Misura di un segmento su una retta orientata Considerati due punti A e B di una retta orientata

APPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA Retta orientata

Una retta r si dice orientata quando:

1. È fissato un punto di riferimento, detto origine;

2. Dei due possibili versi in cui un punto si può muovere su essa, se ne è scelto uno che, per distinguerlo dall’altro, dicesi positivo e si indica con una freccia;

3. È fissato un segmento u, detto unità di misura.

u O

Assegnare queste tre informazioni significa introdurre un sistema di riferimento sulla retta r.

Si stabilisce così una corrispondenza biunivoca tra i punti P della retta (enti geometrici) e l’insieme dei numeri reali (enti algebrici), cioè ad ogni punto P della retta viene associato un numero reale x (detto ascissa di P) e viceversa ad ogni numero reale x è associato sulla retta un unico punto P che ha x come ascissa. Grazie a tale corrispondenza biunivoca si può parlare indifferentemente di numeri reali o di punti sulla retta reale.

Misura di un segmento su una retta orientata

Considerati due punti A e B di una retta orientata O A B

Si definisce distanza assoluta tra i due punti A(xA) e B(xB) la differenza tra l'ascissa del punto più a destra meno l'ascissa del punto più a sinistra:

AB = xB - xA

Ascissa del punto medio di un segmento su una retta orientata

Dati su una retta orientata due punti A(xA) e B(xB), si vuole calcolare l’ascissa del punto medio M(xM) del segmento AB.

O A M B xA

xM

xB

Il sistema di riferimento introdotto è utile solamente per studiare fenomeni che si verificano in un

“universo” mono-dimensionali ( ad esempio lo studio del moto di un corpo che si muove lungo una linea retta); poiché in pratica la maggior parte dei fenomeni si svolgono in un “universo “ bi- dimensionale e tri-dimensionale , è necessario introdurre un diverso tipo di sistema di riferimento.

Sistema di riferimento cartesiano ortogonale

È costituito da due rette orientate perpendicolari tra di loro, sulle quali viene fissata un’unità di misura (che potrà essere la stessa per i due assi nel qual caso chiameremo il sistema monometrico o diversa nel qual caso il sistema sarà detto dimetrico). I due assi si chiamano: quello orizzontale asse delle ascisse (o asse delle x), quello verticale asse delle ordinate (o asse delle y).

Essi hanno la stessa origine O che divide ognuno di esse in due semiassi, uno positivo e l’altro negativo. Tali assi, inoltre, determinano quattro angoli retti detti quadranti.

Essendo le rette continue (e quindi prive di “buchi”) anche il piano determinato dalle due rette reali sarà privo di “buchi”, nel senso che è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti del

Dimostrazione

Poiché M è il punto medio di AB, si avrà:

AM = MB xM - xA = xB - xM

2 xM = xB + xA

2 ^A

M xB x

x  

piano (enti geometrici) e le corrispondenti coppie di numeri reali (uno sull’asse x e l’altro sull’asse y) (enti algebrici) , cioè ad ogni coppia ordinata di numeri reali (x, y) corrisponde un punto P del piano e viceversa. Per indicare che x e y sono le coordinate del punto P, scriveremo: P(x ; y) La corrispondenza biunivoca messa ora in evidenza ci consente di individuare i punti di un piano (enti geometrici) in modo analitico, ossia mediante numeri: R x R = R² =  (x ; y ) / xR ^ yR 

Distanza di due punti di un piano

Si vuole calcolare la distanza tra i punti A(x1; y1) e B(x2; y2)

y2 B y1 A C

x1 x2

Casi particolari

Se il segmento, di cui bisogna calcolare la misura, è parallelo ad uno degli assi, si può evitare di utilizzare la formula precedente.

a) Se è parallelo all’asse x ( cioè i punti hanno la stessa ordinata) A B

y1=y2 AB = x  con 2 x1 x  2 x1

x1 x2

b) Se è parallelo all’asse y (cioè i punti hanno la stessa ascissa) y2 A

AB = y  con 2 y1 y  2 y1

y1 B

x1=x2

Coordinate del punto medio di un segmento nel piano

Si vuole calcolare le coordinate del punto medio M(xM; yM) di un segmento di estremi A(x1; y1) e B(x2; y2).

y2 B” B

yM M” M y1 A” A

A’ M’ B’

x1 xM x2

Dimostrazione:

Si applica il teorema di Pitagora al triangolo ABC:

2

2 BC

AC

AB 

essendo AC = x2 – x1 BC = y2 – y1 si ha:

1 2 2 2

1

2 ) ( )

(x x y y

AB   

Dimostrazione

Condotta per il punto medio M la parallela all’asse y, si vengono ad avere le rette parallele AA’, MM’,BB’

tagliate dalla trasversali AB e A’B’; per il teorema sul fascio di rette parallele , essendo AM=MB, si ha A’M’=M’B’. Allora M’ è il punto medio di A’B’, quindi xM =(x1+x2)/2. Analogamente si dimostra che M” è il punto medio di A”B”, quindi yM=(y1+y2)/2.

In conclusione:

2 ) 2 ;

(x¹ x² y¹ y²

M  

LA RETTA

E’ possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra una retta (ente geometrico) e un’equazione lineare di primo grado a due incognite ax+by+c=0 (ente algebrico).

A tale scopo basta analizzare le diverse situazioni che una retta può assumere nel piano.

Ente geometrico Retta: luogo geometrico di punti

Ente algebrico

Equazione della retta: esprime la proprietà del luogo geometrico dei punti

A

retta parallela all’asse x y

tale retta rappresenta il luogo dei punti equidistanti dall’asse x, cioè la y di tutti i punti è uguale a k.

k

0 x

y = k

rappresenta l’equazione della retta parallela all’asse x;

in particolare y=0

rappresenta l’equazione dell’asse x

B

retta parallela all’asse y y

tale retta rappresenta il luogo dei punti equidistanti dall’asse y, cioè la x di tutti i punti è uguale a k.

0 x k

x = k

rappresenta l’equazione della retta parallela all’asse x;

in particolare x=0

rappresenta l’equazione dell’asse y

C

retta bisettrice 1˚ e 3˚ quadrante y

tale retta rappresenta il luogo dei punti equidistanti dall’asse x e dall’asse y .

0 x

y = x

rappresenta l’equazione della retta bisettrice 1˚ e 3˚ quadrante;

D

retta bisettrice 2˚ e 4˚ quadrante y

tale retta rappresenta il luogo dei punti equidistanti dall’asse x e dall’asse y (però l’ascissa e l’ordinata hanno segno opposto)

0 x

y = -x

rappresenta l’equazione della retta bisettrice 2˚ e 4˚ quadrante;

E

retta generica passante per l’origine

Il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa dei punti della retta è costante, cioè  m

xy costante. Infatti:

A B C

0 A’ B’ C’ x

I triangoli OAA’, OBB’, OCC’ sono simili per il 1˚

criterio di similitudine, per cui i lati sono in proporzione, cioè:

AA’/OA’ = BB’/OB’ = CC’/OC’ =

xy = m

y = mx

rappresenta l’equazione della retta generica passante per l’origine;

m si chiama coefficiente angolare o pendenza della retta.

F

retta generica r r’ : q

0 x

Si traccia la retta r’ passante per l’origine e parallela alla retta data r; tutti i punti della retta r hanno l’ordinata che supera di q l’ordinata dei corrispondenti punti di r’

aventi la stessa ascissa.

y = mx + q

rappresenta l’equazione della retta generica;

m si chiama coefficiente angolare o pendenza della retta.

q si chiama ordinata all’origine

VICEVERSA Ente algebrico

Equazione algebrica di 1˚ grado in due incognite:

ax+by+c=0

Ente geometrico Retta

A a=0  y = - c/b Retta parallela all’asse x

B b=0  x = - c/a Retta parallela all’asse y

C c=0  y = - a/b x Retta generica per l’origine

D a≠0 , b≠0, c≠0  y = -a/b x – c/b Retta generica

EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA ESPLICITA ED IN FORMA IMPLICITA Forma esplicita : y = m x + q

Forma implicita : ax +by +c = 0

ax+by+c = 0  by=-ax-c  y = -a/b x – c/b confrontando tale risultato con la forma esplicita si osserva che :

ba

m 

bc q 

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI UNA RETTA

Per rappresentare graficamente una retta occorre determinare due punti:

 se è in forma esplicita, si assegnano due valori alla x e si ricavano i corrispondenti valori di y;

 se è in forma implicita, conviene assegnare una volta zero alla x e si ricava la y, quindi si assegna zero alla y e si ricava la x; i punti trovati in questo modo rappresentano le intersezioni della retta con gli assi, cioè i punti dove la retta incontra gli assi.

RETTE PARALLELE

Due rette parallele hanno la stessa pendenza, cioè lo stesso coefficiente angolare: m = m’.

RETTE PERPENDICOLARI

Consideriamo due rette passanti per l’origine e perpendicolari tra loro.

OAB è un triangolo rettangolo; per il 2º

teorema di Euclide:

OH² = AH · HB

AH = yA – yH = m – 0 = m HB = yH – yB = 0 – m’ = - m’

Pertanto sostituendo si ha:

1 = m · (- m’ )

m · m’ = -1  m’ = m1

 cioè il coefficiente angolare di una retta è l’inverso e l’opposto del coefficiente angolare dell’altra.

Y

y=mx A(1,m) B(1,m’ ) H(1,0) A

H

1 x O

B

y=m’x

PROPRIETA’ FONDAMENTALI

Siano A(xA,yA) e B(xB,yB) due punti di una retta non parallela agli assi (quindi xA ≠ xB, yA ≠ yB).

Sia P(x,y) un punto generico del piano.

Si intuisce che:

P è allineato con A e B ↔ PAˆ K BAˆH ↔ ABH simile APK

Dalla similitudine dei triangoli ABH e APK risulta:

AK PK

BH AH = costante ↔ m x

x y

x y

x y

y

A A A

B A

B 



 



si possono dedurre tre risultati fondamentali:

1.

A B

A

B x

x y

m y



  serve per calcolare il coefficiente angolare m

della retta (non // asse y) passante per due punti

2.

A A A

B A

B yx xy

x

x y

y  

 equazione della retta passante per due punti.

3. m

x

x y

y

A A 



 ↔ yy_A m(xx_A) serve per calcolare l’equazione della retta passante per un punto e avente coefficiente angolare m .

y

y P B yB

yA A H K

O XA XB X x

ASSE DI UN SEGMENTO 1° modo

L’asse di un segmento è la retta r perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio.

Per determinare l’equazione dell’asse:

 Si trova il punto medio del segmento per cui passa l’asse

 Si trova m della retta r passante per i due estremi del segmento

 Poiché l’asse è perpendicolare al segmento, si calcola il suo coefficiente angolare sapendo che è l’inverso e l’opposto di quello della retta r.

 Si scrive l’equazione dell’asse 2° modo

L’asse è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento.

Per determinarne la sua equazione si trovano i punti P(x,y) dell’asse tale che PA = PB.

BISETTRICE DI UN ANGOLO

Sia α l’angolo formato dalle rette r e s; la bisettrice è il luogo geometrico dei punti P(x,y) equidistanti dai lati dell’angolo, cioè: PH = PK (sono le perpendicolari ai lati dell’angolo).

Per calcolare l’equazione della bisettrice si trovano le distanze del punto P(x,y) dalle rette r ed s e si pongono uguali.

CIRCOCENTRO 1° modo

Punto d’incontro degli assi dei lati di un triangolo.

Per trovarlo si mettono a sistema le equazioni di due assi, 2° modo

Il circocentro è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai vertici del triangolo.

Per determinarlo si cercano i punti P(x,y) tali che PA = PB = PC, cioè si risolve il sistema:







 PC PB

PB PA

ORTOCENTRO

Punto d’incontro delle altezze del triangolo.

Per trovarlo si mettono a sistema le equazioni di due altezze.

INCENTRO 1° modo

Punto d’incontro delle bisettrici degli angoli del triangolo.

Per trovarlo si mettono a sistema le equazioni di due bisettrici.

2° modo

E’ il luogo geometrico dei punti P(x,y) equidistanti dai lati del triangolo.

Per trovarlo si determinano i punti P(x,y) tale che PH = PK = PE (sono le perpendicolari ai lati del triangolo), cioè si risolve il sistema:



 

 PE PK

PK PH

BARICENTRO

Punto d’incontro delle mediane dei lati di un triangolo, di cui si conoscono le coordinate dei vertici.

Il baricentro G ha la proprietà di dividere ciascuna mediana in due parti tale che la parte contenente il vertice è doppia dell’altra.

Per la mediana AM si ha : AG = 2 GM , per il teorema di Talete risulta: A’G’ = 2 G’M’ e quindi:

xG – xA = 2 (xM – xG)  xG – xA = 2 xM – 2 xG  3 xG = xA + 2 xM

ed essendo

2 ^C

M xB x

x    



 



  

 2 2

3xG xA x^B x^C 

3^{B C}

G xA x x

x   

in modo analogo si trova che

3^{B C}

G yA y y

y   

Pertanto le coordinate del baricentro sono: 



 



    

 ; 3

3^{B C A B C}

A x x y y y

G x

AREA DEL TRIANGOLO 1° modo

Si calcola utilizzando la formula per il calcolo dell’area di un triangolo, per cui:

 Si calcola la lunghezza della base AB

 Si determina l’equazione della retta AB

 Si determina l’equazione dell’altezza alla retta AB e passante per C

 Si trova il punto H d’incontro tra l’equazione dell’altezza e l’equazione della retta AB

 Si calcola la lunghezza dell’altezza CH

 Si calcola l’area 2° modo

 Si calcola il determinante (det) formato dalle coordinate del triangolo, con la regola di Sarrus:

det =

C B A

x x x

C B A

y y y

1 1 1

quindi si calcola l’area: det 1 2



A ( dove |det| è il modulo del

determinante).

DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA

Siano P(xo;yo) il punto e r la retta di equazione ax+by+c=0, si vuole determinare la distanza d che c’è tra il punto P e la retta r.

y

P

r d

H ⁰ ₂ ⁰ ₂ b a

c by d ax





 

x Dimostrazione

Trovo l’equazione della retta PH:

ba mr  

ab

mPH   0



x x0



ba y

y    bxay



ay0 bx0



⁰ Trovo il punto H:

 



















0 0

0

0 bx

ay ay bx

c by

ax 













 

 

 

2

2 0

2 0

2

2 0

2 0

b a

bc abx y

y a

b a aby ac x

x b H

Trovo PH:

2 2 0

2 0

2 0 2 2 0

2 0

2 0



 

 

 



 

 

  y

b a abx bc y

x a b

a aby ac x

PH b 

2 2

2 2 0

2 0 0

2 0 2 2

2 2 0

2 0 0

2 0





  



 





  



 

b

a bc a y b y

abx y

a b

a ac a x b x

aby x

PH b 

     



^



^{ }

^ 

^



^

^

^

 

 

  

 

 

  

 ⁰_{2 2}^{0 2 0}_{2 2}^{0 2 2 0}_{2 2}⁰₂ ^{2 2 0}_{2 2}⁰₂ ²

b a

c by ax b b

a

c by ax a b

a by c

ax b b

a by c

ax PH a

   

  ^ 

^{2 2}

 ^

^{0 2 0 2}

0 2 2 0

2 2

2 2 2

0 0

b a

c by ax b

a by c ax

b a

b a c by ax





 

 

 







 