Esercizio 1
E` dato un condensatore piano di area A=1 dm2 e distanza tra le piastre d=1 cm, caricato con una carica Q=1 nC. Trovare:
a) il campo elettrico tra le piastre;
b) la ddp tra le piastre;
c) l’energia elettrostatica accumulata tra le piastre.
Si inseriscono quindi tra le piastre due lastre di dielettrico di spessore d1 =0.2 cm e d2 =0.8 cm (d1 + d2 = d) e di costante dielettrica relativa
r1 =2 e r2=3rispettivamente.
Trovare:
d) il campo elettrico nei due dielettrici;
e) la nuova ddp tra le piastre.
Sapendo che in presenza del dielettrico la densita` di energia cambia in ogni punto dello spazio per un fattore uguale alla costante dielettrica in quel punto, trovare infine
f) il nuovo valore dell’energia elettrostatica accumulata nel condensatore.
d1 d2 d
Soluzione dell’esercizio 1
In tutte le operazioni sul condensatore la carica Q rimane costante.
a) Il campo elettrico nel condensatore e`:
m A V
E Q 1.13 10 /
10 85 . 8 10
10 4
12 2
9
0 0
b) la ddp e`:
V Ed
V 1.13104 102 113
c) la densita` di energia e`:
42 4 3
12 2
0 8.85 10 1.13 10 5.65 10 /
2 1 2
1 E J m
ue
Poiche’ il campo elettrico e` uniforme in tutto il volume tra le piastre, l’energia elettrostatica si trova moltiplicandola densita` di energia per il ‘volume’ del condensatore:
J Ad
u u
Ue Ve e 5.65104102102 5.65108
Piu` semplicemente l’energia e` data da:
J QV
Ue 10 9 113 5.65 10 8 2
1 2
1
d) il campo elettrico nei due dielettrici e` dato, rispettivamente, da:
m E V
E
r
/ 10 65 . 2 5
10 13 .
1 4 3
1
1
m E V
E
r
/ 10 77 . 3 3
10 13 .
1 4 3
2
2
e) la nuova ddp e` la somma delle ddp ai capi delle due lastre:
V d
E d E
V' 1 1 2 2 5.651030.2102 3.771030.8102 11.330.241.5
Un’altro modo per trovare la ddp e`:
Ceq
V' Q
Ove Ceq e` la composizione dei due condensatori in serie:
pF pF pF
A d A
d C
Ceq C 24.2
3 . 33
1 5
. 88
1 1
1 1 1
1 0 2 1 0 1 1
2 1
V
V 41.3
10 2 . 24
10
12
' 9
f) la densita` di energia nei dielettrici 1 e 2 e` rispettivamente:
2 1 1 0
1 2
1 E
ue
2 2 2 0
2 2
1 E
ue
L’energia accumulata nel condensatore e` la somma delle energie accumulate nei volumi occupati dai due dielettrici:
J Ad
u Ad u u
u U U
Ue e1 e2 e1V1 e2V 2 e1 1 e2 2 2.07108
Piu` semplicemente l’energia e` data da:
J QV
Ue ' 10 9 41.5 2.08 10 8 2
1 2
1
Esercizio 2
E` dato un piano indefinito uniformemente carico con densita` positiva e spessore trascurabile. Sul piano e` definito un sistema
cartesiano XY, e sia Z la coordinata perpendicolare al piano. Il piano si muove rispetto allo sperimentatore lungo l’asse x in verso positivo con velocita` costante v.
Trovare
a) la corrente che scorre in direzione x, dovuta al moto della carica presente in un nastro di larghezza L lungo y.
Mediante considerazioni di simmetria e la legge di Ampe`re, trovare b) direzione e verso del campo magnetico sopra e sotto il piano;
c) modulo del campo magnetico sopra e sotto il piano.
d) Verificare che l’espressione del campo magnetico ha le giuste dimensioni fisiche.
L v z
+
+
y
x +
+ +
+ +
+
Soluzione dell’esercizio 2
a) presa un’area dA=Ldx lungo la striscia, la corrente e` data da:
Lv
dt dA dt
A d dt
i dQ
b) per trovare la direzione del campo in un punto arbitrario P sopra il piano xy, consideriamo un nastro parallelo a x di larghezza infinitesima dy, di cui mostriamo la sezione col piano zy nella figura seguente:
La corrente che percorre questo nastro e` diretta lungo x positivo (esce dal foglio). Il nastro si puo` assimilare ad un filo, il cui campo e` del tipo Biot-Savart ed e` diretto lungo y negativo (regola della mano destra):
r vdy r
dB di
4 4
0
0
Sfruttiamo la simmetria che deriva dal fatto che il piano e` indefinito:
per ogni elemento dy1 corrisponde un elemento dy2 simmetrico rispetto
P
r1
r2 dB2
dB1
dy2 dy1
z
y P
dB
dy z
y r
a P. I campi relativi ai due elementi si sommano in modo che il campo risultante ha componente non nulla lungo y negativo. Nel processo di integrazione lungo y da –infinito a + infinito (cioe` sommando i
contributi di tutti i ‘fili’) si ottiene quindi un campo con direzione e verso y negativo.
Se il punto P viene scelto sotto il piano xy, le considerazioni sono identiche, l’unica differenza e` che il campo risultante ha ora direzione e verso y positivo.
c) per trovare il modulo del campo, calcoliamo la circuitazione del campo lungo il circuito rettangolare seguente:
disposto simmetricamente rispetto al piano xy, di modo che il modulo del campo sul lato superiore sia uguale al modulo del campo sul lato inferiore (a priori non sappiamo se il modulo di B dipende dalla distanza dal piano). La circuitazione del campo magnetico si riduce agli integrali sui lati paralleli a y, che risultano entrambi uguali a BL.
Per la legge di Ampere abbiamo allora:
vL i
BL 0 0
2
Da cui segue il modulo del campo:
v B 0
2
1
d) le dimensioni del campo B sono (ad esempio usando la legge di Biot-Savart):
r B 0 i
y z
L
Bsopra
Bsotto
Confrontando con la formula che abbiamo trovato, bastera` mostrare che vale la relazione dimensionale:
r v i
Infatti:
TL Q ri
T L L v Q2
Esercizio 3
Sono dati due superfici cilindriche conduttrici coassiali indefinite, di spessore trascurabile e raggi r1 =1 mm e r2 =3 mm.
Una corrente I=1 A fluisce in un verso sulla superficie interna e in verso opposto sulla superficie esterna.
Trovare:
a) il campo magnetico B in un punto P a distanza r =2 mm dall’asse;
b) la densita` di energia magnetica nel punto P;
c) l’energia magnetica immagazzinata in un tratto di lunghezza a=10 cm del sistema, nella direzione dell’asse dei cilindri.
I
a
Soluzione dell’esercizio 3
a) Il campo generato da una superficie cilindrica percorsa da corrente in direzione dell’asse, si determina usando la legge di Ampere. Il problema e` molto simile a quello di un filo indefinito (di raggio nullo o maggiore di zero). Sia dentro che fuori del cilindro, calcoliamo la circuitazione di B lungo una circonferenza coassiale alla sezione del cilindro.
Fuori del cilindro:
B rB r K 2
Per la legge di Ampere la circuitazione e` proporzionale alla corrente concatenata, che in questo caso e` tutta la corrente I:
r I
rB 0
2
Ne segue che il campo e`:
r
r I
B
2
0 r R
Dentro il cilindro non c’e` corrente concatenata (la corrente sta tutta sulla superficie), quindi la circuitazione e` nulla. Ne segue che il campo e` nullo.
r 0
B rR
Dobbiamo ora comporre i campi dei due cilindri, tenendo conto che hanno direzione opposta, a causa del verso opposto delle correnti:
r B r B r Btot 1 2
Abbiamo tre zone di spazio: interna alla superficie 1 (r<r1)
0
1 r
B B2 r 0 Btot r 0
Cdentro Cfuori
Tra le due superfici (r1<r<r2)
r
r I
B
2
0
1 B2 r 0 Btot r 20 Ir E infine esterna alla superficie 2 (r>r2).
r
r I
B
2
0
1 B2 r 20 Ir Btot r 0
Quindi il campo ha, tra i due cilindri, la stessa forma di quello all’esterno di un filo indefinito.
Nel punto P assume il valore:
T
r r I
Btot 0 7 3 10 4
10 2 10 1 2 2
b) la densita` di energia e`:
2 2 2 0 2
0 8
2 1
r B I
um tot
Che nel punto P assume il valore:
42 3 3
7 2
0
/ 10 98 . 3 10 10
4 2
1 2
1 B J m
um tot
c) l’energia magnetica si trova moltiplicando la densita` di energia per il volume, ma siccome la densita` non e` uniforme, questo va fatto su un volume infinitesimo attorno ad ogni punto e quindi bisogna
integrare sull’intero volume interessato (somma dei contributi di tutti i punti):
r dV dV I
B dV
u U
V V
tot V
m
m
2 02 22
0 8
2 1
L’elemento di volume e`:
a dr dV 2
L’energia risulta:
r J a r r I
a dr I U
r
r m
8 7
1 2 2
0 2
1
0 2 log 10 1 0.1 log3 1.10 10
4 4
![ESERCIZIO 1. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con densit`a congiunta f X,Y (x, y) = e −x 1 [0,x] (y)1 [0,+∞) (y).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)