L’unico effetto del segno `e che ϑ = 0 e ϑ = π si scambiano, in particolare si scambiano le propriet`a di stabilit`a (come scambiare l’alto col basso, cambiando segno a g)

Traccia di soluzione della II prova parziale – 12/06/15

Problema I

L’energia cinetica `e identica al problema 23 delle dispense, svolto anche in aula: due masse m/2 al posto di un’unica massa m. L’energia potenziale (teor. Carnot) `e

V = 2k

2d²= k(R²+ R²− 2R²cos ϑ) = −2kR²cos ϑ + cost ; anche 2kR²(1 − cos ϑ) naturalmente andava benissimo.

V differisce da quella del problema 23 per il segno e per la costante 2kR al posto di mg. L’unico effetto del segno `e che ϑ = 0 e ϑ = π si scambiano, in particolare si scambiano le propriet`a di stabilit`a (come scambiare l’alto col basso, cambiando segno a g). Tutto il resto – il procedimento di riduzione, gli equilibri ulteriori e la loro stabilit`a, la domanda riguardante gli equilibri del problema completo – resta identico (con −2kR al posto di mg, identiche conclusioni: una doppia infinit`a di punti, tutti instabili).

Problema II

L’energia potenziale `e

V (s, ϑ) = 1

2ks²+1

2k^′(s + l sin ϑ)² , da cui

Vs^′ = ks + k^′(s + l sin ϑ) , Vϑ^′ = k^′l(s + l sin ϑ) cos ϑ . Entrambe le derivate prime si annullano in (0, 0) che dunque `e di equilibrio.

Si ha poi

V^′′(ϑ, ϕ) =

 k + k^′ k^′l cos ϑ k^′l cos ϑ k^′l²(cos²ϑ − sin²ϑ)



; V^′′(0, 0) = k + k^′ k^′l k^′l k^′l²

 . La positivit`a, e dunque la stabilit`a di (0, 0), `e ovvia.

L’energia cinetica ha l’espressione vista in varie circostanze, e semplice da ricavare, K = 1

2(2s²+ l²ϑ˙²+ 2l cos ϑ ˙s ˙ϑ) , cui corrisponde

a(ϑ, ϕ) = m

 2 l cos ϑ l cos ϑ l²



, A = a(0, 0) = m 2 l l l²

 . Posto B = V^′′(0, 0) si ha

B − λA = k + k^′− 2λm k^′l − λml k^′l − λml k^′l²− λml²

 ,

e l’equazione secolare si scrive

l²(k + k^′− 2λm)(k^′− λm) − l²(k^′− λm)² = 0 .

A vista si ha la soluzione λ₁ = k^′/m, e poi (k + k^′− 2λm) − (k^′− λm) = 0 , ovvero λ₂ = k/m ,

con poi ωi =√

λi (certo sviluppare il prodotto e il quadrato, per poi ricorrere alla formula risolu- tiva, complicava i calcoli).

Con procedimento standard si pone (B − λⁱA)u⁽ⁱ⁾ = 0, i = 1, 2, ricavando u⁽¹⁾ = 0

1



, u⁽²⁾=

 l

−1



; segue

s(t) = lA₂cos(ω₂t + ϕ₂)

ϑ(t) = A1cos(ω1t + ϕ1) − A²cos(ω2t + ϕ2) .

Per il terzo punto, si tratta di cercare tutte le soluzioni di Vs^′ = 0, V_ϑ^′ = 0. Si osserva che la seconda `e soddisfatta

(a) per cos ϑ = 0 , ovvero per ϑ = ±π/2, oppure

(b) per s + l sin ϑ=0 .

Nel caso (a) la prima equazione d`a s = ∓k^k+k^′l′, e si hanno le configurazioni di equilibrio

 k^′l k + k^′, −π

2



, 

− k^′l k + k^′,π

2



;

nel caso (b) la prima equazione d`a s = 0, cui segue sin ϑ = 0: si ritrova allora la soluzione (0, 0) assieme a (0, π).

La matrice hessiana V^′′ mostra che (0, 0) `e stabile, le altre due sono instabili (V<sup>′′</sup> `e diagonale, con un elemento negativo).