Esercizi di Algebra Lineare Caratterizzazione dei proiettori

Esercizi di Algebra Lineare Caratterizzazione dei proiettori

29 aprile 2013

Abbiamo gi`a detto che un proiettore `e una matrice simmetrica, idempotente, semide- finita positiva. Ricordiamo le definizioni e vediamo ora pi`u in dettaglio queste propriet`a.

Sia G una base ortonormale di un sottospazio W di Rⁿ. Allora la formula della proiezione su W `e

pW(v) = (v · g1) · g1+ (v · g2) · g2+ .. + (v · gs) · gs

la forma matriciale di questa funzione lineare `e:

M_p^G

W(v)= (M_G^E)^tr· M_v^E −→ M_p^G

W(E)= (M_G^E)^tr

Sia M = Q = M_G^E, allora la proiezione ortogonale `e la funzione lineare definita dalla matrice M_p^E

W(E)= M_G^E· (M_G^E)^tr= Q · Q^tr

Definizione 1 La matrice M_p(E)^E si chiama proiettore di M (o proiettore su W ).

Definizione 2 Siano V uno spazio vettoriale e ϕ : V −→V un endomorfismo. Si dice che ϕ

`e una trasformazione idempotente di V se, per ogni v ∈ V , risulta ϕ²(v) = ϕ(ϕ(v)) = ϕ(v) . Osservazione: Sia F una qualunque base di V .

Allora ϕ `e idempotente ⇐⇒ M_{ϕ(F )}^F = (M_{ϕ(F )}^F )² (matrice idempotente).

In particolare, sono idempotenti sia la trasformazione nulla ϕ(v) = 0 (matrice nulla) sia la trasformazione identica ϕ(v) = v (matrice identica).

Osservazione: Sia F = (v₁, ..., v_n) una base ortonormale di Rⁿ. Allora la proiezione su hv1, . . . , v_si `e definita da

p(vi) =

(1 · vi se i = 1, .., s 0 · vi se i = s + 1, .., n quindi la matrice associata `e diagonale con 1 e 0 sulla diagonale.

Teorema 3 Una matrice A ∈ Matn(R) `e un proiettore (ortogonale) ⇐⇒ `e simmetrica e idempotente.

1

Dim.

“ =⇒ ”: Sia A un proiettore cio`e ∃ W ⊆ Rⁿ sottospazio tale che A = M_p^E

W(E).

A idempotente: A² `e la matrice associata all’endomorfismo p ◦ p e osserviamo che ogni v ∈ R<sup>n</sup> si pu`o scrivere come v = w + u con w ∈ W e u ∈ W^⊥ e quindi

pW(v) = pW(w) + pW(u) = w + 0 = w pW(pW(v)) = pW(w) = w

Allora A²= M_(p^E

W◦pW)(E)= M_p^E

W(E)= A , cio`e `e idempotente.

A simmetrica: fissiamo G una base ortonormale di W e Q = M_G^E. Allora M_p^E

W(E) = QQ^tr, simmetrica perch´e (QQ^tr)^tr= (Q^tr)^trQ^tr= QQ^tr.

“ ⇐= ”: Sia A simmetrica e idempotente. Mostriamo che `e proiettore su un sottospazio W . Per la simmetria esiste una matrice ortogonale P tale che A = P⁻¹∆P con ∆ matrice diagonale.

Per l’idempotenza abbiamo che

∆² = P AP⁻¹ P AP⁻¹ = P A²P⁻¹ = P AP⁻¹ = ∆ e quindi la diagonale di ∆ = ∆² contiene solo “1” e “0”

Sia F = (v₁, ..., v_n) la base ortonormale di Rⁿ di autovettori e G ⊆ F gli autovettori per l’autovalore 1 . Allora ∆ `e la matrice associata alla proiezione p sul sottospazio W = hGi , vale a dire M_p^F

W(F )= ∆ . Quindi A = M_F^E· M_p^F

W(F )· M_E^F = M_p^E

W(E) `e un proiettore.

u t

Esercizio 4 Dire quali delle seguenti matrici sono proiettori (in tal caso verificare):

(a)

 1/2 −1/2

−1/2 −1/2



(b)

 1/2 −1/2

−1/2 1/2



(c)

 9/25 12/25 12/25 16/25



(d)





1/3 1/3 −1/3 1/3 1/3 −1/3

−1/3 −1/3 1/3



 (e)





1/2 0 −1/2

0 1 0

−1/2 0 1/2





(f )





2/3 −1/3 1/3

−1/3 2/3 1/3 1/3 1/3 2/3





2