Compito di Fisica Matematica, 13/7/2012
Prof. F. Bagarello
Lo studente con in piano di studi FM, 9 crediti, risolva almeno 6 quesiti. Lo studente con in piano di studi FM, 6 crediti, risolva almeno 4 quesiti, scelti tra quelli che non coinvolgono la Teoria delle Probabilit`a.
(1) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) = u(t− π) t e3t, stabilendone l’ascissa di convergenza.
(2) Calcolare l’autoconvoluzione della funzione f (x) = e−π(x+1)2.
(3) Risolvere l’equazione differenziale y′′(t)+5y′(t)+6y(t) = 0, con le condizioni iniziali y(0) = 1 e y′(0) = 1 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(4) Studiare la natura delle singolarit´a della funzione f (z) = z21−iez, ed ottenerne la parte singolare in correspondenza delle singolarit´a. Calcolare infine il valore dei residui.
(5) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione
f (x) = {
sin(x), x∈ [−1/3, 1/3];
0, altrove.
(6) Studiare la regione di convergenza della serie ∑∞
n=−∞(z−2iπ2)n
k2|n| , in cui k `e una costante positiva. Calcolarne poi la somma.
(TdP1) Supponiamo di lanciare un dado equo a nove facce tre volte. Qual’`e la probabilit`a che la somma dei tre risultati sia 13? Quale che sia minore o uguale a 7?
(TdP2) Dimostrare che la funzione f (x) = N e−|x|/π`e una densit`a di probabilit`a per un’opportuna scelta di N . Ricavare la funzione caratteristica associata ed i momenti di ordine 1,2,3.
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