguale a +∞.

Facolt` a di Ingegneria, Brindisi

Prima prova di esonero di Analisi Matematica I 14 dicembre 2012, A

Foglio 1

1. Determinare le soluzioni della seguente equazione:

z

+ iz = 0 e rappresentarle geometricamente.

2. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

(−1)

log n

n

. 3. Studiare il seguente limite:

x

lim

√ 1 + x

− cos x

x log x .

Foglio 2

4. Teoria: Teorema di unicit` a del limite (dim.) e propriet` a di permanenza del segno.

5. Teoria: Serie armonica e serie geometrica. Propriet` a di convergenza.

Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di Analisi Matematica I

14 dicembre 2012, A

1. Si ha z(z

+ i) = 0 e quindi le soluzioni sono z = 0 e le radici terze di

−i = cos 3π/2 + i sin 3π/2 e sono date da

w

= cos 3π/2 + 2kπ

3 + i sin 3π/2 + 2kπ

3 , k = 0, 1, 2 , e quindi sono w

= cos π/2 + i sin π/2 = i, w

= cos 7π/6 + i sin 7π/6 =

−1/2 − i √

3/2, w

= cos 11π/6 + i sin 11π/6 = −1/2 + i √

3/2. Geome- tricamente sono rappresentate dall’origine e dai vertici di un triangolo equilatero sulla circonferenza di centro l’origine e raggio 1.

2. Si ha log n

/n

= n log n/n

= log n/n

e quindi la serie ` e a termini di segno alterno e il termine generale ` e un infinitesimo di ordine minore di 1/2 e maggiore di 1/2 − ε per ogni 0 < ε < 1/2. Quindi la serie ` e assolutamente divergente. La convergenza invece ` e assicurata dal criterio di Leibnitz.

3. Nel punto 0 si ha √

1 + x

− cos x = √

1 + x

− 1 + 1 − cos x ∼ x

/2 + x

/2 = x

e quindi

√ 1 + x

− cos x

x ∼ x

x = x

` e un infinitesimo di ordine 1. Poich´ e log x ` e un infinito di ordine

arbitrariamente piccolo, il limite assegnato ` e uguale a 0.

Facolt` a di Ingegneria, Brindisi

Prima prova di esonero di Analisi Matematica I 14 dicembre 2012, B

Foglio 1

1. Determinare le soluzioni della seguente equazione:

z

− iz = 0 e rappresentarle geometricamente.

2. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

(−1)

log n log(cos 1/n) .

3. Studiare il seguente limite:

lim

x→0⁺

tan

x

− e

x

.

Foglio 2

4. Teoria: Teoremi sul limite delle funzioni monotone (caso reale e infi- nito).

5. Teoria: Criterio di Raabe e serie armonica generalizzata.

Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di Analisi Matematica I

14 dicembre 2012, B

1. Si ha z(z

− i) = 0 e quindi le soluzioni sono z = 0 e le radici terze di i = cos π/2 + i sin π/2 e sono date da

w

= cos π/2 + 2kπ

3 + i sin π/2 + 2kπ

3 , k = 0, 1, 2 ,

e quindi sono w

= cos π/6+i sin π/6 = 1/2+isqrt3/2, w

= cos 5π/6+

i sin 5π/6 = 1/2 − i √

3/2, w

= cos 3π/2 + i sin 3π/2 = −i. Geome- tricamente sono rappresentate dall’origine e dai vertici di un triangolo equilatero sulla circonferenza di centro l’origine e raggio 1.

2. Poich´ e 0 < 1/n ≤ 1, si ha 0 < cos 1/n ≤ 1 e quindi log(cos 1/n) ≤ 0. Conseguentemente la serie ` e a termini di segno alterno. Inoltre log(cos 1/n) = log(1 + (cos 1/n − 1)) ∼ cos 1/n − 1 ∼ −1/(2n

) e quindi, a causa del termine log n, il termine generale della serie ` e un infinitesimo di ordine minore di 2 ma maggiore di 2 −ε per ogni 0 < ε <

2. Segue che la serie ` e assolutamente convergente e quindi convergente.

3. Poich´ e, nel punto 0

, tan

x

∼ (x

)

= x

e e

` e un infinitesimo di

ordine arbitrariamente grande, il numeratore ` e equivalente a tan

x

∼

x

e quindi dalla regola di sostituzione il limite ` e uguale a + ∞.

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi

Seconda prova di esonero di Analisi Matematica I 5 febbraio 2013, A

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = x e

. 2. Calcolare il seguente integrale definito:

∫

0

sin

8x sin 5x dx .

3. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:

∫

0

√ x + log(1 + x) x(x

+ 1) dx .

Foglio 2

4. Teoria: Punti di disocntinuit` a e classificazione.

5. Teoria: Teorema di Cauchy (con dim.).

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi

Seconda prova di esonero di Analisi Matematica I 5 febbraio 2013, B

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = (x

− 1) e

. 2. Calcolare il seguente integrale definito:

∫

0

cos

6x sin 7x dx .

3. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:

∫

0

√ x + arctan

x x(x + 1) dx .

Foglio 2

4. Teoria: Funzioni uniformemente continue e teorema di Cantor.

5. Teoria: Teorema di Lagrange (con dim.).

Facolt` a di Ingegneria

Seconda prova di esonero di Analisi Matematica I 6 febbraio 2013, A

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) =

√ x

− 6x − 7 x − 1 . Foglio 2

2. Calcolare il seguente integrale definito:

∫

0

x

e

dx .

3. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:

∫

0

log (1 + √

x) + √

x x

dx .

Foglio 3

4. Teoria: Teorema di Weierstrass (con dim.).

5. Teoria: Regole di l’Hˆ opital.

Facolt` a di Ingegneria

Seconda prova di esonero di Analisi Matematica I 6 febbraio 2013, B

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) =

√ x

− 3x x + 3 . Foglio 2

2. Calcolare il seguente integrale definito:

∫

1

log

x dx .

3. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:

∫

0

√ x + x

e

log(1 + x) dx .

Foglio 3

4. Teoria: Formula di Taylor con il resto di Peano.

5. Teoria: Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.).

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica I 11 febbraio 2013, A

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = e

x

+ 1 . Foglio 2

2. Calcolare le radici quarte del numero complesso z = (1 + √

3i)

(1 − i)

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

(−1)

log n log (

1 +

)

n .

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale:

∫ sin

x

1 + cos

x dx .

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica I 11 febbraio 2013, B

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = e

|x| + 1 .

Foglio 2

2. Calcolare le radici quarte del numero complesso z = ( √

3 + i)

(1 + i)

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

log(n + 1) log ( 1 +

)

√ n .

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale:

∫ cos

x

1 + sin

x dx .

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I 12 febbraio 2013, A

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = e

x

+ 1 . Foglio 2

2. Calcolare le radici terze del numero complesso z = (1 + √

3i)

(1 − i)

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

log (

1 + 1 n √

n )

.

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale:

∫ sin

x

2 + cos x dx .

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I 12 febbraio 2013, B

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = e

|x| + 1 .

Foglio 2

2. Calcolare le radici terze del numero complesso z = ( √

3 + i)

(1 + i)

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

(

e

− 1 ) .

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale:

∫ cos

x

2 − sin x dx .

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica I 25 febbraio 2013, A

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = arctan |x

− 1|

x .

Foglio 2

2. Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione:

z |z|

− z

= 0 .

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

log n ( log (

2 + n

)

− log (

1 + n

)) .

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ e

− 1

e

+ 1 dx .

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica I 25 febbraio 2013, B

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = arctan x

− 1

|x| .

Foglio 2

2. Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione:

z |z|

− z

= 0 .

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

log (

1 + 1 n

)

(log (2 + n) − log (1 + n)) .

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ e

+ 1

e

− 1 dx .

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I 27 febbraio 2013, A

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = arctan |x − 1| − 1

x .

Foglio 2

2. Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione:

z − |z|

= 0 .

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

sin

1

√ n .

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ e

− 1

e

+ 1 dx .

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I 27 febbraio 2013, B

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = arctan |x + 2| − 2

x .

Foglio 2

2. Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione:

z − |z|

= 0 .

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

log

(

1 + 1

√ n )

.

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ e

+ 1

e

− 1 dx .

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica I 15 aprile 2013, A

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = e

.

Foglio 2

2. Determinare le radici terze del numero complesso:

z = − (i − 1)

( √ 3 + i)

(1 + i)

. 3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

(

log (

1 + 1 n

)

− sin 1 n

) .

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ cos

x − 1

cos

x + 1 sin x dx .

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica I 15 aprile 2013, B

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = e

x2

|x−1|

.

Foglio 2

2. Determinare le radici quarte del numero complesso:

z = − (i − 1)

( √ 3 + i)

(1 + i)

. 3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

(

e

− cos 1 n

) .

Foglio 3

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ log

x − 1 log

x + 1

1

x dx .

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I 22 aprile 2013, A

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = log |x − 4|

x .

Foglio 2

2. Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione:

z − |z| = 0 .

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

arctan ( 1

n

+ 1 n

) .

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ x

(x − 1)

(x + 2) dx .

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I 22 aprile 2013, B

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = log |x − 9|

x .

Foglio 2

2. Determinare i numeri complessi che soddisfano la seguente equazione:

z + |z| = 0 .

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

sin ( 1

n

+ 1 n

) .

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ x

(x − 1)

dx .

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica I 3 luglio 2013, A

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = log |x(x + 3)|

|x − 1| .

Foglio 2

2. Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione:

|z + 1|

= |z − i|

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

e

sin n!

n! . 4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫

cos

x sin

x dx .

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica I 3 luglio 2013, A

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = log |x(x + 3)|

|x − 1| .

Foglio 2

2. Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione:

|z + 1|

= |z − i|

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

e

sin n!

n! . 4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫

cos

x sin

x dx .

Cenni sulla soluzione 3 luglio 2013, A

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = log |x(x + 3)|

|x − 1| .

Per l’insieme di definizione bisogna imporre

> 0 e |x − 1| ̸=

0. Tenendo presente che il valore assoluto ` e sempre positivo e che si annulla solo quando il suo argomento si annulla, deve essere x ̸= 0, x ̸= −3 e infine x ̸= 1. Quindi la funzione `e definita in

X

= R \ {−3, 0, 1} .

L’insieme di definizione non ` e simmetrico n´ e periodico e quindi non possono valere tali propriet` a.

La funzione ` e positiva per

≥ 1 cio`e per

≥ 1 oppure per

x(x+3)

x−1

≤ −1. La prima disequazione `e equivalente a

≥ 0 ed `e soddisfatta in {−1}∪]1, +∞[. La seconda `e equivalente a

≤ 0 ed ` e soddisfatta in ] − ∞, −2 − √

5] ∪ [−2 + √

5, 1[. Riassumendo la funzione ` e positiva in

] − ∞, −2 − √

5] ∪ {−1} ∪ [−2 + √

5, 1[ ∪]1, +∞[

ed ` e negativa in [ −2 − √

5, −3[∪] − 3, 0[∪]0, −2 + √

5]. Vi sono interse- zioni con l’asse x nei punti

A( −2 − √

5, 0) , B( −1, 0) , C(−2 + √ 5, 0) .

La funzione ` e continua e quindi gli asintoti verticali vanno ricerca- ti nei punti di accumulazione reali non appartenenti all’insieme di definizione. Si ha

x→−3

lim f (x) = −∞ , lim

x→0

f (x) = −∞ , lim

x→1

f (x) = + ∞ , e quindi le rette di equazione x = −3 e x = 0 sono asintoti verticali in basso mentre la retta di equazione x = 1 ` e un asintoto verticale in alto.

Inoltre

x→±∞

lim f (x) = + ∞ , lim

x→±∞

f (x) x = 0 , e quindi non esistono asintoti orizzontali n´ e obliqui.

Per quanto riguarda la derivabilit` a si osserva che il valore assoluto

non ` e derivabile nei punti in cui il suo argomento si annulla, ma tali

punti sono esclusi dall’insieme di definizione. Pertanto la funzione ` e derivabile in X

e si ha, per ogni x ∈ X

,

f

(x) = 1

|x(x+3)|

|x−1|

D

( |x(x + 3)|

|x − 1|

)

= 1

|x(x+3)|

|x−1|

|x(x+3)|

|x−1|

x(x+3) x−1

D

( x(x + 3) x − 1

)

= x − 1 x(x + 3) D

( x

+ 3x x − 1

)

= x − 1 x(x + 3)

(x − 1)(2x + 3) − x

− 3x (x − 1)

= x

− 2x − 3 x(x − 1)(x + 3) .

Il segno della derivata prima ` e positivo in ] − 3, −1]∪]0, 1[∪[3, +∞[ e negativo in ] − ∞, −3[∪[−1, 0[∪[1, 3[. Quindi f `e strettamente cre- scente in ciascuno degli intervalli ] − 3, −1], ]0, 1[ e [3, +∞[ mentre `e strettamente decrescente in ciascuno degli intervalli ] − ∞, −3[, [−1, 0[

e [1, 3[. Il punto −1 `e un punto di massimo relativo proprio per f e si ha f ( −1) = 0; inoltre il punto 3 `e di minimo relativo proprio per f e si ha f (3) = log 9.

Non ci sono massimi e minimi assoluti in quanto per la presenza di asintoti verticali in alto e in basso la funzione non ` e limitata n´ e superiormente n´ e inferiormente.

Infine f ` e derivabile due volte in X

e si ha, per ogni x ∈ X

, f

(x) = D

( x

− 2x − 3 x

+ 2x

− 3x

)

= −x

− 4x

+ 18x

+ 12x − 9 (x

+ 2x

− 3x)

. Si omette lo studio del segno della derivata seconda per semplicit` a.

Il grafico approssimativo della funzione ` e il seguente.

2. Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione:

|z + 1|

= |z − i|

.

Posto z = x + iy, il modulo di z + 1 = (x + 1) + iy ` e √

(x + 1)

+ y

, mentre il modulo di z − i = x + i(y − 1) `e dato da √

x

+ (y − 1)

. Quindi

(√ (x + 1)

+ y

)

= (√

x

+ (y − 1)

)

da cui (x+1)

+y

= x

+(y−1)

e quindi sviluppando x

+2x+1+y

=

x

+ y

− 2y + 1; semplificando si ottiene x = −y e quindi le soluzioni

sono date da tutti i numeri complessi z = x(1 − i) con x ∈ R.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

e

sin n!

n! .

La serie ` e a segni di segno arbitrario in quanto sin n! non ha se- gno costante n´ e alternante. Si studia pertanto l’assoluta convergenza considerando la serie

+∞

∑

n=1

e

| sin n!|

n! .

Poich´ e, per ogni n ≥ 1,

e

| sin n!|

n! ≤ e

n! , si considera dapprima la convergenza della serie

+∞

∑

n=1

e

n! ; dal criterio del rapporto

n→+∞

lim e

(n + 1)!

n!

e

= lim

n→+∞

e

e

n!

(n + 1)! = e lim

n→+∞

1

n + 1 = 0

e quindi la serie converge. Dal primo criterio di confronto anche la

serie assegnata converge assolutamente e quindi converge.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫

cos

x sin

x dx . Posto t = sin x (da cui dt = cos x dx), si ha:

∫

cos

x sin

x dx =

∫

cos

x sin

x cos x dx

=

∫

(1 − sin

x)

sin

x cos x dx

=

∫

(1 − t

)

t

dt

=

∫

(t

− 2t

+ t

) dt

= t

3 − 2t

5 + t

7 + c

= sin

x

3 − 2 sin

x

5 + sin

x

7 + c, c ∈ R .

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica I 3 luglio 2013, B

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = log |x(x − 2)|

|x − 1| .

Foglio 2

2. Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione:

|z|

= |z + i|

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

√ n + 1 sin n

n

.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫

sin

x cos

x dx .

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I 4 luglio 2013, A

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = e

.

Foglio 2

2. Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione:

|z + i|

= |z − i|

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

(−1)

√

e

√ n! .

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ √

x − 3 (x − 1) √

x dx .

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I 4 luglio 2013, B

Foglio 1

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = e

.

Foglio 2

2. Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione:

|z + 1|

= |z + i|

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

(−1)

√ e

√

n! . 4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ e

(e

− 1)

dx .

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica I 16 luglio 2013, A

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = arctan |x

− 1|

x .

2. Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione:

¯

z |z| = z

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

1

√ n arcsin 1

√ n .

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ 1

sin

x dx .

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica I 16 luglio 2013, B

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = arctan x

− 1

|x| .

2. Determinare le soluzioni complesse della seguente equazione:

z |z|

= ¯ z .

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

1

√ n log (

1 + 1

√ n )

.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ 1

cos

x dx .

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I 17 luglio 2013, A

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = log x

+ 1

|x| . 2. Determinare le radici terze del numero complesso:

z = (1 + i)

1 − i .

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

(−1)

e

n

. 4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫

sin

x dx .

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I 17 luglio 2013, B

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = log x

|1 − x

| . 2. Determinare le radici terze del numero complesso:

z = (1 − i)

1 + i .

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

(−1)

n

e

.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫

cos

x dx .

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica I 10 settembre 2013, A

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = 

log x

− 1 x

  .

2. Determinare le radici terze del numero complesso:

z = (1 − i)

( √

3 − i)

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

log n n √

n . 4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ x

(x + 1)(x

+ 1) dx .

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica I 10 settembre 2013, B

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = 

log x x

− 1

  .

2. Determinare le radici terze del numero complesso:

z = ( √ 3 + i)

(1 + i)

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( −1)

√ n log n n

+ n + 1 . 4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ x

(x − 1)

(x + 1) dx .

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I 24 settembre 2013, A

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = 

log x

+ 1 x

  .

2. Determinare le radici terze del numero complesso:

z = (1 + i)

(1 − i)

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

(−1)

1

√ n sin √ n . 4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ sin

x + sin x

1 − cos

x dx .

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I 24 settembre 2013, B

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = 

log x

1 − x

  .

2. Determinare le radici terze del numero complesso:

z = (1 − i)

(1 + i)

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

(−1)

log

√ n + 1

√ n arctan 1

√ n .

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ cos

x + cos x

1 − sin

x dx .

Facolt` a di Ingegneria, Lecce

Prova scritta di Analisi Matematica I 21 ottobre 2013, A

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = |cos(2x)| + sin x . 2. Determinare le soluzioni dell’equazione:

z |z| = z . 3. Studiare il seguente limite:

x

lim

sin

x − x

arcsin x

− x sin x .

4. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:

∫

0

e

√ x dx .

Facolt` a di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica I 22 ottobre 2013, A

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = | cos x| + sin 2x .

2. Determinare le soluzioni della seguente equazione in campo complesso:

z

z = |z|

.

3. Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

(−1)

√ n

(

1 − cos 1 n

) .

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:

∫ x

+ 1

x

+ 1 dx .