Compito di Fisica Matematica, 23/2/2012
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 9 cfu risolva almeno sei dei seguenti quesiti, quello di 6 cfu almeno quattro:
(1) Calcolare l’integrale
I = Z
γ
(|z|2+ z) dz,
γ essendo la curva γ(t) = eit, t ∈ [0, π[.
(2) Risolvere l’equazione differenziale y00(t) + y0(t) + 2y(t) = t − 1, con le condizioni iniziali y(0) = 0 e y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(3) Calcolare l’integrale
I = Z ∞
−∞
cos2(x) dx x2+ 1
(4) Data la f (z) = sin(2z)z2+π2 ottenere le parti singolari in corrispondenza dei suoi punti singolari.
(5) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) = x − 7 e ricavare l’uguaglianza di Parceval.
(6) Calcolare la derivata debole del segnale ϕ(t) = rect(t2− 1) sin(t).
(7) Data la f (x) = N (x + π) χ[−π,π](x), verificare in che condizioni questa `e una densit`a di probabilit`a. Ottenere la funzione cumulativa e la probabilit`a che il risultato della prova aleatoria assuma valori in [1, 3].
(TdP2) Il PIN di un bancomat `e composto da 6 numeri. Nell’ipotesi che ogni combinazione sia ugualmente probabile determinare la probabilit`a che le cifre di un PIN siano (a) tutte differenti ovvero (b) che almeno due di queste coincidano.
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