QUADERNO 3 B I.T.E. – 2019/2020QUADERNO n.3Capitolo 3: Funzioni esponenziali e logaritmiRICHIAMINegli anni passati abbiamo definito la potenza di un numero come una moltiplicazione ripetuta.

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QUADERNO 3 B I.T.E. – 2019/2020

QUADERNO n.3

Capitolo 3: Funzioni esponenziali e logaritmi RICHIAMI

Negli anni passati abbiamo definito la potenza di un numero come una moltiplicazione ripetuta.

aⁿ=a×a×a×...×a . La base a viene moltiplicata per se stessa n volte, quindi n∈ℕ Con questa definizione si verifica molto facilmente che valgono le proprietà delle potenze:

aⁿa^m=a^n+m (aⁿ)^m=a^{n m} aⁿbⁿ=(a b)ⁿ

Successivamente abbiamo dato un significato alle potenze con esponenti n∈ℤ ^definendo a⁻¹=1

a ^purché a≠0 . Con minore facilità si può comunque verificare che continuano a valere le proprietà delle potenze scritte sopra.

Studiando i radicali abbiamo poi dato un significato agli esponenti

n∈ℚ

^definendo a

p

q=

√

^p^a^q ^purché

^a>0

nel caso che p sia pari. (ovviamente n= p q ^).

Anche con questa estensione della definizione le proprietà delle potenze continuano a valere.

OSSERVAZIONE

Ci proponiamo adesso di estendere ancora la definizione di potenza agli esponenti

n∈ℝ

^{, in}

particolare ci occorre una definizione che ci permetta di calcolare la potenza con un esponente irrazionale (cioè che non può essere rappresentata in forma di frazione o in forma decimale finita o periodica). Per far questo non ha più senso la definizione come “moltiplicazione ripetuta” e non è più possibile interpretare i denominatori come ordine di un radicale. Dunque occorre cancellare tutto e ridefinire la potenza da capo.

DEFINIZIONE

Siano

a∈ℝ∧x∈ℝ

e sia in particolare

a>0

. Si dice potenza

a

^x il numero minore di tutte le possibili approssimazioni a^d>a^x ^con

d ∈ℚ

e maggiore di tutte le possibili approssimazioni

a

^s

>a

^x ^con

s∈ℚ

^.

OSSERVAZIONE

Si può dimostrare che tale numero esiste sempre.

Si può dimostrare che continuano a valere le proprietà delle potenze.

Tale definizione è valida soltanto con la base a>0 .

Il grafico della funzione esponenziale è una curva che si impenna notevolmente all'aumentare di x, anche nel parlare comune si usa il termine “crescita esponenziale” per descrivere una crescita velocissima.

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ESERCIZIO n.19 pag.137

Tracciamo il grafico delle funzioni y=3^x ^e y=3^{2 x} nello stesso piano cartesiano.

I grafici sono stati realizzati con GeoGebra. In verde y=3^x e in rosso y=3^{2 x} ESERCIZIO n.20 pag.137

Risolvere la seguente equazione esponenziale 3^x+1=27

Si osservi che 27 è una potenza di 3, quindi l'equazione può essere scritta

3

^x+1

=3

³ ^.

Da questa scrittura notiamo l'equivalenza con l'equazione

x+1=3

che è un'equazione di primo grado che sappiamo risolvere facilmente.

La soluzione richiesta è

x=2

^.

Risolvere la seguente equazione esponenziale

5

^{2 x}

= 1 25

Si osservi che al secondo membro c'è una potenza di 5, quindi l'equazione può essere scritta come

5

^{2 x}

=5

⁻² . Da questa scrittura notiamo l'equivalenza con l'equazione

2 x=−2

^{che è}

un'equazione di primo grado che sappiamo risolvere facilmente.

2 ovvero

2

^x

=2

⁴⁺¹² . Da questa scrittura notiamo l'equivalenza con l'equazione

x=4+ 1

2

, per risolverla dobbiamo soltanto eseguire l'addizione.

x= 9 2

^.

5

^x

4

^x

=2 √ ²

(2

²

)

^x

=2

¹⁺¹² ^ovvero

2

^{2 x}

=2

3

2 ovvero

2 x= 3

2

^ovvero ^{x= 3}4

(4)

2

^x

=8 √ ²

2

^x

=2

³

√ ²

^ovvero

₂

^x

₌₂

³⁺¹² ^ovvero

^{x= 7} ₂

√

3

⁵

^x

⁼²⁵

5

x

3

=5

² ^ovvero

x

3 =2

ovvero

.

(3)4

^x

+( 7

4 ) 4

^x

=19 √ ²

4

^x

(3+ 7

4 )= 19 √ ²

ovvero

4

^x

( 19

4 )=19 √ ²

ovvero

4

^x−1

= √ ²

^ovvero

₂

^{2( x−1)}

₌₂

¹²

ovvero

2( x−1)= 1

2

^ovvero

2 x−2= 1

2

^ovvero

2 x= 5

2

^ovvero ^{x= 5}4 ^. ESERCIZIO 74 pag.139

(5)2

^x

+2

^x−3

=328

(5)

2

^x

(5+2

⁻¹

ovvero

5

^x

(5

^{2 x}

)=5

⁻¹ ^ovvero

5

^{x+2 x}

=5

⁻¹ ^ovvero

5

^{3 x}

=5

⁻¹

ovvero

3 x=−1

^ovvero

x=− 1 3

^.

Esercizio n.78 pag.140. Tre mesi o un anno?

Alberto decide di investire i suoi risparmi sottoscrivendo il contratto che vedi qui in basso. «Tasso di interesse composto del 4% con capitalizzazione a tre mesi» significa che ogni tre mesi la sua banca gli accrediterà il 4% del denaro presente sul suo conto in quel momento e che questi soldi andranno a sommarsi al capitale. Le condizioni del contratto di Giorgio invece sono quelle riportate più in basso a fianco.

Dopo quanto tempo il capitale di Alberto uguaglierà quello di Giorgio?

Deposito di Alberto: € 156 250 tasso di interesse composto: 4% capitalizzazione: 3 mesi Deposito di Giorgio: € 175 760 tasso di interesse composto: 4% capitalizzazione: 1 anno Indicando con x l'anno e con y il capitale all'anno (4 trimestri):

Alberto: y=( 104 100)

4 x

156250 Giorgio: y=(104 100)

x

175760 Per rispondere alla domanda dobbiamo impostare l'uguaglianza:

(104 100)

4 x

156250=(104 100)

x

175760 ovvero (104 100)

4 x− x

=175760

156250 ovvero (104 100)

3 x

=175760 156250 ovvero (1,04)^{3 x}=1,124864

Si osservi che già con x=1 otteniamo (1,04)³=1,124864 Dunque i capitali si eguagliano già dopo 1 solo anno.

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ESERCIZIO n.180 pag.144 Calcolare i seguenti logaritmi

log₁

2

1

₇

49=2

log 100=2 log 1000=3

log

₁₁

121=2 log

₇

343=3

log

₃

1 9 √ ^{3=− 3}

2 log

₂

1 16 =−4

log

₅

0,04=−2 log

₇₄₅

1=0

log

₇

7 √ ^{7= 3} ₂ ^log

3

1 √ ³ ⁼⁻

1

2

(7)

log

₂

( √ ² √

⁴

^{2)= 3}

4 log 1

₁₃

√ ¹⁰ ⁼⁻

1 13

log

₅

√

⁵

^{5= 1}

5 log

₁

2

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