Analisi 2

Analisi 2

Argomenti

 Curve in

 Parametrizzazione e sostegno

 Parametrizzazioni equivalenti

 Lunghezza di una curva

 Parametro arco

 Campi vettoriali

 Definizione

 Linea di flusso

 Gradiente

 Operatore di Laplace

 Divergenza

 Rotore

 Lavoro

 Campi vettoriali conservativi

 Potenziale

 Equazioni differenziali ordinarie

 Definizione

 Sistemi di equazioni differenziali lineari di 1° ordine

 Problema di Cauchy

 Funzione Lipschitziana

 Teorema di esistenza ed unicità locale (Teorema di Peano)

 Equazioni lineari di primo ordine

 Caso

 Caso

 Caso

 Equazioni lineari di secondo ordine

 Caso in cui i coefficienti sono costanti

 Caso in cui i coefficienti non sono costanti (Equazione di Eulero)

 Sistemi di equazioni lineari di ordine superiore al secondo

 Matrice esponenziale

 Serie di Fourier

Curve in

Parametrizzazione e sostegno

Una curva nel piano o nello spazio è definita tra due estremi a e b mediante una parametrizzazione del tipo:

L’immagine di nel piano (o nello spazio), ovvero la sua traiettoria, è detta sostegno.

NB: In generale se due curve hanno lo stesso sostegno è possibile che non abbiano parametrizzazione equivalente.

Parametrizzazioni equivalenti

Sia data una funzione di classe e con (ovvero è sempre strettamente crescente o decrescente), le uniche parametrizzazioni di una curva equivalenti sono tutte quelle nella forma:

( )

Tutte le altre parametrizzazioni non sono equivalenti.

Lunghezza di una curva

Per calcolare la lunghezza di una curva possiamo immaginare di fissare alcuni punti sulla curva e calcolare la lunghezza della spezzata che interseca tutti quei punti: quella ottenuta, tuttavia, rappresenta solo

un’approssimazione della lunghezza della curva.

Immaginiamo a questo punto di infittire sempre di più il numero di punti sulla curva: la spezzata sarà costituita da segmenti di dimensione infinitesima e la cui direzione non è altro che quella della tangente alla curva in quel punto, la quale è, per definizione, la sua derivata prima.

Dal ragionamento di cui sopra possiamo quindi definire la lunghezza di una curva come:

∫ ∫

Parametro arco

Considerando una curva in un piano è possibile individuare ciascun punto appartenente ad essa mediante due coordinate, tuttavia studiare una curva usando due coordinate (o più) può risultare inutilmente complicato.

Un altro sistema per individuare i punti su una curva può essere, ad esempio, quello di specificare solo la distanza del punto generico della curva da un altro punto fissato della stessa (che per noi sarà l’origine della curva) sfruttando la definizione di lunghezza:

∫

Il parametro fornisce la distanza di un qualsiasi punto è detto parametro arco.

Se è possibile invertire la relazione allora è possibile riscrivere la parametrizzazione della curva nella forma ( ): in questo caso la curva verrà percorsa sempre con velocità costante e pari ad 1.

Campi vettoriali Definizione

Un campo vettoriale è definito come una funzione che manda un n-upla in uno spazio ad m dimensioni:

Se m è uguale ad 1 allora il campo si dice scalare.

Linea di flusso

Una linea di flusso è una qualsiasi curva regolare tangente in ogni punto al campo vettoriale.

NB: se è una parametrizzazione di una linea di flusso allora si ha che

Gradiente

Sia dato un campo vettoriale , il suo gradiente è dato da

Operatore di Laplace (Laplaciano)

Sia dato un campo vettoriale F, il suo laplaciano è definito come

Divergenza

La divergenza di un campo vettoriale descrive la tendenza di quest’ultimo a convergere o divergere da un punto.

Rotore

(

)

Il rotore di un campo vettoriale descrive la rotazione del campo stesso. Se il rotore di un campo è 0 allora il campo si dice irrotazionale.

NB: Il rotore è un concetto che esiste solo in , tuttavia in si può supporre che la coordinata z sia 0.

Lavoro

Il lavoro compiuto da una forza lungo una retta non è altro che il prodotto della forza per lo spostamento.

Se quest’ultimo però non è rettilineo allora possiamo pensare al lavoro come la somma dei prodotti della forza per gli spostamenti infinitesimi (che si possono approssimare a delle rette) utilizzando la definizione di derivata prima:

∫ ∫ ( )

Campi vettoriali conservativi

Un campo vettoriale si dice conservativo se il lavoro compiuto lungo una curva dipende solo dagli estremi a e b e non dalla curva stessa. In questo caso il lavoro può essere calcolato come differenza tra due valori numerici che dipendono solo dalle coordinate dei punti e che prendono il nome di potenziali (indicati con U).

∫ ( )

NB: Se un campo è conservativo allora esso è irrotazionale. Se il campo è sia irrotazionale che

semplicemente connesso (ovvero in non esistono buchi nel dominio) allora il campo è conservativo.

Potenziale

Sia dato un campo vettoriale nella forma dalla definizione di potenziale di un campo vettoriale sappiamo che valgono le seguenti:

e

Qualora fosse necessario calcolare il valore del potenziale del campo vettoriale bisognerebbe prima di tutto verificare che il campo sia conservativo (non ha senso parlare di potenziale di un campo non conservativo) verificando prima che sia semplicemente connesso e poi che il suo rotore valga zero (il campo è cioè irrotazionale).

A questo punto sfruttando le definizioni di cui sopra sappiamo che:

∫ ∫ Nella serie di equazioni qui sopra abbiamo applicato la definizione di potenziale restringendo il nostro interesse alla sola componente x del campo. Il risultato ottenuto, pertanto, è la primitiva della

componente x del campo più una certa costante che dipende da y.

Per trovare il valore preciso di questa costante non ci resta che derivare il risultato e porre quanto ottenuto pari a sfruttando la definizione :

Integrando membro a membro si ottiene il valore di per cui è effettivamente il potenziale di . E’ opportuno tener presente che nell’integrazione compare una costante additiva numerica arbitraria: qualora fosse richiesto dal problema di individuare qual’è il potenziale del campo vettoriale per il quale , allora per eliminare questa costante (e soddisfare la richiesta del’esercizio) sarà sufficiente sostituire nell’equazione del potenziale appena individuato i valori numerici del punto di riferimento al fine di individuare il corretto valore da assegnare alla costante numerica.

Il procedimento presentato può altresì essere applicato valutando prima la componente y e quindi calcolando il valore della costante in x.

Equazioni differenziali ordinarie Definizione:

Un’equazione differenziale ordinaria (EDO) è un’equazione nella forma:

In cui compare un’incognita ed alcune sue derivate (valutate nel medesimo punto) fino ad un ordine massimo pari ad n.

L’equazione differenziale si dice di ordine n per indicare il grado massimo delle derivate incognite presenti.

Si definisce ordinaria un’equazione in cui le incognite dipendono da un’unica variabile (in questo caso x).

Si definisce lineare un’equazione differenziale in cui f è un polinomio di primo grado in . Un’equazione differenziale si dice scritta in forma normale se la derivata di ordine massimo presente può essere esplicitata come:

Si definisce soluzione o integrale di un’equazione differenziale una funzione definita in un certo intervallo D e derivabile n volte tale che valga l’uguaglianza

Problema di Cauchy

Risolvere un problema di Cauchy consiste nel risolvere un’equazione differenziale di ordine n-esimo sapendo che la funzione e le sue n derivate in un certo punto valgono un certo valore numerico stabilito a priori:

{

Funzione Lipschitziana

Una funzione si dice Lipschitziana su se il rapporto tra la variazione dell’ascissa e la variazione dell’ordinata non supera mai un certo valore K detto costante di Lipschitz:

Una funzione Lipschitziana in I è anche continua in I, tuttavia non è detto che sia anche derivabile.

Teorema di esistenza ed unicità locale (Teorema di Peano)

Dato un problema di Cauchy, il teorema di esistenza ed unicità locale asserisce che, sia dato un sistema della forma:

{

Esiste una soluzione unica che soddisfa il sistema di cui sopra per un certo intervallo con purchè valgano le seguenti ipotesi:

 deve essere definita in un intorno di

 deve essere di classe su tale intorno

 deve essere lipschitziana rispetto ad y

 deve essere uniforme continua rispetto ad x

(ie: )

Equazioni lineari di primo ordine

Le equazioni lineari di primo ordine sono tutte le equazioni differenziali della forma:

Caso y’=f(x)

Il caso è molto semplice in quanto è possibile individuare la soluzione semplicemente integrando : ∫

Nel caso in cui ci trovassimo di fronte ad un problema di Cauchy in cui si ha che allora la soluzione è la seguente:

∫

Caso y’ - a(x)y = 0

In questo caso è possibile trovare la soluzione usando la seguente formula:

^∫

I problemi di Cauchy associati si risolvono usando la formula seguente:

^∫ Dimostrazione:







 ∫ ∫

 ∫

 ∫

 ∫ ^{∫ ∫} Caso y’-a(x)y-b(x)=0

Per il teorema di struttura tutte le soluzioni dell’equazione differenziale presentata sono nella forma ̃

Dove è la soluzione dell’omogenea associata (ovvero la stessa equazione in cui però b(x) è uguale a 0) ed ̃ è una soluzione particolare trovata mediate la formula:

̃ ^∫ ∫ ^∫

Considerando che la soluzione dell’omogenea associata rientra nella casistica precedente, la soluzione completa dell’equazione differenziale di partenza è:

^∫ ∫ ^∫

Per i problemi di Cauchy nella forma:

{

La formula risolutiva è:

^∫ ∫ ^∫

Equazioni lineari di secondo ordine

Le equazioni differenziali lineari di secondo ordine sono tutte le equazioni differenziali della forma:

Caso in cui i coefficienti sono costanti

Un equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti è un’equazione del tipo:

Dove a e b sono due costanti appartenenti ad . Caso

Le soluzioni all’equazione precedente sono tutte le funzioni della forma .

Sostituendo nell’equazione la precedente, derivando e mettendo in evidenza il termine otteniamo la seguente equazione:

Visto che l’esponenziale non si annulla mai, l’equazione vale zero solo se il fattore vale zero, il che equivale a risolvere una semplice equazione di secondo grado.

Se le radici della precedente sono reali e distinte allora le funzioni che risolvono l’equazione differenziale sono tutte le funzioni appartenente allo spazio vettoriale di funzioni generato da

Se le radici sono reali e coincidenti le due radici generano funzioni linearmente dipendenti e quindi le soluzioni saranno rappresentate dalla funzioni appartenenti al seguente spazio vettoriale:

Se le radici sono immaginarie allora le soluzioni sono della forma

Caso

Come per le equazioni differenziali del primo ordine, è possibile trovare le soluzioni della precedente sommando alla soluzione dell’omogenea associata (caso precedente) una soluzione particolare dell’equazione differenziale (teorema di struttura).

Per individuare la soluzione particolare dell’equazione differenziale possiamo ricorrere a due metodi diversi: il metodo di variazione delle costanti o il metodo di somiglianza.

Metodo di variazione delle costanti

Cerchiamo una soluzione particolare dell’EDO al fine di applicare il ben noto teorema di struttura.

Tale soluzione è della forma:

Dove e sono due soluzioni qualsiasi dell’equazione omogenea associata, trovate considerando le soluzioni individuate con le metodologie trattate nel paragrafo “Caso ” e ponendo C1 e C2 pari a due valori qualsiasi per due volte (una per ogni soluzione da individuare)

Una volta individuate le due soluzioni qualsiasi dell’omogenea associata è possibile determinare i valori di e di usando le seguenti formule:

Integrando le due funzioni appena individuate è possibile trovare l’equazione particolare e, tramite essa, individuare le soluzioni dell’EDO di partenza.

Metodo di somiglianza

Il metodo presentato può essere applicato solo se la forzante è della forma:

o Dove è un polinomio in x di grado m.

In tal caso si considerano due numeri complessi coniugati definiti come e Se non risolve allora la soluzione particolare è definita come

Dove e sono due polinomi di grado m completi (ovvero ammettono tutti i termini dal grado m al grado 0, ovvero )

Se risolve , invece la soluzione particolare è definita come

Dove è la molteplicità di (1 o 2).

A questo punto sostituiamo la soluzione particolare e le sue derivate (preventivamente calcolate)

nell’equazione di partenza al fine di eliminare i termini dei polinomi e e quindi utilizziamo il teorema di struttura per individuare le soluzioni dell’EDO completa.

Caso in cui i coefficienti non sono costanti (Equazione di Eulero)

Dicesi “equazione di eulero” un’equazione differenziale di ordine m della forma:

∑

In sostanza si tratta di un’equazione in cui i coefficienti non sono costanti in quanto dipendono da un coefficiente numerico ed uno non numerico elevato ad una potenza pari all’ordine di derivazione della variabile y (ovvero la derivata seconda di y viene moltiplicata per un coefficiente in cui compare x al quadrato e così via).

Il metodo di risoluzione di queste equazioni consiste inizialmente nell’effettuare una sostituzione dipendente dal problema di Cauchy che si vuole risolvere:

Se allora imporremo , in caso contrario, invece, imporremo .

(*) A questo punto potremo effettuare la sostituzione (nel caso , ovviamente) Calcoliamo tutte le derivate necessarie:

( ) ...e via dicendo...

NB: Si ricorda di prestare attenzione nel derivare oltre il secondo ordine in quanto, effettuando le sostituzioni in funzione della derivata di ordine precedente, compaiono dei termini additivi in e sue derivate che vanno sottratti (segnati in rosso)

A questo punto riscriviamo l’equazione data imponendo la sostituzione di cui sopra (in questo caso ):

∑

Nell’equazione di cui sopra è possibile effettuare le dovute sostituzioni dei termini della forma (con n numero tra 0 ed il grado dell’equazione differenziale) utilizzando le derivate calcolate poco sopra.

Effettuando questa sostituzione tutti i termini in scompaiono ed otteniamo un’EDO lineare a coefficienti costanti (trattate nel paragrafo precedente o quello successivo) in .

Sistemi di equazioni differenziali lineari di 1° ordine

Un sistema di equazioni differenziali lineari di 1° ordine è un sistema scritto nella forma:

{

In cui tutte le funzione sono definite nel medesimo intervallo D e le funzioni rappresentano le funzioni incognite.

E’ possibile riscrivere il sistema in forma compatta utilizzando la notazione vettoriale:

Una qualsiasi equazione differenziale lineare di ordine n può essere scritta come un sistema di quazioni differenziali lineari ponendo

Ed ottenendo un sistema nella forma

{

Sistemi di equazioni lineari di ordine superiore al secondo

Abbiamo visto in precedenza come trasformare una qualsiasi equazione lineare di ordine superiore al secondo in un sistema di equazioni ordinarie lineari di 1° ordine (paragrafo “Sistemi di equazioni differenziali lineari di 1° ordine”).

A partire da tale sistema è possibile costruire una matrice A in cui la cella rappresenta il coefficiente numerico del j-esimo termine della i-esima equazione. In altre parole la matrice A è sempre formata così come segue:

[

]

Dove i termini sono i coefficienti dell’ultima equazione differenziale del sistema.

Si determinano gli autovalori e gli autovettori relativi alla matrice A e quindi le soluzioni del sistema omogeneo saranno tutte le soluzioni della forma:

La soluzione particolare del sistema (necessaria per applicare il teorema di struttura) è data dalla seguente formula:

∫

Dove è il vettore colonna in cui l’i-esima cella rappresenta il coefficiente noto (che non dipende cioè da y) dell’i-esima equazione del sistema (dato che le prime n-1 equazioni non possiedono coefficiente noto, esse saranno tutte uguali a zero) e è la matrice esponenziale trattata nel paragrafo successivo.

Le soluzioni a tal sistema saranno pertanto:

Matrice esponenziale

Sia data una matrice A, si definisce matrice esponenziale di A e si indica con la somma della seguente serie di potenze:

∑

Dove è la produttoria della matrice A per k che va da 1 ad i: ∏

E’ possibile semplificare di molto il calcolo della matrice esponenziale se A è una matrice diagonalizzabile.

In tal caso è possibile calcolare la matrice esponenziale utilizzando la seguente formula:

Dove D rappresenta A diagonalizzata.

Nel caso di un sistema di EDO, S è la matrice costruita per colonne mediante gli autovettori di A (paragrafo precedente), mentre D è una matrice diagonale in cui l’i-esimo termine è rappresentato dall’i-esimo autovalore di A.

Nel paragrafo precedente, ove si chiede di calcolare , è sufficiente applicare pertanto:

Serie di Fourier

Sia data una funzione , periodica di periodo (il cui intervallo sia e regolare a tratti (ovvero è possibile suddividere la funzione in un certo numero di intervalli entro i quali f(x) è continua,

infinitamente derivabile e con derivate continue), è possibile dimostrare che essa può essere scritta come la somma di infiniti termini trigonometrici (sinusoidi e cosinusoidi) della forma:

∑ (

)

Dove e , detti coefficienti di Fourier, sono definiti come:

∫ ( )

∫ ( )

NB: Vale la pena ricordare che se è una funzione pari il termine si annulla, questo perchè il tutto si riduce al dover calcolare un integrale tra –T e T di una funzione dispari (una funzione pari moltiplicata per una funzione dispari (cos) restituisce una funzione dispari) che vale notoriamente 0.

Se è dispari, invece, il termine si annulla per le stesse ragioni di cui sopra.