Esercizio 1 (cont.)

Esercizio 1

Risolvere le seguenti equazioni nel piano complesso, rappresentando poi le soluzioni sul piano di Argand-Gauss:

(1) (z − 2)³+ i = 0

Risoluzione. Sia w = z − 2. Poich´e w³= −i = cos^3π₂ + i sin^3π₂, si ha

w = cos ^3π2+2kπ₃ + i sin ^3π2+2kπ₃ =

= cos ^π₂ +^2kπ₃
+ i sin ^π₂ +^2kπ₃
per k ∈ {0, 1, 2}. Quindi i tre valori possibili per w sono:

w0 = cos^π₂ + i sin^π₂ = i w1 = cos^7π₆ + i sin^7π₆ = −

√3 2 −¹₂i w2 = cos^11π₆ + i sin^11π₆ =

√3 2 −¹₂i

e quindi si hanno tre soluzioni:

z0 = w0+ 2 = 2 + i z1 = w1+ 2 = 2 −

√ 3

2 −¹₂i = ⁴⁻

√ 3 2 −¹₂i z2 = w2+ 2 = 2 +

√ 3

2 −¹₂i = ⁴⁺

√ 3 2 −¹₂i

Esercizio 1 (cont.)

(2) iz²= ¯z

Risoluzione. Sia z = a + ib, con a, b ∈ R. L’equazione diventa allora

i (a²− b²+ 2iab) = a − ib cio`e il sistema

−2ab = a a²− b² = −b

Se a = 0, si ottiene dalla seconda equazione b²= b, cio`e

b = 0 ∨ b = 1. Se a 6= 0, la prima equazione fornisce b = −¹₂ e la seconda a²= ¹₂+¹₄ =³₄, cio`e a = ±

√3 2 . In definitiva, le soluzioni sono:

0, i , ±

√3 2 −1

2i

(3) z⁴+ iz = 0 Risoluzione.

z⁴+ iz = 0 ⇔ z = 0 ∨ z³= −i

Utilizzando la risoluzione della parte (1), si ottengono le quattro soluzioni:

0, i , −

√3 2 −1

2i ,

√3 2 −1

2i

Esercizio 1 (cont.)

(4) z²+ (1 + i )z + i = 0

Risoluzione. Le soluzioni z0, z1sono i numeri tali che z_k = −(1 + i ) + w_k

2 dove

w_k²= (1 + i )²− 4i = −2i = 2

 cos3π

2 + i sin3π 2



cio`e

w0 = √

2 cos^3π₄ + i sin^3π₄
=√ 2

−

√2 2 +

√2 2 i

= −1 + i w₁ = −w0= 1 − i

Quindi

z0 = ^{−1−i −1+i}₂ = −1 z₁ = ^{−1−i +1−i}₂ = −i

(5) z + 2z − 1 = 1 Risoluzione.

z + 2z − 1 = 1 ⇔ 3z = 2 ⇔ z = 2 3 (6) z⁴= (1 + 2i )⁸

Risoluzione. Le soluzioni sono i vertici di un quadrato nel piano di Argand-Gauss. Pertanto le soluzioni sono:

z₀ = (1 + 2i )²= −3 + 4i z1 = z0i = −4 − 3i z2 = z0i²= −z0= 3 − 4i z3 = z0i³= 4 + 3i

Esercizio 1 (cont.)

(7) z³+ z²+ 8z + 8 = 0

Risoluzione. Poich´e −1 `e una soluzione dell’equazione, il polinomio z<sup>3</sup>+ z<sup>2</sup>+ 8z + 8 `e divisibile per il polinomio z + 1:

z³+ z²+ 8z + 8 = (z + 1)(z²+ 8) = (z + 1)(z − 2√

2i )(z + 2√ 2i ) Le soluzioni sono quindi: −1, 2√

2i , −2√ 2i .

(8) (1 + z)⁴= (1 − z)⁴ Risoluzione.

(1 + z)⁴= (1 − z)⁴ ⇔ 1 + 4z + 6z²+ 4z³+ z⁴=

= 1 − 4z + 6z²− 4z³+ z⁴= 0 ⇔

⇔ 8z³+ 8z = 0 ⇔

⇔ z(z²+ 1) = 0 ⇔

⇔ z = 0 ∨ z = i ∨ z = −i

Esercizio 2

Decomporre nel campo reale i seguenti polinomi a coefficienti reali (1) x³− 3x²+ 4x − 2

Risoluzione. Il numero 1 `e radice del polinomio, il quale `e pertanto divisibile per x − 1:

x³− 3x²+ 4x − 2 = (x − 1)(x²− 2x + 2) Poich´e il polinomio x²− 2x + 2 ha discriminante negativo, il polinomio dato non `e ulteriormente decomponibile in campo reale.

(2) x⁶+ 1

Risoluzione. In campo complesso, le 6 soluzione dell’equazione z⁶= −1 = cos π + i sin π

in campo complesso sono i numeri

zk = cos ^π₆ +^2kπ₆
+ i sin ^π₆ +^2kπ₆
=

= cos ^π₆ +^kπ₃
+ i sin ^π₆+^kπ₃
per k ∈ {0, 1, 2}, e i loro coniugati, cio`e

cos^π₆± i sin^π₆ =

√3 2 ±¹₂i cos^π₂± i sin^π₂ = ±i cos^5π₆ ± i sin^5π₆ = −

√3 2 ±¹₂i

Esercizio 2 (cont.)

Quindi, passando attraverso la decomposizione in C, la decomposizione reale cercata `e:

x⁶+ 1 =  x −

√3

2 −¹₂i  x −

√3 2 +¹₂i

· (x − i )(x + i )·

· x +

√3

2 −¹₂i  x +

√3 2 +¹₂i

=

= (x²−√

3x + 1)(x²+ 1)(x²+√ 3x + 1)

(3) x⁴− 16

Risoluzione. Le radici del polinomio complesso z⁴− 16 sono i quattro numeri

2, −2, ±2i

Pertanto, passando attraverso la decomposizione in campo complesso, si ha

x⁴− 16 = (x − 2) · (x + 2) · (x − 2i )(x + 2i ) = (x − 2)(x + 2)(x²+ 4)

Esercizio 2 (cont.)

(4) x⁴− 2x²− 8

Risoluzione. Le radici del polinomio t²− 2t − 8 sono i numeri

1 ±√

1 + 8 = 1 ±√

9 = 1 ± 3

cio`e i numeri −2 e 4. Pertanto le radici complesse del polinomio dato sono i numeri

−2, 2, ±√ 2i

La decomposizione cercata si ottiene dunque passando attraverso la decomposizione complessa come

x⁴−2x²−8 = (x+2)·(x−2)·(x−√

2i )(x +√

2i ) = (x −2)(x +2)(x²+2)

a ∼ b ⇔ ∃k ∈ Z tale che a − b = 2k Si provi che

(1) ∼ `e una relazione di equivalenza.

(2) L’insieme quoziente Z/ ∼ con le operazioni indotte dalle operazioni di Z `e un campo.

Risoluzione. (1) Riflessivit`a: Se a in Z, allora a − a = 0 = 2 · 0, quindi a ∼ a.

Transitivit`a: Se a, b, c ∈ Z sono tali che a ∼ b e b ∼ c, allora:

I esiste k1∈ Z tale che a − b = 2k1 I esiste k2∈ Z tale che b − c = 2k2

quindi

a − c = a − b + b − c = 2k₁+ 2k₂= 2(k₁+ k₂) e poich´e k₁+ k₂∈ Z, segue a ∼ c.

Esercizio 3 (cont.)

Simmetria: Siano a, b ∈ Z tali che a ∼ b. Allora esiste k ∈ Z tale che a − b = 2k. Si ha quindi

b − a = −2k = 2(−k) e poich´e −k ∈ Z segue b ∼ a.

(2) Dalla definizione di ∼ segue che a ∼ b se e solo se a e b sono entrambi pari o entrambi dispari. Si hanno cio`e solo due classi di

equivalenza: se a `e pari, la sua classe d’equivalenza ¯a `e costituita da tutti i numeri pari; se `e dispari, da tutti i numeri dispari. Quindi Z/ ∼= {¯0, ¯1}.

Le operazioni di somma e prodotto risultano allora definite da:

 a + ¯¯ b = a + b

¯ a¯b = ab Infatti, se a⁰ ∼ a e b⁰∼ b, allora

a⁰+ b⁰ ∼ a + b a⁰b⁰∼ ab

Tutti gli assiomi dei campi, salvo l’esistenza dell’inverso per ogni elemento non nullo, seguono dalle corrispondenti propriet`a di Z:

Associativit`a delle operazioni: Sia ◦ l’operazione di addizione o di moltiplicazione.

(¯a ◦ ¯b) ◦ ¯c = a ◦ b ◦ ¯c = (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) = ¯a ◦ b ◦ c = ¯a ◦ (¯b ◦ ¯c) Commutativit`a delle operazioni: Sia ◦ l’operazione di addizione o di moltiplicazione.

¯

a ◦ ¯b = a ◦ b = b ◦ a = ¯b + ¯a Elemento neutro per l’addizione:

¯0 + ¯a = 0 + a = ¯a

Esercizio 3 (cont.)

Esistenza dell’opposto:

¯

a + −a = a + (−a) = ¯0 Elemento neutro per la moltiplicazione:

¯1¯a = 1a = ¯a Distributivit`a:

¯

a(¯b + ¯c) = ¯a(b + c) = a(b + c) = ab + ac = ab + bc = ¯a¯b + ¯a¯c Esistenza dell’inverso per ogni elemento non nullo: Esiste un unico elemento non nullo: ¯1. Basta quindi osservare che

¯1¯1 = 1 · 1 = ¯1 cio`e

¯1⁻¹= ¯1