QUADERNO 3 B I.T.E. – 2019/2020QUADERNO n.2Capitolo 2: le funzioniDEFINIZIONE (generale)Si dice

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QUADERNO 3 B I.T.E. – 2019/2020

QUADERNO n.2 Capitolo 2: le funzioni DEFINIZIONE (generale)

Si dice funzione una relazione tra un insieme A ed un insieme B, tale che ad ogni elemento di A corrisponda uno ed un solo elemento di B

RICHIAMI

Nei primi due anni delle medie superiori gli alunni dovrebbero aver incontrato il prodotto cartesiano tra due insiemi A e B, ovvero l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate (a ,b) con a elemento di A e b elemento di B.

Successivamente la definizione di relazione tra due insiemi A e B come sottoinsieme del prodotto cartesiano tra A e B, ovvero come “una scelta” di alcune coppie fra tutte le coppie possibili.

Infine la definizione di funzione come già scritta sopra.

PRECISAZIONE

Per ciò che riguarda il nostro corso di studi, ci limiteremo a considerare il prodotto cartesiano ℝ×ℝ , ovvero il piano cartesiano dove ciascun asse rappresenta l'insieme dei numeri reali.

Le relazioni saranno dunque sottoinsiemi del piano cartesiano, ovvero una scelta di coppie (x ; y ) che visualizzeremo come curve o figure.

In questo contesto proviamo a dare una definizione più specifica.

DEFINIZIONE (specifica)

Si dice funzione una relazione tra un insieme

A⊆ℝ

_x e

ℝ

_y , tale che ad ogni numero

x∈A

corrisponda uno ed un solo numero

y∈ℝ

_y .

NOTAZIONE

Tale relazione sarà descritta da un'equazione

y= f (x)

, intendendo con f(x) una generica espressione con la variabile x.

OSSERVAZIONE

Il valore sconosciuto x può essere chiamato incognita o variabile o anche parametro, a seconda del contesto. Quando parliamo di funzioni è più corretto parlare di variabile per porre l'accento sul fatto che x, appunto, varia. La parola incognita è invece più adatta ad una situazione in cui abbiamo a che fare con un valore sconosciuto (ma fisso). Infine il parametro possiamo considerarlo una sorta di “super variabile”: ad ogni valore del parametro corrisponde una diversa equazione (abbiamo già visto) o una diversa funzione (vedremo).

Si usa anche chiamare la x variabile indipendente e la y variabile dipendente, per il semplice motivo che il valore di y dipende dalla scelta del valore di x.

ESEMPI

La relazione descritta dall'equazione y=2 x è una funzione, infatti ad ogni valore x corrisponde il suo doppio (e soltanto quello).

La relazione descritta dall'equazione y=x² è una funzione, infatti ad ogni valore x corrisponde il suo quadrato (e soltanto quello)

(2)

La relazione descritta dall'equazione y=5 è una funzione, infatti ad ogni valore x corrisponde il valore 5 (e soltanto quello).

La relazione descritta dall'equazione y²=x² non è una funzione! Ad ogni valore x≠0 corrispondono ben due valori y! Non è soddisfatta la definizione di funzione!

DEFINIZIONE

Indicando la relazione che definisce la funzione con l'equazione y= f (x ) , diciamo che y è l'immagine di x; x è la controimmagine di y, il dominio della funzione è l'insieme delle controimmagini e il codominio della funzione è l'insieme delle immagini.

Si dice campo di esistenza di una funzione il più ampio dominio possibile per la relazione che definisce la funzione.

NOTAZIONE

La scrittura

f : A⇒ B

si legge “funzione dall'insieme A all'insieme B”.

OSSERVAZIONE

In mancanza di altre indicazioni, noi ci occuperemo di funzioni

f :ℝ ⇒ℝ

OSSERVAZIONE

Il dominio fa parte della definizione di funzione: ad ogni elemento del dominio (sottoinsieme dei reali) deve corrispondere uno ed un solo elemento reale.

Nei nostri ragionamenti sulle funzioni partiremo quasi sempre dall'equazione y= f (x ) e saremo noi a determinare il più ampio dominio possibile.

ESEMPI

y=2 x dominio:

ℝ

codominio:

ℝ

y=x² dominio:

ℝ

codominio:

{x∈ℝ : x≥0}

y=5 dominio:

ℝ

codominio:

{5}

y=1

x tale equazione ha senso soltanto se x≠0 . Escludendo questo valore possiamo considerarla l'equazione di una funzione.

y=1

x dominio:

ℝ−{0}

codominio:

ℝ−{0}

. Analogamente:

y=

√

x dominio:

{x∈ℝ : x≥0}

codominio:

{x∈ℝ : x≥0}

DEFINIZIONE

Una funzione il cui codominio ha un solo elemento si dice funzione costante.

ESEMPIO

La funzione y=5 dell'esempio precedente è una funzione costante.

(3)

DEFINIZIONE

Un numero

a∈ℝ

si dice zero della funzione se f (a )=0 . ESEMPI

Il numero 2 è zero della funzione y=x−2 Il numero -3 è zero della funzione y=2 x+6 DEFINIZIONE

Una funzione si dice iniettiva se

x= y ⇔ f ( x)= f ( y)

ESEMPI

La funzione

y=3 x

è iniettiva.

La funzione

y=x

² non è iniettiva perché, per esempio,

f (−1)= f (1)

^. DEFINIZIONE

Una funzione

f : A⇒ B

si dice suriettiva se

∀ y∈B ∃ x∈A: f ( x)= y

. OSSERVAZIONE

In parole povere una funzione si dice suriettiva se l'insieme d'arrivo B coincide col codominio (dando per scontato che A è il dominio). Con un piccolo abuso di linguaggio, ma utile per memorizzare la definizione, si usa scrivere anche

f ( A)=B.

In parole ancora più povere, per noi (di terza superiore) le funzioni suriettive saranno quelle il cui codominio coincide con

ℝ

.

ESEMPI

Abbiamo detto che ci occuperemo di funzioni

f :ℝ⇒ ℝ

o meglio, di funzioni

f : A⇒ ℝ

^, avendo indicato con A il sottoinsieme dei reali che sia il più grande dominio possibile (campo di esistenza).

La funzione

y=2 x

è suriettiva.

La funzione

y=x

² non è suriettiva, perché i numeri negativi non hanno una controimmagine e quindi il codominio non è tutto l'insieme dei reali

DEFINIZIONE

Una funzione che sia iniettiva e suriettiva si dice biunivoca. La funzione biunivoca viene detta anche bigettiva e anche invertibile.

ESEMPI

La funzione

y=5 x

è biunivoca.

La funzione

y=x

² non è biunivoca, perché non è né iniettiva, né suriettiva. (Vedi gli esempi precedenti)

(4)

La funzione

y= √ ^x

non è biunivoca, perché è iniettiva ma non suriettiva, infatti il codominio non è tutto

ℝ

, ma soltanto l'insieme dei valori positivi. È pure vero che se noi considerassimo questa equazione relativa ad una funzione

f :{x∈ℝ : x≥0}⇒ {x∈ℝ : x≥0}

allora potrei dire che è suriettiva. La suriettività dipende quindi un po' anche dal contesto.

La funzione

y=x (x−1)(x+2)

non è biunivoca, perché è suriettiva, ma non è iniettiva. Mi rendo conto che la cosa può risultarvi un po' misteriosa... provate a far disegnare il grafico a GeoGebra!

DEFINIZIONE

Si dice funzione inversa di una funzione biunivoca, la funzione definita scambiando dominio e codominio e immagine e controimmagine.

NOTAZIONE

Per convenzione si indica

f

⁻¹

: B ⇒ A

la funzione inversa di

f : A⇒ B

^. ESEMPI

x= y 2

è la funzione inversa di

y=2 x

^;

x= √

³

^y

y=x

³ ^; Se consideriamo

f :ℝ−{0}⇒ ℝ−{0}

allora si può dire che

x= 1

y

y= 1 x

ESERCIZIO n.1 pag.91

Lo schema (a) non è una funzione perché ci sono alcuni elementi di A che non hanno un'immagine;

Lo schema (b) non è una funzione perché c'è un elemento di A che ha due immagini;

Lo schema (c) è una funzione, in particolare si tratta di una funzione costante.

ESERCIZIO 2 pag.91

(5)

Il grafico (b) non può rappresentare una funzione in quanto esistono delle x che hanno due immagini.

Per quanto riguarda i grafici (a) e (b) dobbiamo fare un discorso più articolato: infatti osserviamo che il dominio della relazione descritta dal grafico non è tutto

ℝ

ma soltanto i numeri positivi per il grafico (a) e tutti i valori reali eccetto uno per il grafico (c). Se si intende la funzione

f :ℝ⇒ ℝ

quindi non possono chiamare funzioni nemmeno loro. Se invece intendiamo le funzioni

f : A⇒ ℝ

, intendendo con A il campo di esistenza, allora sì, i grafici (a) e (b) sono grafici di funzioni.

Dati gli insiemi A = {4, 9, 25} e B = {1, 2, 3, 4, 5} e la relazione R da A a B così definita: x R y se

y= √ ^x

a. scrivere le coppie degli elementi che sono in relazione;

b. R è una funzione?

Risposta:

Le coppie in relazione sono ovviamente

(4 ; 2) ,(9 ; 3) ,(25 ;5)

^.

R è una funzione perché ad ogni elemento di A corrisponde uno ed un solo elemento di B.

Esplicita le seguenti funzioni considerando come variabile indipendente quella indicata a fianco.

a.

2 y−x

²

+1=0

^{(v.i. x)} b.

3t x−t=2

(v.i. t) c.

y z

²

− y=5 z

^{(v.i. z)}

d.

y−5=8t

^{(v.i. t)}

Risposta:

La richiesta non è scritta benissimo, comunque... è abbastanza chiaro che ci viene chiesto di scrivere l'equazione della funzione esplicitando la variabili dipendente, cioè l'altra rispetta a quella indicata!

Dobbiamo soltanto applicare i principi di equivalenza delle equazioni.

a.

2 y−x

²

+1=0

^Ovvero

2 y=x

²

−1

^ovvero

y= x

²

−1 2

b.

3t x−t=2

ovvero

3t x=t+2

ovvero

x= t+2 3 t

c.

y z

²

− y=5 z

^ovvero

y (z

²

−1)=5 z

^ovvero

^{y= 5 z}

z

²

−1

d.

y−5=8t

^ovvero

y=8t+5

(6)

ESERCIZIO 5 pag.91 Rifletti sulla teoria

Spiega perché l’equazione

x− y

²

=1

non definisce una funzione del tipo

y= f (x)

. Risposta:

Cercando di esplicitare la y non otterrei un'unica equazione, ma due opzioni:

y= √ ^{x−1∨ y=−} √ ^x−1

^.

In questo modo però non soddisfo la definizione di funzione, anche definendo il campo di esistenza come l'insieme delle

x≥1

poi però ad ogni x vengono associati due valori di y, e quindi non si tratta di una funzione.

ESERCIZI 6-7 pag.92

a. dominio

ℝ

codominio

ℝ

b. dominio

ℝ

codominio

{x∈ℝ: x≤6}

c. dominio

{x∈ℝ : x≥−3}

codominio

{x∈ℝ: x≥0}

a. dominio

{x∈ℝ :−5≤x<5}

codominio

{x∈ℝ:−3≤x≤4}

b. dominio

{x∈ℝ :−4< x<4}

codominio

{x∈ℝ : x≤4}

c. dominio

ℝ

codominio

{x∈ℝ: x≥−2}

Data la funzione

y=4 x

²

−2 x

^trovare

f (0) ; f (1); f (−1)

^. Risposta:

f (0)=4(0)

²

−2(0)=0

f (1)=4(1)

²

− 2(1)=4−2=2

f (−1)=4(−1)

²

−2(−1)=4+2=6

(7)

Data la funzione

y=−x

²

+4 x+1

trovare le immagini di -1 e 1 e le controimmagini di -4.

Risposta:

f (−1)=−(−1)

²

+4(−1)+1=−1−4+1=−4 f (1)=−(1)

²

+4(1)+1=4

Per quanto riguarda le controimmagini dobbiamo risolvere l'equazione:

−4=−x

²

+4 x+1

^ovvero

x

²

−4 x−5=0

Si osservi che

5+(−1)=4∧5(−1)=−5

quindi le soluzioni sono

x=−1∨x=5

^{, dunque}

-4 ha due controimmagini, appunto -1 e 5.

ESERCIZI n.11-12-13 pag.92

Completa le uguaglianze per ogni funzione

f :ℝ ⇒ℝ

inserendo il valore mancante (se esiste).

Risposte:

f (x)=− 2 x 3

f (12)=−8 f ( 7

5 )=− 14

15 f (−2)= 4 3

f (−12)=8

f (x)=4 x

²

f (−8)=256 f ( 3 8 )= 9

16 f ( 9

2 )= 81

Non esiste x tale che

f (x)=−5 f (x)= x

³

f (2)=8 f (1)=1 f (4)=64 f (− 1

₃

√ ² ⁾⁼

1 2

Consideriamo la funzione

f :ℕ⇒ℝ

tale che

f (x)= 1

3 x−2

. Trovare le immagini di 0,2,9 e le controimmagini di 1 e 2.

Risposta:

f (0)=−2 ; f (2)=− 4

3 ; f (9)=1

. Fortunatamente le controimmagini richieste le abbiamo già calcolate, non ce ne sono altre perché la funzione è iniettiva.

Consideriamo la funzione

f :ℕ⇒ℝ

tale che

f (x)=− x

²

+1

. Trovare le immagini di 0,3 e le controimmagini di 0 e -8.

Risposta:

f (0)=1 ; f (3)=−8 ; f (1)=0 ; f (−1)=0 ; f (−3)=−8

Ricapitolando le controimmagini di 0 sono 1 e -1 mentre le controimmagini di -8 sono 3 e -3.