Prova scritta di METODI MATEMATICI della FISICA INTRODUZIONE
26 marzo 2007
Risultati COMPITO 1
1. f (z) ha infiniti poli semplici in zk = −i (k + 1/2), ∀k ∈ Z − {−1, −2};
z = i/2 `e un punto regolare; z = 3i/2 `e un polo doppio.
I = 0 se 0 < h < 1/2;
I = −1 se 1/2 < h < 3/2;
I = 1/3 se 3/2 < h ≤ 2;
I non esiste se h = 1/2, 3/2.
2.
F (k) = 1 2
rπ
2e−2|π−k|; g(x) = −i df
dx = eiπx2ix + π(x2+ 4) (x2+ 4)2 3. x = 0 `e un punto fuchsiano se α 6= 0, regolare se α = 0;
x = 1 `e un punto fuchsiano se α 6= −1, regolare se α = −1.
La soluzione generale `e regolare in x = 0 se α = 0.
x = 0: ρ = α, 1; y1(x) ∼ xα, y2(x) ∼ x
x = 1: ρ = −α, 0; y1(x) ∼ (x − 1)−α, y2(x) ∼ c
Risultati COMPITO 2
1. f (z) ha infiniti poli semplici in zk = −i k, ∀k ∈ Z − {−1, −2}; z = i `e un punto regolare; z = 2i `e un polo doppio.
I = 1 se 0 < h < 1;
I = −1/3 se 1 < h ≤ 3/2;
I non esiste se h = 1.
2.
F (k) =
rπ
2 e−|π+k|; g(x) = −i df
dx = e−iπx 2ix − π(x2+ 1) (x2+ 1)2 3. z = 0 `e un punto fuchsiano se β 6= 1, regolare se β = 1;
z = −1 `e un punto fuchsiano se β 6= 0, regolare se β = 0.
La soluzione generale `e regolare in z = 0 se β = 1.
z = 0: ρ = β, 0; y1(z) ∼ zβ, y2(z) ∼ c
z = −1: ρ = −β, 1; y1(z) ∼ (z + 1)−β, y2(z) ∼ (z + 1)
Risultati COMPITO 3
1. f (z) ha infiniti poli semplici in zk = −i (k + 1/2), ∀k ∈ Z − {0, 1};
z = −i/2 `e un punto regolare; z = −3i/2 `e un polo doppio.
I = 0 se 0 < h < 1/2;
I = 1 se 1/2 < h < 3/2;
I = −1/3 se 3/2 < h ≤ 2;
I non esiste se h = 1/2, 3/2.
2.
F (k) =
rπ
2 e−|2π−k|; g(x) = −i df
dx = 2 e2iπx ix + π(x2+ 1) (x2 + 1)2 3. x = 0 `e un punto fuchsiano se β 6= 0, regolare se β = 0;
x = −1 `e un punto fuchsiano se β 6= −1, regolare se β = −1.
La soluzione generale `e regolare in x = 0 se β = 0.
x = 0: ρ = β, 1; y1(x) ∼ xβ, y2(x) ∼ x
x = −1: ρ = −β, 0; y1(x) ∼ (x + 1)−β, y2(x) ∼ c
Risultati COMPITO 4
1. f (z) ha infiniti poli semplici in zk = −i k, ∀k ∈ Z − {1, 2}; z = −i `e un punto regolare; z = −2i `e un polo doppio.
I = 1 se 0 < h < 1;
I = −1/3 se 1 < h ≤ 3/2;
I non esiste se h = 1.
2.
F (k) = 1 2
rπ
2 e−2|2π−k|; g(x) = −i df
dx = 2e2iπxix + π(x2+ 4) (x2+ 4)2 3. z = 0 `e un punto fuchsiano se α 6= 1, regolare se α = 1;
z = 1 `e un punto fuchsiano se α 6= 0, regolare se α = 0.
La soluzione generale `e regolare in z = 0 se α = 1.
z = 0: ρ = α, 0; y1(z) ∼ zα, y2(z) ∼ c
z = 1: ρ = −α, 1; y1(z) ∼ (z − 1)−α, y2(z) ∼ z − 1
