Primo Esonero - 8 Aprile 2019 Soluzione Esercizio 1

Primo Esonero - 8 Aprile 2019 Soluzione Esercizio 1

Scriviamo il secondo principio della dinamica per le tre masse:

T₁ = m₁a T2− T₁ = m2a m3g − T2 = m3a

(1)

Notiamo che abbiamo inserito la stessa accelerazione perch´e le corde sono inestensibili, e solo due tensioni perch´e esse sono di massa trascurabile. Ricaviamo T₂ dalla terza equazione e sostituiamo nella seconda:

m₃g − m₃a − m₁a = m₂a (2)

da cui ricaviamo:

a = m₃g m1+ m2+ m3

= 3.27m/s² (3)

Le tensioni saranno allora:

T1 = 9.81N

T2 = 13.06N (4)

Nel caso di attrito il secondo principio della dinamica risulter`a modificato:

T₁− µ₁m₁g = m₁a T₂− T₁− µ₂m₂g = m₂a m₃g − T₂ = m₃a

(5)

Se il sistema deve rimanere fermo, allora a = 0, quindi avremo:

T1− µ₁m1g = 0 T2− T₁− µ₂m2g = 0 m₃g − T₂ = 0

(6)

Da cui ricaviamo:

m₃g − µ₁m₁g − µ₂m₂g = 0 (7)

E infine:

µ₁ = m₃− µ₂m₂ m1

= 0.63 (8)

Infine, se sostituisco la corda T1 con una molla, il moto `e lo stesso del punto 1, con la differenza che la tensione sar`a sostituita dalla forza elastica della molla che si deforma: nelle equazioni del moto baster`a sostituire T<sub>1</sub> con kx, dove x `e l’elongazione della molla. Ma allora avremo:

x = T1

k = 0.19m (9)

1

Soluzione Esercizio 2

Nei primi due casi non c’`e attrito, quindi l’energia meccanica si conserva.

Nel punto i in cui la massa avr`a solo energia potenziale elastica, mentre nel punto f solo energia potenziale gravitazionale, dato che la sua velocit`a in quel punto sar`a nulla. Possiamo allora scrivere la conservazione dell’energia come:

1

2k∆x² = mgyf (10)

da cui:

yf = k∆x²

2mg = 1.33m (11)

La distanza lungo il piano inclinato sar`a allora:

s = yf

senθ = 3.14m (12)

Indichiamo ora con h il punto a met`a strada tra i e f . Dalla conservazione dell’energia posso ricavare:

1

2mv_h²+ mgy_h = mgy_f (13)

dove yh= ¹₂yf. Avr`o quindi:

v_h =√

gy_f = 3.6m/s (14)

Infine, se il piano `e scabro, l’energia meccanica totale non si conserva:

Ef inale= Einiziale− W_attrito (15)

dove:

W_attrito= µmgcosθ y_f⁰

senθ (16)

Avremo quindi:

mgy⁰_f = 1

2k∆x²− µmgcosθ y_f⁰

senθ (17)

da cui ricaviamo:

y⁰_f = 1 2k∆x²

 1

mg + µmgcotθ



= 0.81m (18)

che corrisponde ad una distanza sul piano inclinato pari a:

s⁰ = y_f⁰

senθ = 1.91m (19)

2